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2016 年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项．
1．（5 分）（2016•北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={
1
﹣，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{
1
﹣，0，1}D．{
1
﹣，0，1，2}
2．（5 分）（2016•北京）若x，y 满足
，则2x+y 的最大值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
3．（5 分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5 分）（2016•北京）设，是向量，则“| |=| |”是“| + |=| ﹣|”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）（2016•北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A．﹣＞0 B．sinx
siny
﹣
＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0
6．（5 分）（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
第1页（共20页）
A．
B．C．D．1
7．（5 分）（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣
）图象上的点P（
，t）向左平移s（s＞0）个单位
长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x 的图象上，则（ ）
A．t= ，s 的最小值为
B．t=
，s 的最小值为
C．t= ，s 的最小值为
D．t=
，s 的最小值为
8．（5 分）（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．
每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入
乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．（5 分）（2016•北京）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=
．
10．（5 分）（2016•北京）在（1
2x
﹣
）6的展开式中，x2的系数为 ．（用数字作答）
11．
（5 分）
（2016•北京）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣
ρsinθ
1=0
﹣
与圆ρ=2cosθ 交于A，B 两
点，则|AB|= ．
12．（5 分）（2016•北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n 项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=
．
13．（5 分）（2016•北京）双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA，
OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a= ．
14．（5 分）（2016•北京）设函数f（x）=
．
①若a=0，则f（x）的最大值为 ；
第2页（共20页）
②若f（x）无最大值，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13 分）（2016•北京）在△ABC 中，a2+c2=b2+
ac．
（Ⅰ）求∠B 的大小；
（Ⅱ）求
cosA+cosC 的最大值．
16．（13 分）（2016•北京）A，B，C 三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过
分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
A 班
6 6.5 7 7.5 8
B 班
6 7 8 9 10 11 12
C 班
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（Ⅰ）试估计C 班的学生人数；
（Ⅱ）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人
记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：
小时），这3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数
记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）
17．（14 分）（2016•北京）如图，在四棱锥P
ABCD
﹣
中，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD
⊥
，
PA=PD，AB AD
⊥
，AB=1，AD=2，AC=CD=
．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA 上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求
的值，若不存在，说明理
由．
18．（13 分）（2016•北京）设函数f（x）=xea
x
﹣+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为
y=（e
1
﹣）x+4，
（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
19．（14 分）（2016•北京）已知椭圆C：
+
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，A（a，0），B（0，
b），O（0，0），△OAB 的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M，直线PB 与x 轴交于点N．求证：|AN|•|
BM|为定值．
第3页（共20页）
20．（13 分）（2016•北京）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整
数k 都有ak＜an，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”，记G（A）是数列A 的所有“G 时刻”
组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A 中存在an使得an＞a1，则G（A）≠∅；
（Ⅲ）证明：若数列A 满足an
a
﹣n
1
﹣≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN
a
﹣1．
第4页（共20页）
2016 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项．
1．（5 分）（2016•北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={
1
﹣，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{
1
﹣，0，1}D．{
1
﹣，0，1，2}
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．
【分析】先求出集合A 和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|
2
﹣＜x＜2}，
B={
1
﹣，0，1，2，3}，
A∩B={
1
∴
﹣，0，1}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（5 分）（2016•北京）若x，y 满足
，则2x+y 的最大值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】计算题；规律型；数形结合；函数思想；转化思想．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合
即可求z 的取值范围．
【解答】解：作出不等式组
对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设z=2x+y 得y=
2x+z
﹣
，
平移直线y=
2x+z
﹣
，
由图象可知当直线y=
2x+z
﹣
经过点A 时，直线y=
2x+z
﹣
的截距最大，
此时z 最大．
由
，解得
，即A（1，2），
代入目标函数z=2x+y 得z=1×2+2=4．
即目标函数z=2x+y 的最大值为4．
故选：C．
第5页（共20页）
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想
是解决此类问题的基本方法．
3．（5 分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】程序框图．菁优网版权所有
【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模
拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：输入的a 值为1，则b=1，
第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；
第二次执行循环体后，a=
2
﹣，不满足退出循环的条件，k=2；
第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，
故输出的k 值为2，
故选：B
第6页（共20页）
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序
法进行解答．
4．（5 分）（2016•北京）设，是向量，则“| |=| |”是“| + |=| ﹣|”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】充要条件；向量的模．菁优网版权所有
【专题】转化思想；平面向量及应用；矩阵和变换．
【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：若“| |=| |”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；
若“| + |=| ﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；
故“| |=| |”是“| + |=| ﹣|”的既不充分也不必要条件；
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“| |=| |”与“| + |=| ﹣|”表示
的几何意义，是解答的关键．
5．（5 分）（2016•北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A．﹣＞0 B．sinx
siny
﹣
＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0
【考点】不等关系与不等式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式．
【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：
，sinx 与siny 的大小关系不确定，
＜
，lnx+lny 与0 的大小关系不确定，即可判断出结论．
【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则
，sinx 与siny 的大小关系不确定，
＜
，即
﹣
＜0，lnx+lny 与0 的大小关系不确定．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5 分）（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
第7页（共20页）
A．
B．C．D．1
【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
棱锥的底面面积S= ×1×1= ，
高为1，
故棱锥的体积V=
= ，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的
形状是解答的关键．
7．（5 分）（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣
）图象上的点P（
，t）向左平移s（s＞0）个单位
长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x 的图象上，则（ ）
A．t= ，s 的最小值为
B．t=
，s 的最小值为
C．t= ，s 的最小值为
D．t=
，s 的最小值为
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】将x=
代入得：t= ，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s 的最小值．
【解答】解：将x=
代入得：t=sin
= ，
将函数y=sin（2x﹣
）图象上的点P 向左平移s 个单位，
得到P′（
﹣s，）点，
若P′位于函数y=sin2x 的图象上，
则sin（
﹣2s）=cos2s= ，
则2s=
+2kπ，k∈Z，
则s=
+kπ，k∈Z，
由s＞0 得：当k=0 时，s 的最小值为
，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．
第8页（共20页）
8．（5 分）（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．
每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入
乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【考点】进行简单的演绎推理．菁优网版权所有
【专题】推理和证明．
【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲中
的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析．
【解答】解：取两个球共有4 种情况：
①红+红，则乙盒中红球数加1 个；
②黑+黑，则丙盒中黑球数加1 个；
③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1 个；
④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1 个．
设一共有球2a 个，则a 个红球，a 个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x 个，黑球y 个，
x+y=a．
则乙中有x 个球，其中k 个红球，j 个黑球，k+j=x；
丙中有y 个球，其中l 个红球，i 个黑球，i+l=y；
黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j
由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．
故选B．
【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有
一定要求，中档题
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．（5 分）（2016•北京）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=
﹣
1
．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；转化法；数系的扩充和复数．
【分析】（1+i）（a+i）=a
1+
﹣
（a+1）i，则a+1=0，解得答案．
【解答】解：（1+i）（a+i）=a
1+
﹣
（a+1）i，
若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，
则a+1=0，
解得：a=
1
﹣，
故答案为：﹣1
【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题．
10．（5 分）（2016•北京）在（1
2x
﹣
）6的展开式中，x2的系数为
60
．（用数字作答）
【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化思想；二项式定理．
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．
第9页（共20页）
【解答】解：（1
2x
﹣
）6的展开式中，通项公式Tr+1=
（﹣2x）r=（﹣2）r
xr，
令r=2，则x2的系数=
=60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．
（5 分）
（2016•北京）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣
ρsinθ
1=0
﹣
与圆ρ=2cosθ 交于A，B 两
点，则|AB|=
2
．
【考点】简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C 在直线上可得|AB|．
【解答】解：直线ρcosθ﹣
ρsinθ
1=0
﹣
化为y 直线x﹣
y
1=0
﹣
．
圆ρ=2cosθ 化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，配方为（x
1
﹣）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．
则圆心C 在直线上，∴|AB|=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基础
题．
12．（5 分）（2016•北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n 项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=
6
．
【考点】等差数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n 项和公式能求
出S6．
【解答】解：∵{an}为等差数列，Sn为其前n 项和．
a1=6，a3+a5=0，
a
∴1+2d+a1+4d=0，
12+6d=0
∴
，
解得d=
2
﹣，
S
∴
6=
=36
30=6
﹣
．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的前6 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列
的性质的合理运用．
13．（5 分）（2016•北京）双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA，
OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a=
2
．
【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等
轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可．
第10页（共20页）
【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA，OC 所在的直线，
∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，
即a=b，
∵正方形OABC 的边长为2，
OB=2
∴
，即c=2
，
则a2+b2=c2=8，
即2a2=8，
则a2=4，a=2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴
双曲线是解决本题的关键．
14．（5 分）（2016•北京）设函数f（x）=
．
①若a=0，则f（x）的最大值为
2
；
②若f（x）无最大值，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，﹣
1 ）
．
【考点】分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】①将a=0 代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=
1
﹣时，f（x）的最大值
为2；
②若f（x）无最大值，则
，或
，解得答案．
【解答】解：①若a=0，则f（x）=
，
则f′（x）=
，
当x＜﹣1 时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当x＞﹣1 时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
第11页（共20页）
故当x=
1
﹣时，f（x）的最大值为2；
f′
②（x）=
，
令f′（x）=0，则x=±1，
若f（x）无最大值，则
，或
，
解得：a∈（﹣∞，﹣1）．
故答案为：2，（﹣∞，﹣1）
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档．
三、解答题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13 分）（2016•北京）在△ABC 中，a2+c2=b2+
ac．
（Ⅰ）求∠B 的大小；
（Ⅱ）求
cosA+cosC 的最大值．
【考点】解三角形的实际应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=
，进而得到答案；
（Ⅱ）由（I）得：C=
A
﹣，结合正弦型函数的图象和性质，可得
cosA+cosC 的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a2+c2=b2+
ac．
a
∴2+c2
b
﹣2=
ac．
cosB=
∴
=
=
，
B=
∴
（Ⅱ）由（I）得：C=
A
﹣，
∴
cosA+cosC=
cosA+cos（
﹣A）
=
cosA﹣
cosA+
sinA
=
cosA+
sinA
=sin（A+
）．
A
∵∈（0，
），
A+
∴
∈（
，π），
第12页（共20页）
故当A+
=
时，sin（A+
）取最大值1，
即
cosA+cosC 的最大值为1．
【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．
16．（13 分）（2016•北京）A，B，C 三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过
分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
A 班
6 6.5 7 7.5 8
B 班
6 7 8 9 10 11 12
C 班
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（Ⅰ）试估计C 班的学生人数；
（Ⅱ）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人
记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：
小时），这3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数
记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）
【考点】古典概型及其概率计算公式；用样本的频率分布估计总体分布．菁优网版权所有
【专题】计算题；定义法；概率与统计．
【分析】（I）由已知先计算出抽样比，进而可估计C 班的学生人数；
（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）根据平均数的定义，可判断出μ0＞μ1．
【解答】解：（I）由题意得：三个班共抽取20 个学生，其中C 班抽取8 个，
故抽样比K=
= ，
故C 班有学生8÷ =40 人，
（Ⅱ）从从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，
共有5×8=40 种情况，
而且这些情况是等可能发生的，
当甲锻炼时间为6 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2 种情况；
当甲锻炼时间为6.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3 种情况；
当甲锻炼时间为7 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3 种情况；
当甲锻炼时间为7.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3 种情况；
当甲锻炼时间为8 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4 种情况；
故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=
= ；
（Ⅲ）μ0＞μ1．
【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档．
17．（14 分）（2016•北京）如图，在四棱锥P
ABCD
﹣
中，平面PAD⊥平面ABCD，PA PD
⊥
，
PA=PD，AB AD
⊥
，AB=1，AD=2，AC=CD=
．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
第13页（共20页）
（Ⅲ）在棱PA 上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求
的值，若不存在，说明理
由．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．
【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB PD
⊥
，再由
PD PA
⊥
，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）取AD 中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO AD
⊥
，PO AD
⊥
．以O 为坐标原点，建立空
间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量
的坐标，再求出平面PCD 的法向量，设PB 与平面PCD 的夹角为θ，由
求得直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）假设存在M 点使得BM∥平面PCD，设
，M（0，y1，z1），由
可得M（0，1
λ
﹣，λ），
，由BM∥平面PCD，可得
，由此列式求得当
时，M 点即为所求．
【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB AD
⊥
，AB⊂平面ABCD，
AB
∴
⊥平面PAD，
PD
∵
⊂平面PAD，
AB PD
∴
⊥
，
又PD PA
⊥
，且PA∩AB=A，
PD
∴
⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：取AD 中点为O，连接CO，PO，
CD=AC=
∵
，
CO AD
∴
⊥
，
又∵PA=PD，
PO AD
∴
⊥
．
以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），
第14页（共20页）
则
，
，
设
为平面PCD 的法向量，
则由
，得
，则
．
设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则
=
；
（Ⅲ）解：假设存在M 点使得BM∥平面PCD，设
，M（0，y1，z1），
由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），
，B（1，1，0），
，
则有
，可得M（0，1
λ
﹣，λ），
∴
，
BM
∵
∥平面PCD，
为平面PCD 的法向量，
∴
，即
，解得
．
综上，存在点M，即当
时，M 点即为所求．
【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方
法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题．
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18．（13 分）（2016•北京）设函数f（x）=xea
x
﹣+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为
y=（e
1
﹣）x+4，
（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化思想；转化法；导数的概念及应用．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程
组关系即可求a，b 的值；
（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e
1
﹣）x+4，
∴当x=2 时，y=2（e
1
﹣）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，
同时f′（2）=e
1
﹣，
f
∵（x）=xea
x
﹣+bx，
f′
∴（x）=ea
x
﹣
xe
﹣
a
x
﹣+b，
则
，
即a=2，b=e；
（Ⅱ）∵a=2，b=e；
f
∴（x）=xe2
x
﹣+ex，
f′
∴（x）=e2
x
﹣
xe
﹣
2
x
﹣+e=（1
x
﹣）e2
x
﹣+e，
f″（x）=
e
﹣2
x
﹣﹣（1
x
﹣）e2
x
﹣=（x
2
﹣）e2
x
﹣，
由f″（x）＞0 得x＞2，由f″（x）＜0 得x＜2，
即当x=2 时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1
2
﹣）e2
2
﹣+e=e
1
﹣＞0，
f′
∴（x）＞0 恒成立，
即函数f（x）是增函数，
即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）．
【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利
用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．
19．（14 分）（2016•北京）已知椭圆C：
+
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，A（a，0），B（0，
b），O（0，0），△OAB 的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M，直线PB 与x 轴交于点N．求证：|AN|•|
BM|为定值．
【考点】直线与椭圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c 的关系，解方程可得
a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）方法一、设椭圆上点P（x0，y0），可得x0
2+4y0
2=4，求出直线PA 的方程，令x=0，求得y，|
BM|；求出直线PB 的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．
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方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA 的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线
PB 的方程，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值
4．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e= =
，
又△OAB 的面积为1，可得ab=1，
且a2
b
﹣2=c2，
解得a=2，b=1，c=
，
可得椭圆C 的方程为
+y2=1；
（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），
可得x0
2+4y0
2=4，
直线PA：y=
（x
2
﹣），令x=0，可得y=﹣
，
则|BM|=|1+
|；
直线PB：y=
x+1，令y=0，可得x=﹣
，
则|AN|=|2+
|．
可得|AN|•|BM|=|2+
|•|1+
|
=|
|=|
|
=|
|=4，
即有|AN|•|BM|为定值4．
证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
直线PA：y=
（x
2
﹣），令x=0，可得y=﹣
，
则|BM|=|
|；
直线PB：y=
x+1，令y=0，可得x=﹣
，
则|AN|=|
|．
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即有|AN|•|BM|=|
|•|
|
=2|
|
=2|
|=4．
则|AN|•|BM|为定值4．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的
定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档
题．
20．（13 分）（2016•北京）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整
数k 都有ak＜an，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”，记G（A）是数列A 的所有“G 时刻”
组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A 中存在an使得an＞a1，则G（A）≠∅；
（Ⅲ）证明：若数列A 满足an
a
﹣n
1
﹣≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN
a
﹣1．
【考点】数列与函数的综合；数学归纳法．菁优网版权所有
【专题】新定义；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（Ⅰ）结合“G 时刻”的定义进行分析；
（Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析；
（Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析．
【解答】解：
（Ⅰ）根据题干可得，a1=
2
﹣，a2=2，a3=
1
﹣，a4=1，a5=3，a1＜a2满足条件，2 满足条件，
a2＞a3不满足条件，3 不满足条件，
a2＞a4不满足条件，4 不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5 满足条件，因此G（A）={2，
5}．
（Ⅱ）因为存在an＞a1，设数列A 中第一个大于a1的项为ak，则ak＞a1≥ai，其中2≤i≤k
1
﹣，所以
k∈G（A），G（A）≠∅；
（Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为i1＜i2＜L＜ik，
对于第一个“G 时刻”i1，有
＞a1≥ai（i=2，3，L，i1
1
﹣），则
a
﹣i≤
﹣
≤1．
对于第二个“G 时刻”i1，有
＞
≥ai（i=2，3，L，i1
1
﹣），则
﹣
≤
﹣
≤1．
类似的
﹣
≤1，…，
﹣
≤1．
于是，k≥（
﹣
）+（
﹣
）+L+（
﹣
）+（
﹣a1）=
a
﹣1．
对于aN，若N∈G（A），则
=aN．
第18页（共20页）
若N∉G（A），则aN≤
，否则由（2）知
，
，L，aN，中存在“G 时刻”与只有k 个“G
时刻”矛盾．
从而k≥
a
﹣1≥aN
a
﹣1．
【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“G 时刻”定义的把握，难度较大．
第19页（共20页）
第20页（共20页）
