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2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4 页。满分150 分。考试用时120 分钟。考试
结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区
和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新
的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
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第I 卷（共50 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合
，则
=
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）若复数
，其中i 为虚数单位，则
=
（A）1+i
（B）1−i
（C）−1+i
（D）−1−i
（3）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习
时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，
这200 名学生中每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是
（A）56
（B）60
（C）120
（D）140
（4）若变量x，y 满足
则x2+y2的最大值是
（A）4（B）9（C）10（D）12
（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
3
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知直线a，b 分别在两个不同的平面α，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α 和平面
相交”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）已知圆M：
截直线
所得线段的长度是
，则圆M 与圆N：
4
的位置关系是
（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离
（8）
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
,则A=
（A）
（B）
（C）
（D）
(9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0 时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1 时，f(-x)= —f(x)；当x＞
时，f(x+
)=f(x—
).则f(6)=
（A）-2 （B）-1
（C）0 （D）2
（10）若函数
的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称
具有T
性质.下列函数中具有T 性质的是学科&网
（A）
（B）
（C）
（D）
第II 卷（共100 分）
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
（11）执行右边的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为_______．
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（12）观察下列等式：
；
；
；
；
……
照此规律，
_________．
（13）已知向量a=(1,–1)，b=(6,–4)．若a⊥(ta+b)，则实数t 的值为________．
（14）已知双曲线E：
–
=1（a>0，b>0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB，CD 的中点为E 的两个焦点，
且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是_______．
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（15）已知函数f(x)=
其中m>0．若存在实数b，使得关于x 的方程f(x)=b 有三个不同
的根，则m 的取值范围是_______．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分
（16）（本小题满分12 分）
某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动
后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若
，则奖励玩具一个；学科&网
②若
，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
（I）求小亮获得玩具的概率；
（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
（17）（本小题满分12 分）
设
.
（I）求
得单调递增区间；
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（II）把
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移
个
单位，得到函数
的图象，求
的值.
（18）（本小题满分12 分）
在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF∥DB.
（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；
（II）已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH∥平面ABC.
（19）（本小题满分12 分）
已知数列
的前n 项和
，
是等差数列，且
.
（I）求数列
的通项公式；学科&网
（II）令
.求数列
的前n 项和
.
8
(20)(本小题满分13 分)
设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
(Ⅱ)已知f(x)在x=1 处取得极大值.求实数a 的取值范围.
(21)(本小题满分14 分)
已知椭圆C:错误: 引用源未找到（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2错误: 引用源未找到.
（I）求椭圆C 的方程；
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(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x 轴与点N，交C 于点A，P(P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P
作x 轴的垂线交C 于另一点Q，延长线QM 交C 于点B.
(i)设直线PM、QM 的斜率分别为k、k'，证明错误: 引用源未找到为定值.
(ii)求直线AB 的斜率的最小值.
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（文科）
第I 卷（共50 分）
一、选择题
（1）【答案】A
（2）【答案】B
（3）【答案】D
（4）【答案】C
（5）【答案】C
（6）【答案】A
（7）【答案】B
（8）【答案】C
(9) 【答案】D
（10）【答案】A
第II 卷（共100 分）
二、填空题
（11）【答案】
（12）【答案】
10
（13）【答案】
（14）【答案】
（15）【答案】
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分
（16）
【答案】（）
.（
）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
【解析】
试题分析：用数对
表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间
与点集
一一对应.得到基本事件总数为
（）事件
包含的基本事件共有
个，即
计算即得.
（
）记“
”为事件
，“
”为事件
.
知事件
包含的基本事件共有
个，得到
事件
包含的基本事件共有
个，得到
比较即知.
试题解析：用数对
表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间
与点集
一一对应.因为
中元素个数是
所以基本事件总
数为
（）记“
”为事件
.
则事件
包含的基本事件共有
个，即
所以，
即小亮获得玩具的概率为
.
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（
）记“
”为事件
，“
”为事件
.
则事件
包含的基本事件共有
个，即
所以，
则事件
包含的基本事件共有
个，即
所以，
因为
所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
考点：古典概型
（17）
【答案】（）
的单调递增区间是
（或
）
（
）
【解析】
试题分析：（）化简
得
由
即得
写出
的单调递增区间
（
）由
平移后得
进一步可得
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试题解析：（）由
由
得
所以，
的单调递增区间是
（或
）
（
）由（）知
把
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍（纵坐标不变），
得到
的图象，
再把得到的图象向左平移
个单位，得到
的图象，
即
所以
考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数的图象和性质.
（18）【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.
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【解析】
试题分析：（Ⅰ））根据
，知
与
确定一个平面，连接
，得到
，
，从而
平面
，证得
.
（Ⅱ）设
的中点为，连
，在
，
中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面
平面
，进一步得到
平面
.
试题解析：
（Ⅰ））证明：因
，所以
与
确定一个平面，连接
，因为
为
的中点，
所以
；同理可得
，又因为
，所以
平面
，因为
平面
，
。
（Ⅱ）设
的中点为，连
，在
中，
是
的中点，所以
，又
，所以
；在
中，
是
的中点，所以
，又
，所以平面
平面
，因为
平面
，所以
平面
。
I
F
E
H
G
B
D
C
A
考点：1.平行关系；2.垂直关系.
（19）
【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意得
，解得
，得到
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，从而
利用“错位相减法”即得
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试题解析：
（Ⅰ）由题意当
时，
，当
时，
；所以
；设数列
的公差为，由
，即
，解之得
，所以
。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，又
，即
，所以
，以上两式两边相减得
。
所以
考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.
(20)
【答案】(Ⅰ)当
时，函数
单调递增区间为
；
当
时，函数
单调递增区间为
，单调递减区间为
.
(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)求导数
可得
，
从而
，
讨论当
时，当
时的两种情况即得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
.分以下情况讨论：①当
时，②当
时，③当
时，④当
时，
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综合即得.
试题解析：(Ⅰ)由
可得
，
则
，
当
时，
时，
，函数
单调递增；
当
时，
时，
，函数
单调递增，
时，
，函数
单调递减.
所以当
时，函数
单调递增区间为
；
当
时，函数
单调递增区间为
，单调递减区间为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
.
①当
时，
，
单调递减.
所以当
时，
，
单调递减.
当
时，
，
单调递增.
所以
在x=1 处取得极小值，不合题意.
②当
时，
，由(Ⅰ)知
在
内单调递增，
可得当当
时，
，
时，
，
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所以
在(0,1)内单调递减，在
内单调递增，
所以
在x=1 处取得极小值，不合题意.
③当
时，即
时，
在(0,1)内单调递增，在
内单调递减，
所以当
时，
，
单调递减，不合题意.
④当
时，即
，当
时，
，
单调递增,
当
时，
，
单调递减，
所以f(x)在x=1 处取得极大值，合题意.
综上可知，实数a 的取值范围为
.
考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.
(21)
【答案】(Ⅰ)
.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)分别计算a,b 即得.
(Ⅱ)(i)设
，
由M(0,m)，可得
得到直线PM 的斜率
，直线QM 的斜率
.证得.
(ii)设
，
直线PA 的方程为y=kx+m，
直线QB 的方程为y=-3kx+m.
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联立
，
整理得
.
应用一元二次方程根与系数的关系得到
，
，
得到
应用基本不等式即得.
试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，
由题意知
，
所以
，
所以椭圆C 的方程为
.
(Ⅱ)(i)设
，
由M(0,m)，可得
所以 直线PM 的斜率
，
直线QM 的斜率
.
此时
，
所以
为定值-3.
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(ii)设
，
直线PA 的方程为y=kx+m，
直线QB 的方程为y=-3kx+m.
联立
，
整理得
.
由
可得
，
所以
，
同理
.
所以
，
，
所以
由
，可知k>0，
所以
，等号当且仅当
时取得.
此时
，即
，符号题意.
所以直线AB 的斜率的最小值为
.
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考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.
