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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束
后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={(𝑥||𝑥|<2)},B={−2,0,1,2},则
（A）{0,1}
（B）{−1,0,1}
（C）{−2,0,1,2}
（D）{−1,0,1,2}
（2）在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d 成等比数列”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展
做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，
每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
.若第一个单音的频率f，则第八个单音频
率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（7）在平面坐标系中，
是圆
上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角
以O𝑥
为始边，OP 为终边，若
，则P 所在的圆弧是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设集合
则
（A）对任意实数a，
（B）对任意实数a，（2,1）
（C）当且仅当a<0 时,（2,1）
（D）当且仅当
时,（2,1）
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
（9）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若
，则m=_________.
（10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l 被抛物线
截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为
_________.
（11）能说明“若a﹥b，则
”为假命题的一组a，b 的值依次为_________.
（12）若双曲线
的离心率为
，则a=_________.
（13）若𝑥,y 满足
，则2y−𝑥的最小值是_________.
（14）若
的面积为
,且∠C 为钝角，则∠B=_________；
的取值范围是_________.
三、解答题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13 分）
设
是等差数列，且
.
（Ⅰ）求
的通项公式；
（Ⅱ）求
.
（16）（本小题13 分）
已知函数
.
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）若
在区间
上的最大值为
，求
的最小值.
（17）（本小题13 分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；学科*网
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格
中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，
使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
（18）（本小题14 分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F 分别为
AD，PB 的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
（19）（本小题13 分）
设函数
.
（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若
在
处取得极小值，求a 的取值范围.
（20）（本小题14 分）
已知椭圆
的离心率为
，焦距为
.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个
不同的交点A，B.
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；学.科网
（Ⅱ）若
，求
的最大值；
（Ⅲ）设
，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D.若C,D 和
点
共线，求k.
参考答案
1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．D
9．
10．
11．
（答案不唯一） 12．4
13．3
14．
15．（共13 分）
解：（I）设等差数列
的公差为
，
∵
，
∴
，
又
，∴
.
∴
.
（II）由（I）知
，
∵
，
∴
是以2 为首项，2 为公比的等比数列.
∴
.
∴
.
16.（共13 分）
【解析】（Ⅰ）
，
所以
的最小正周期为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
.
因为
，所以
.
要使得
在
上的最大值为
，即
在
上的最大值为1.
所以
，即
.
所以
的最小值为
.
17.（共13 分）
（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，
故所求概率为
.
（Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1
=56+10+45+50+160+51
=372.
故所求概率估计为
.
方法二：设“随机选取1 部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.
没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628 部.
由古典概型概率公式得
.
（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.
18.（共14 分）
【解析】（Ⅰ）∵
，且
为
的中点，∴
.
∵底面
为矩形，∴
，
∴
.
（Ⅱ）∵底面
为矩形，∴
.
∵平面
平面
，∴
平面
.
∴
.又
,学科.网
∵
平面
，∴平面
平面
.
（Ⅲ）如图，取
中点
，连接
.
∵
分别为
和
的中点，∴
，且
.
∵四边形
为矩形，且
为
的中点，
∴
，
∴
，且
，∴四边形
为平行四边形，
∴
.
又
平面
，
平面
，
∴
平面
.
19. （13 分）
解：（Ⅰ）因为
，
所以
.
，
由题设知
，即
，解得
.
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得
.
若a>1，则当
时，
；
当
时，
.
所以
在x=1 处取得极小值.
若
，则当
时，
，
所以
.
所以1 不是
的极小值点.
综上可知，a 的取值范围是
.
方法二：
.
（1）当a=0 时，令
得x=1.
随x 的变化情况如下表：
x
1
+
0
−
↗
极大值
↘
∴
在x=1 处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0 时，令
得
.
①当
，即a=1 时，
，
∴
在
上单调递增，
∴
无极值，不合题意.
②当
，即0<a<1 时，
随x 的变化情况如下表：
x
1
+
0
−
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴
在x=1 处取得极大值，不合题意.
③当
，即a>1 时，
随x 的变化情况如下表：
x
+
0
−
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴
在x=1 处取得极小值，即a>1 满足题意.
（3）当a<0 时，令
得
.
随x 的变化情况如下表：
x
−
0
+
0
−
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴
在x=1 处取得极大值，不合题意.
综上所述，a 的取值范围为
.
20．（共14 分）
【解析】（Ⅰ）由题意得
，所以
，
又
，所以
，所以
，
所以椭圆
的标准方程为
．
（Ⅱ）设直线
的方程为
，
由
消去
可得
，
则
，即
，
设
，
，则
，
，
则
，
易得当
时，
，故
的最大值为
．
（Ⅲ）设
，
，
，
，
则
①，
②，
又
，所以可设
，直线
的方程为
，
由
消去
可得
，
则
，即
，
又
，代入①式可得
，所以
，
所以
，同理可得
．
故
，
，
因为
三点共线，所以
，
将点
的坐标代入化简可得
，即
．
