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2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）设z=
+2i，则|z|=（ ）
A．0
B．
C．1
D．
2．（5 分）已知集合A={x|x2
x
2
﹣﹣＞0}，则CRA=（ ）
A．{x|
1
﹣＜x＜2} B．{x|
1
﹣≤x≤2}
C．{x|x＜﹣1} {
∪x|x＞2}
D．{x|x≤
1
﹣} {
∪x|x≥2}
3．（5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前
后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5 分）记Sn为等差数列{an}的前n 项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（ ）
A．﹣12
B．﹣10
C．10
D．12
5．（5 分）设函数f（x）=x3+（a
1
﹣）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=
f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=
2x
﹣
B．y=
x
﹣
C．y=2x
D．y=x
6．（5 分）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
=（ ）
第1页（共29页）
A．
﹣
B．
﹣
C．
+
D．
+
7．（5 分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在
正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此
圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2
B．2
C．3
D．2
8．（5 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为
的直线与C 交
于M，N 两点，则
•
=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
9．（5 分）已知函数f（x）=
，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2 个零点，
则a 的取值范围是（ ）
A．[
1
﹣，0）
B．[0，+∞）
C．[
1
﹣，+∞）
D．[1，+∞）
10．（5 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半
圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC，直角边AB，AC．
△ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整
个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）
A．p1=p2
B．p1=p3
C．p2=p3
D．p1=p2+p3
第2页（共29页）
11．
（5 分）已知双曲线C：
﹣y2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线
与C 的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN 为直角三角形，则|MN|=（
）
A．
B．3
C．2
D．4
12．（5 分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α 所成的角都相等，则
α 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为 ．
14．（5 分）记Sn为数列{an}的前n 项和．若Sn=2an+1，则S6= ．
15．
（5 分）从2 位女生，4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，
则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
16．（5 分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 ．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作
答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2
，求BC．
第3页（共29页）
18．（12 分）如图，四边形ABCD 为正方形，E，F 分别为AD，BC 的中点，以DF 为
折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
19．（12 分）设椭圆C：
+y2=1 的右焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，
点M 的坐标为（2，0）．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
第4页（共29页）
20．（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之
前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产
品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．
设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品
相互独立．
（1）记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以（1）中确定的p0作为p
的值．已知每件产品的检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂
要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有
产品作检验？
21．（12 分）已知函数f（x）=
x
﹣+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：
＜a
2
﹣．
第5页（共29页）
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ
3=0
﹣
．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax
1
﹣|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，求a 的取值范围．
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2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）设z=
+2i，则|z|=（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．
【解答】解：z=
+2i=
+2i=
i
﹣+2i=i，
则|z|=1．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
2．（5 分）已知集合A={x|x2
x
2
﹣﹣＞0}，则CRA=（ ）
A．{x|
1
﹣＜x＜2} B．{x|
1
﹣≤x≤2}
C．{x|x＜﹣1} {
∪x|x＞2}
D．{x|x≤
1
﹣} {
∪x|x≥2}
【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合；5T：不等式．
【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．
【解答】解：集合A={x|x2
x
2
﹣﹣＞0}，
可得A={x|x＜﹣1 或x＞2}，
则：CRA={x|
1
﹣≤x≤2}．
故选：B．
【点评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．
第7页（共29页）
3．（5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前
后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简易逻辑．
【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村
建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．
【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
A 项，种植收入37%×2a
60%a=14%a
﹣
＞0，
故建设后，种植收入增加，故A 项错误．
B 项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，
建设前，其他收入为4%a，
故10%a÷4%a=2.5＞2，
故B 项正确．
C 项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，
建设前，养殖收入为30%a，
故60%a÷30%a=2，
第8页（共29页）
故C 项正确．
D 项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
（30%+28%）×2a=58%×2a，
经济收入为2a，
故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，
故D 项正确．
因为是选择不正确的一项，
故选：A．
【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问
题解决问题的能力．
4．（5 分）记Sn为等差数列{an}的前n 项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（ ）
A．﹣12
B．﹣10
C．10
D．12
【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程，能求出a5的值．
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n 项和，3S3=S2+S4，a1=2，
∴
=a1+a1+d+4a1+
d，
把a1=2，代入得d=
3
﹣
∴a5=2+4×（﹣3）=
10
﹣
．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考
查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（5 分）设函数f（x）=x3+（a
1
﹣）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点
（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=
2x
﹣
B．y=
x
﹣
C．y=2x
D．y=x
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
第9页（共29页）
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切
线方程．
【解答】解：函数f（x）=x3+（a
1
﹣）x2+ax，若f（x）为奇函数，
可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，
曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．
6．（5 分）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
=（ ）
A．
﹣
B．
﹣
C．
+
D．
+
【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，
=
﹣
=
﹣
=
﹣
×
（
+
）
=
﹣
，
故选：A．
【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
7．（5 分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在
正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此
圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
第10页（共29页）
A．2
B．2
C．3
D．2
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．
【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，
直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路
径中，最短路径的长度：
=2
．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算
能力．
8．（5 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为
的直线与C 交
于M，N 两点，则
•
=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲
第11页（共29页）
线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N 的坐标，然后求解向量的数
量积即可．
【解答】解：抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为
的直线为：
3y=2x+4，
联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x 可得：y2
6y
﹣
+8=0，
解得y1=2，y2=4，不妨M（1，2），N（4，4），
，
．
则
•
=（0，2）•（3，4）=8．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．
9．（5 分）已知函数f（x）=
，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2 个零点，
则a 的取值范围是（ ）
A．[
1
﹣，0）
B．[0，+∞）
C．[
1
﹣，+∞）
D．[1，+∞）
【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由g（x）=0 得f（x）=
x
a
﹣﹣，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个
数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．
【解答】解：由g（x）=0 得f（x）=
x
a
﹣﹣，
作出函数f（x）和y=
x
a
﹣﹣的图象如图：
当直线y=
x
a
﹣﹣的截距﹣a≤1，即a≥
1
﹣时，两个函数的图象都有2 个交点，
即函数g（x）存在2 个零点，
故实数a 的取值范围是[
1
﹣，+∞），
故选：C．
第12页（共29页）
【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个
函数的图象的交点问题是解决本题的关键．
10．（5 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半
圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC，直角边AB，AC．
△ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整
个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）
A．p1=p2
B．p1=p3
C．p2=p3
D．p1=p2+p3
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】如图：设BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可
得到答案．
【解答】解：如图：设BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3，
∴r1
2=r2
2+r3
2，
第13页（共29页）
∴SⅠ=
×4r2r3=2r2r3，SⅢ=
×πr1
2
2r
﹣
2r3，
SⅡ=
×πr3
2+
×πr2
2
S
﹣
Ⅲ=
×πr3
2+
×πr2
2﹣
×πr1
2+2r2r3=2r2r3，
∴SⅠ=SⅡ，
∴P1=P2，
故选：A．
【点评】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题．
11．
（5 分）已知双曲线C：
﹣y2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线
与C 的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN 为直角三角形，则|MN|=（
）
A．
B．3
C．2
D．4
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4：解题方法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN 的坐标，然后求解|
MN|．
【解答】解：双曲线C：
﹣y2=1 的渐近线方程为：y=
，渐近线的夹角为：
60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=
，
则：
解得M（
，
），
解得：N（
），
则|MN|=
=3．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
第14页（共29页）
12．（5 分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α 所成的角都相等，则
α 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空
间角．
【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α 所成的角都相等的位置，然后求解α 截
此正方体所得截面面积的最大值．
【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3 组平行的棱，每条棱所在直线与平面α
所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α 截此
正方体所得截面面积的最大，
此时正六边形的边长
，
α 截此正方体所得截面最大值为：6×
=
．
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能
力，有一定的难度．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为
6
．
第15页（共29页）
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y 得y=﹣
x+
z，
平移直线y=﹣
x+
z，
由图象知当直线y=﹣
x+
z 经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z 最大，
最大值为z=3×2=6，
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合
是解决本题的关键．
14．（5 分）记Sn为数列{an}的前n 项和．若Sn=2an+1，则S6= ﹣
63
．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
第16页（共29页）
【分析】先根据数列的递推公式可得{an}是以﹣1 为首项，以2 为公比的等比数列
再根据求和公式计算即可．
【解答】解：Sn为数列{an}的前n 项和，Sn=2an+1，①
当n=1 时，a1=2a1+1，解得a1=
1
﹣，
当n≥2 时，Sn
1
﹣=2an
1
﹣+1，②，
由①﹣②可得an=2an
2a
﹣
n
1
﹣，
∴an=2an
1
﹣，
{
∴an}是以﹣1 为首项，以2 为公比的等比数列，
∴S6=
=
63
﹣
，
故答案为：﹣63
【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．
15．
（5 分）从2 位女生，4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，
则不同的选法共有
16
种．（用数字填写答案）
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合．
【分析】方法一：直接法，分类即可求出，
方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．
【解答】解：方法一：直接法，1 女2 男，有C2
1C4
2=12，2 女1 男，有C2
2C4
1=4
根据分类计数原理可得，共有12+4=16 种，
方法二，间接法：C6
3
C
﹣
4
3=20
4=16
﹣
种，
故答案为：16
【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题
16．（5 分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是
．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：三角函数
第17页（共29页）
的求值．
【分析】由题意可得T=2π 是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最
小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．
【解答】解：由题意可得T=2π 是f（x）=2sinx+sin2x 的一个周期，
故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x 在[0，2π）上的值域，
先来求该函数在[0，2π）上的极值点，
求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x
=2cosx+2（2cos2x
1
﹣）=2（2cosx
1
﹣）（cosx+1），
令f′（x）=0 可解得cosx=
或cosx=
1
﹣，
可得此时x=
，π 或
；
∴y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点x=
，π 或
和边界点x=0 中取到，
计算可得f（
）=
，f（π）=0，f（
）=﹣
，f（0）=0，
∴函数的最小值为﹣
，
故答案为：
．
【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作
答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2
，求BC．
【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形．
第18页（共29页）
【分析】（1）由正弦定理得
=
，求出sin∠ADB=
，由此能求出
cos∠ADB；
（2）由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=
，再由DC=2
，利用余弦定理能
求出BC．
【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
∴由正弦定理得：
=
，即
=
，
∴sin∠ADB=
=
，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB=
=
．
（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=
，
∵DC=2
，
∴BC=
=
=5．
【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定
理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18．（12 分）如图，四边形ABCD 为正方形，E，F 分别为AD，BC 的中点，以DF 为
折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF⊥BF．
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（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与
距离；5G：空间角．
【分析】（1）利用正方形的性质可得BF 垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直
的判断定理证明即可．
（2）利用等体积法可求出点P 到面ABCD 的距离，进而求出线面角．
【解答】（1）证明：由题意，点E、F 分别是AD、BC 的中点，
则
，
，
由于四边形ABCD 为正方形，所以EF⊥BC．
由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF．
又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．
（2）在平面DEF 中，过P 作PH⊥EF 于点H，连接DH，
由于EF 为面ABCD 和面PEF 的交线，PH⊥EF，
则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．
在三棱锥P
DEF
﹣
中，可以利用等体积法求PH，
因为DE∥BF 且PF⊥BF，
所以PF⊥DE，
又因为△PDF≌△CDF，
所以∠FPD=∠FCD=90°，
所以PF⊥PD，
由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，
第20页（共29页）
故VF
PDE
﹣
=
，
因为BF∥DA 且BF⊥面PEF，
所以DA⊥面PEF，
所以DE⊥EP．
设正方形边长为2a，则PD=2a，DE=a
在△PDE 中，
，
所以
，
故VF
PDE
﹣
=
，
又因为
，
所以PH=
=
，
所以在△PHD 中，sin∠PDH=
=
，
即∠PDH 为DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为：
．
【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法．几何
法的应用，考查转化思想以及计算能力．
19．（12 分）设椭圆C：
+y2=1 的右焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，
点M 的坐标为（2，0）．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
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【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）先得到F 的坐标，再求出点A 的方程，根据两点式可得直线方程，
（2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明．
【解答】解：（1）c=
=1，
∴F（1，0），
∵l 与x 轴垂直，
∴x=1，
由
，解得
或
，
∴A（1.
），或（1，﹣
），
∴直线AM 的方程为y=﹣
x+
，y=
x﹣
，
证明：（2）当l 与x 轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y=k（x
1
﹣），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜
，x2＜
，
直线MA，MB 的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=
+
，
由y1=kx1
k
﹣，y2=kx2
k
﹣得kMA+kMB=
，
将y=k（x
1
﹣）代入
+y2=1 可得（2k2+1）x2
4k
﹣
2x+2k2
2=0
﹣
，
∴x1+x2=
，x1x2=
，
∴2kx1x2
3k
﹣
（x1+x2）+4k=
（4k3
4k
12k
﹣
﹣
3+8k3+4k）=0
第22页（共29页）
从而kMA+kMB=0，
故MA，MB 的倾斜角互补，
∴∠OMA=∠OMB，
综上∠OMA=∠OMB．
【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以韦达定理，考查了运算能力和转化
能力，属于中档题．
20．（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之
前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产
品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．
设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品
相互独立．
（1）记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以（1）中确定的p0作为p
的值．已知每件产品的检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂
要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有
产品作检验？
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．
菁
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）求出f（p）=
，则
=
，利用导数性
质能求出f （p）的最大值点p0=0.1．
（2）（i）由p=0.1，令Y 表示余下的180 件产品中的不合格品数，依题意知Y～B
（180，0.1 ），再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出E（X）．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400 元，E（X）
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=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验．
【解答】解：（1）记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f（p），
则f（p）=
，
∴
=
，
令f′（p）=0，得p=0.1，
当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，
当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，
∴f （p）的最大值点p0=0.1．
（2）（i）由（1）知p=0.1，
令Y 表示余下的180 件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），
X=20×2+25Y，即X=40+25Y，
∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400 元，
∵E（X）=490＞400，
∴应该对余下的产品进行检验．
【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考
查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础
知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=
x
﹣+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：
＜a
2
﹣．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行
求解即可．
第24页（共29页）
（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结
论．
【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x）=﹣
1
﹣+
=﹣
，
设g（x）=x2
ax
﹣
+1，
当a≤0 时，g（x）＞0 恒成立，即f′（x）＜0 恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减
函数，
当a＞0 时，判别式△=a2
4
﹣，
①当0＜a≤2 时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0 恒成立，此时函数f（x）在
（0，+∞）上是减函数，
②当a＞2 时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：
x
（0，
）
（
，
）
（
，
+∞）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
递减
递增
递减
综上当a≤2 时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当a＞2 时，在（0，
），和（
，+∞）上是减函数，
则（
，
）上是增函数．
（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，
则f（x1）﹣f（x2）=（x2
x
﹣
1）（1+
）+a（lnx1
lnx
﹣
2）=2（x2
x
﹣
1）+a（lnx1
lnx
﹣
2），
则
=
2
﹣+
，
第25页（共29页）
则问题转为证明
＜1 即可，
即证明lnx1
lnx
﹣
2＞x1
x
﹣
2，
则lnx1
ln
﹣
＞x1﹣
，
即lnx1+lnx1＞x1﹣
，
即证2lnx1＞x1﹣
在（0，1）上恒成立，
设h（x）=2lnx
x
﹣+
，（0＜x＜1），其中h（1）=0，
求导得h′（x）=
1
﹣﹣
=﹣
=﹣
＜0，
则h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（x）＞h（1），即2lnx
x
﹣+
＞0，
故2lnx＞x﹣
，
则
＜a
2
﹣成立．
（2）另解：注意到f（
）=x﹣
alnx=
f
﹣
﹣（x），
即f（x）+f（
）=0，
由韦达定理得x1x2=1，x1+x2=a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1=
，
可得f（x2）+f（
）=0，即f（x1）+f（x2）=0，
要证
＜a
2
﹣，只要证
＜a
2
﹣，
即证2alnx2
ax
﹣
2+
＜0，（x2＞1），
第26页（共29页）
构造函数h（x）=2alnx
ax
﹣
+
，（x＞1），h′（x）=
≤0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴h（x）＜h（1）=0，
∴2alnx
ax
﹣
+
＜0 成立，即2alnx2
ax
﹣
2+
＜0，（x2＞1）成立．
即
＜a
2
﹣成立．
【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的
导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ
3=0
﹣
．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行
转化．
（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ
3=0
﹣
．
转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x
3=0
﹣
，
转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．
（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该射线关于y 轴对称，且恒过定点（0，
2）．
由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
第27页（共29页）
则：圆心到直线y=kx+2 的距离等于半径2．
故：
，或
解得：k=
或0，（0 舍去）或k=
或0
经检验，直线
与曲线C2没有公共点．
故C1的方程为：
．
【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线
和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax
1
﹣|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，求a 的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，转化为即|ax
1
﹣|＜1，即0＜ax＜2，转化
为a＜
，且a＞0，即可求出a 的范围．
【解答】解：（1）当a=1 时，f（x）=|x+1|﹣|x
1
﹣|=
，
由f（x）＞1，
∴
或
，
解得x＞
，
第28页（共29页）
故不等式f（x）＞1 的解集为（
，+∞），
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，
|
∴x+1|﹣|ax
1
﹣|
x
﹣＞0，
即x+1﹣|ax
1
﹣|
x
﹣＞0，
即|ax
1
﹣|＜1，
∴
1
﹣＜ax
1
﹣＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜
，
∴a＜
∵
＞2，
∴0＜a≤2，
故a 的取值范围为（0，2]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力
和转化能力，属于中档题．
第29页（共29页）
