2015 年高考重庆市理科数学真题
一选择题
1．已知集合A=
,B=
，则（ ）
A．
B．A
B=
C．A
B
D．B
A
2．在等差数列
中，若
=4，
=2，则
=（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．6
3．重庆市2013 年各月的平均气温（
）数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是（ ）
A．19
B．20
C．21.5
D．23
4．“x>1”是“
（x+2）<0”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若非零向量a，b 满足|a|=
|b|，且（a-b）
（3a+2b），则a 与b 的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．执行如图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）
A．s
B．s
C．s
D．s
8．已知直线l：x+ay-1=0（a
R）是圆C：
的对称轴.
过点A（-4，a）作圆C 的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）
A．2
B．
C．6
D．
9．若tan
=2tan
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．设双曲线
（a>0,b>0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分
别作AC，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于
，则该双曲线的渐近线斜率的取值
范围是（ ）
A．（-1,0）
（0,1）
B．（- ，-1）
（1，+ ）
C．（-
，0）
（0，
）
D．（- ，-
）
（
，+ ）
二、填空题
11．设复数a+bi（a，b
R）的模为
，则（a+bi）（a-bi）=________.
12．
的展开式中
的系数是________(用数字作答).
13．在
ABC 中，B=
，AB=
，A 的角平分线AD=
,则AC=_______.
14．如图，圆O 的弦AB，CD 相交于点E，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P，若PA=6，
AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.
15．已知直线l 的参数方程为
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标
系，曲线C 的极坐标方程为
，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为
_______.
16．若函数f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______.
17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽2 个，肉粽3 个，白粽5 个，
这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3 个。
（Ⅰ）求三种粽子各取到1 个的概率；
（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望
18．已知函数
（Ⅰ）求
的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）讨论
在
上的单调性.
19．如图，三棱锥
中，
平面
分别为线段
上的点，
且
（Ⅰ）证明：
平面
（Ⅱ）求二面角
的余弦值。
20．设函数
（Ⅰ）若
在
处取得极值，确定
的值，并求此时曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若
在
上为减函数，求
的取值范围。
21．如图，椭圆
的左、右焦点分别为
过
的直线交椭圆于
两点，且
（Ⅰ）若
求椭圆的标准方程
（Ⅱ）若
求椭圆的离心率
22．在数列
中，
（I）若
求数列
的通项公式；
（II）若
证明：
2015 年高考重庆市理科数学真题详细答案
一选择题
1．答案：D
解析过程：
由于
，
故A、B、C 均错，D 是正确的，选D.
2．答案：B
解析过程：
由等差数列的性质得
，选B.
3．答案：B
解析过程：
从茎叶图知所有数据为
8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，
中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.
4．答案：B
解析过程：
,因此选B.
5．答案：A
解析过程：
这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
，故选A.
6．答案：A
解析过程：
由题意
，
即
，
所以
，
，
，选A.
7．答案：C
解析过程：
由程序框图，
的值依次为0，2，4，6，8，
因此
（此时
）还必须计算一次，
因此可填
，选C.
8．答案：C
解析过程：
圆
标准方程为
，圆心为
，
半径为
，因此
，
，即
，
.选C.
9．答案：C
解析过程：
＝
，
选C.
10．答案：A
解析过程：
由题意
，
由双曲线的对称性知
在
轴上，
设
，由
得
，
解得
，
所以
，
所以
，
因此渐近线的斜率取值范围是
，选A.
二、填空题
11．答案：3
解析过程：
由
得
，
即
，
所以
.
12．答案：
解析过程：
二项展开式通项为
，
令
，解得
，因此
的系数为
.
13．答案：
解析过程：
由正弦定理得
，
即
，
解得
，
，
从而
，
所以
，
.
14．
答案：2
解析过程：
首先由切割线定理得
，
因此
，
，
又
，因此
，
再相交弦定理有
，
所以
.
15．答案：
解析过程：
直线的普通方程为
，由
得
，直角坐标方程为
，
把
代入双曲线方程解得
，
因此交点.为
，其极坐标为
.
16．答案：-6 或4
解析过程：
由绝对值的性质知
的最小值在
或
时取得，
若
，
或
，经检验均不合；
若
，则
，
或
，经检验合题意，
因此
或
.
17．答案：见解析
解析过程：
（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取1 个”，
则由古典概型的概率计算公式有
(Ⅱ)X 的所有可能值为0，1，2，且
综上知，X 的分布列为
X
0
1
2
P
故
(个).
18．答案：见解析
解析过程：
(Ⅰ)
,
因此
的最小正周期为
，最大值为
.
(Ⅱ)当
时，
从而
当
即
时,
单调递增，
当
即
时,
单调递减，
综上，
在
上单调递增；在
上单调递减.
19．答案：见解析
解析过程：
(Ⅰ)证明：
由
，
，故
.
由
得△
为等腰直角三角形，故
.
由
,
垂直于平面
内两条相交直线，
故
平面
.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，△
为等腰直角三角形，
.
过
作
垂直
于
.
易知
,
又已知
,故
.
由
得
,
,故
.
以C 为坐标原点，分别以
的方向
为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
,
设平面
的法向量为
由
得
故可取
.
由（Ⅰ）可知
平面
，
故平面
的法向量
可取为
,即
,
从而法向量
,
的夹角的余弦值为
.
故所求二面角的余弦值为
.
20．答案：见解析
解析过程：
(Ⅰ)对
求导得
因为
在
处取得极值，所以
即
当
时，
,
故
,
,
从而
在点
处的切线方程为
,化简得
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
令
,
由
解得
,
.
当
时,
即
,故
为减函数；
当
时,
即
,故
为增函数；
当
时,
即
,故
为减函数.
由
在
上为减函数，知
，解得
,
故
的取值范围为
.
21．答案：见解析
解析过程：
(Ⅰ)由椭圆的定义，
故
设椭圆的半焦距为c，由已知
因此
即
从而
故所求椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)解法一：设点
在椭圆上，且
则
求得
.
由
得
从而
,
由椭圆的定义，
从而由
有
又由
,
知
因此
即
于是
解得
解法二：
由椭圆定义，
从而由
有
又由
,
知
得
从而
由
知
因此
22．答案：见解析
解析过程：
(Ⅰ)由
有
，
若存在某个
使得
，
则由上述递推公式易得
.
重复上述过程可得
，与已知矛盾，
所以对任意的
，
.
从而
，即
是一个公比
的等比数列.
故
.
(Ⅱ)由
数列
的递推关系式变为
变形为
由上式及
，归纳可得
因为
所以对
求和得
=
.
另一方面，由上面已证的不等式知
得
.
综上，
