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绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清
楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷
上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.设集合
，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问
尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则
塔的顶层共有灯（ ）
A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将
一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
5.设
，
满足约束条件
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C． D．
6.安排3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现
在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成
绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的
，则输出的
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
开始
输出S
否
是
K=K+1
a=-a
S=0，K=1
S=S+aK
K 6
输入a
开始
9.若双曲线
（
，
）的一条渐近线被圆
所截得的弦长为2，则
的
离心率为（ ）
A．2 B．
C．
D．
10.已知直三棱柱
中，
，
，
，则异面直线
与
所成
角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11.若
是函数
的极值点，则
的极小值为（ ）
A.
B.
C.
D.1
3
12.已知
是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13.一批产品的二等品率为
，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取
次，
表示抽到的二等
品件数，则
．
14.函数
（
）的最大值是 ．
15.等差数列
的前
项和为
，
，
，则
．
16.已知
是抛物线
的焦点，
是
上一点，
的延长线交
轴于点
．若
为
的中点，
则
．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21 题为必做题，每个试题考生都必
须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17.（12 分）
的内角
的对边分别为
,已知
．
(1)求
(2)若
,
面积为2,求
18.（12 分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量
各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：
旧养殖法
0.034
0.032
0.024
0.014
0.012
25 30
箱产量/kg
频率/组距
0.040
0.020
0
70
65
60
55
50
45
40
35
箱产量/kg
频率/组距
0.068
0.046
0.044
0.020
0.010
0
0.008
0.004
70
65
60
55
50
45
40
35
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的
4
箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P（错误: 引用源未找到）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.（12 分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD，
E 是PD 的中点.
（1）证明：直线
平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为
，求二面角M-AB-D 的余弦值
M
E
D
C
B
A
P
20. （12 分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：
上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足
.
(1)
求点P 的轨迹方程；
(2)
设点Q 在直线x=-3 上，且
.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
21.（12 分）
已知函数
且
.
（1）求a；
（2）证明：
存在唯一的极大值点
，且
.
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
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22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）M 为曲线
上的动点，点P 在线段OM 上，且满足
,求点P 的轨迹
的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为
，点B 在曲线
上，求
面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
已知
，证明：
（1）
；
（2）
．
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绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D
7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B
二、填空题
13. 1.96 14. 1 15.
16. 6
三、解答题
17.解：
（1）由题设及
，故
上式两边平方，整理得
解得
（2）由
，故
又
由余弦定理学 科&网及
得
所以b=2
18.解：
（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于
” ，
表示事件“新养殖法的箱产量不低于
”
由题意知
7
旧养殖法的箱产量低于
的频率为
故
的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于
的频率为
故
的估计值为0.66
因此，事件A 的概率估计值为
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量
箱产量
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
由于
故有
的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于
的直方图面积为
，
箱产量低于
的直方图面积为
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
．
19.解：
（1）取
中点
，连结
，
．
因为
为
的中点，所以
,
,由
得
，又
所以
．四边形
为平行四边形，
．
又
，
，故
（2）
8
由已知得
,以A 为坐标原点，
的方向为x 轴正方向，
为单位长，建立如图所示的空间直角
坐标系A-xyz,则
则
，
，
，
，
,
则
因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而
是底面ABCD 的法向量，所以
，
即（x-1）²+y ²-z ²=0
又M 在棱PC 上，学|科网设
由①，②得
所以M
，从而
设
是平面ABM 的法向量，则
所以可取m=（0，-
，2）.于是
因此二面角M-AB-D 的余弦值为
20.解
9
（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）,
由
得
因为M（x0,y0）在C 上，所以
因此点P 的轨迹方程为
（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则
，
由
得
，又由（1）知
，故
3+3m-tn=0
所以
，即
.学.科网又过点P 存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l
过C 的左焦点F.
21.解：
（1）
的定义域为
设
，则
等价于
因为
若a=1，则
.当0＜x＜1 时，
单调递减；当x＞1 时，
＞0，
单调递增.所
以x=1 是
的极小值点，故
综上，a=1
（2）由（1）知
设
10
当
时，
；当
时，
，所以
在
单调递减，在
单调
递增
又
，所以
在
有唯一零点x0，在
有唯一零点1，且当
时，
；当
时，
，当
时，
.
因为
，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由
由
得
因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由
得
所以
22.解：
（1）设P 的极坐标为
，M 的极坐标为
，由题设知
由
得
的极坐标方程
因此
的直角坐标方程为
（2）设点B 的极坐标为
,由题设知
,于是△OAB 面积
11
当
时，S 取得最大值
所以△OAB 面积的最大值为
23.解：
（1）
（2）因为
所以
，因此a+b≤2.
