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2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（5 分）已知集合A={x|x
1
﹣≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0}
B．{1}
C．{1，2}
D．{0，1，2}
2．（5 分）（1+i）（2
i
﹣）=（ ）
A．﹣3
i
﹣
B．﹣3+i
C．3
i
﹣
D．3+i
3．（5 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中
木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬
合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）若sinα=
，则cos2α=（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
5．（5 分）（x2+
）5的展开式中x4的系数为（ ）
A．10
B．20
C．40
D．80
6．（5 分）直线x+y+2=0 分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，点P 在圆（x
2
﹣）2+y2=2 上，则△ABP 面积的
取值范围是（ ）
A．[2，6]
B．[4，8]
C．[
，3
]
D．[2
，3
]
7．（5 分）函数y=
x
﹣4+x2+2 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X 为该
群体的10 位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（ ）
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
9．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若△ABC 的面积为
，则C=（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）设A，B，C，D 是同一个半径为4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为9
，
则三棱锥D
ABC
﹣
体积的最大值为（ ）
A．12
B．18
C．24
D．54
11．（5 分）设F1，F2是双曲线C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O 是坐标原点．过F2作C 的一
条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=
|OP|，则C 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
第1页（共17页）
12．（5 分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（ ）
A．a+b＜ab＜0
B．ab＜a+b＜0
C．a+b＜0＜ab
D．ab＜0＜a+b
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2 + ），则λ= ．
14．（5 分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ．
15．（5 分）函数f（x）=cos（3x+
）在[0，π]的零点个数为 ．
16．（5 分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A，B 两点．
若∠AMB=90°，则k=
．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n 项和．若Sm=63，求m．
18．（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产
方式．为比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人．第一组工
人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过
m 的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2=
，
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
第2页（共17页）
19．（12 分）如图，边长为2 的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，M 是
上异于C，
D 的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M
ABC
﹣
体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
20．（12 分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C：
+
=1 交于A，B 两点，线段AB 的中点为M（1，m）
（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣
；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且
+
+
= ．证明：|
|，|
|，|
|成等差数列，并求该
数列的公差．
21．（12 分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0 时，f（x）＜0；当x＞0 时，f（x）＞0；
（2）若x=0 是f（x）的极大值点，求a．
第3页（共17页）
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为
，（θ 为参数），过点（0，﹣
）且
倾斜角为α 的直线l 与⊙O 交于A，B 两点．
（1）求α 的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设函数f（x）=|2x+1|+|x
1
﹣|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b 的最小值．
第4页（共17页）
2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（5 分）已知集合A={x|x
1
﹣≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0}
B．{1}
C．{1，2}
D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．
【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．
【解答】解：∵A={x|x
1
﹣≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．（5 分）（1+i）（2
i
﹣）=（ ）
A．﹣3
i
﹣
B．﹣3+i
C．3
i
﹣
D．3+i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1+i）（2
i
﹣）=3+i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中
木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬
合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．
【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫
头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3 边是虚线，所以木构件
的俯视图是A．
故选：A．
【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．
4．（5 分）若sinα=
，则cos2α=（ ）
第5页（共17页）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．
【分析】cos2α=1
2sin
﹣
2α，由此能求出结果．
【解答】解：∵sinα=
，
∴cos2α=1
2sin
﹣
2α=1
2
﹣×
=
．
故选：B．
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，是基础题．
5．（5 分）（x2+
）5的展开式中x4的系数为（ ）
A．10
B．20
C．40
D．80
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理．
【分析】由二项式定理得（x2+
）5的展开式的通项为：Tr+1=
（x2）5
r
﹣（
）r=
，由10
3r=4
﹣
，
解得r=2，由此能求出（x2+
）5的展开式中x4的系数．
【解答】解：由二项式定理得（x2+
）5的展开式的通项为：
Tr+1=
（x2）5
r
﹣（
）r=
，
由10
3r=4
﹣
，解得r=2，
∴（x2+
）5的展开式中x4的系数为
=40．
故选：C．
【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算
求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．（5 分）直线x+y+2=0 分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，点P 在圆（x
2
﹣）2+y2=2 上，则△ABP 面积的
取值范围是（ ）
A．[2，6]
B．[4，8]
C．[
，3
]
D．[2
，3
]
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2
，设P（2+
，
），点P 到直线x+y+2=0 的
距离：d=
=
∈[
]，由此能求出△ABP 面积的
取值范围．
【解答】解：∵直线x+y+2=0 分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，
∴令x=0，得y=
2
﹣，令y=0，得x=
2
﹣，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=
=2
，
∵点P 在圆（x
2
﹣）2+y2=2 上，∴设P（2+
，
），
∴点P 到直线x+y+2=0 的距离：
d=
=
，
∵sin（
）∈[
1
﹣，1]，∴d=
∈[
]，
∴△ABP 面积的取值范围是：
[
，
]=[2，6]．
故选：A．
第6页（共17页）
【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方
程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
7．（5 分）函数y=
x
﹣4+x2+2 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．
【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．
函数的导数f′（x）=
4x
﹣
3+2x=
2x
﹣
（2x2
1
﹣），
由f′（x）＞0 得2x（2x2
1
﹣）＜0，
得x＜﹣
或0＜x＜
，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0 得2x（2x2
1
﹣）＞0，
得x＞
或﹣
＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，
也可以利用f（1）=
1
﹣+1+2=2＞0，排除A，B，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本
题的关键．
8．（5 分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X 为该
群体的10 位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（ ）
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．
【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，
p），
P（x=4）＜P（X=6），可得
，可得1
2p
﹣
＜0．即p
．
因为DX=2.4，可得10p（1
p
﹣）=2.4，解得p=0.6 或p=0.4（舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想
第7页（共17页）
以及计算能力．
9．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若△ABC 的面积为
，则C=（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】推导出S△ABC=
=
，从而sinC=
=cosC，由此能求出结果．
【解答】解：∵△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
△ABC 的面积为
，
∴S△ABC=
=
，
∴sinC=
=cosC，
∵0＜C＜π，∴C=
．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能
力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．（5 分）设A，B，C，D 是同一个半径为4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为9
，
则三棱锥D
ABC
﹣
体积的最大值为（ ）
A．12
B．18
C．24
D．54
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】求出，△ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可．
【解答】解：△ABC 为等边三角形且面积为9
，可得
，解得AB=6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：
O′C=
=
，OO′=
=2，
则三棱锥D
ABC
﹣
高的最大值为：6，
则三棱锥D
ABC
﹣
体积的最大值为：
=18
．
故选：B．
【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
11．（5 分）设F1，F2是双曲线C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O 是坐标原点．过F2作C 的一
条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=
|OP|，则C 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|
PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2
2
﹣|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O，代值化简整理可得
a=c，问题得以解决．
【解答】解：双曲线C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=
x，
∴点F2到渐近线的距离d=
=b，即|PF2|=b，
第8页（共17页）
∴|OP|=
=
=a，cos∠PF2O=
，
∵|PF1|=
|OP|，
∴|PF1|=
a，
在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2
2
﹣|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，
∴6a2=b2+4c2
2
﹣×b×2c×
=4c2
3b
﹣
2=4c2
3
﹣（c2
a
﹣
2），
即3a2=c2，
即
a=c，
∴e=
=
，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．
12．（5 分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（ ）
A．a+b＜ab＜0
B．ab＜a+b＜0
C．a+b＜0＜ab
D．ab＜0＜a+b
【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案．
【解答】解：∵a=log0.20.3=
，b=log20.3=
，
∴
=
，
，
∵
，
，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2 + ），则λ=
．
【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量坐标运算法则求出
=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ 的值．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），
∴
=（4，2），
∵=（1，λ），∥（2 + ），
∴
，
解得λ=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求
解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．（5 分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ﹣
3
．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．
第9页（共17页）
【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex，
曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，
可得：a+1=
2
﹣，解得a=
3
﹣．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．
15．（5 分）函数f（x）=cos（3x+
）在[0，π]的零点个数为
3
．
【考点】51：函数的零点．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+
）=0，可得3x+
=
+kπ，k∈Z，即x=
+
kπ，即可求出．
【解答】解：∵f（x）=cos（3x+
）=0，
∴3x+
=
+kπ，k∈Z，
∴x=
+
kπ，k∈Z，
当k=0 时，x=
，
当k=1 时，x=
π，
当k=2 时，x=
π，
当k=3 时，x=
π，
∵x∈[0，π]，
∴x=
，或x=
π，或x=
π，
故零点的个数为3，
故答案为：3
【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．
16．（5 分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A，B 两点．
若∠AMB=90°，则k=
2
．
【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知可求过A，B 两点的直线方程为y=k（x
1
﹣），然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x2﹣
2（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由∠AMB=90°，向量的数量积为0，代入整理可求k．
【解答】解：∵抛物线C：y2=4x 的焦点F（1，0），
∴过A，B 两点的直线方程为y=k（x
1
﹣），
联立
可得，k2x2
2
﹣（2+k2）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1+x2=
，x1x2=1，
∴y1+y2=k（x1+x2
2
﹣）=
，y1y2=k2（x1
1
﹣）（x2
1
﹣）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=
4
﹣，
∵M（﹣1，1），
∴
=（x1+1，y1
1
﹣），
=（x2+1，y2
1
﹣），
∵∠AMB=90°，∴
•
=0
∴（x1+1）（x2+1）+（y1
1
﹣）（y2
1
﹣）=0，
整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，
∴1+2+
4
﹣﹣
+2=0，
即k2
4k
﹣
+4=0，
∴k=2．
第10页（共17页）
故答案为：2
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n 项和．若Sm=63，求m．
【考点】89：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{an}的通项公式．
（2）当a1=1，q=
2
﹣时，Sn=
，由Sm=63，得Sm=
=63，m∈N，无解；当a1=1，q=2 时，Sn=2n
1
﹣，由此能求出m．
【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
∴1×q4=4×（1×q2），
解得q=±2，
当q=2 时，an=2n
1
﹣，
当q=
2
﹣时，an=（﹣2）n
1
﹣，
∴{an}的通项公式为，an=2n
1
﹣，或an=（﹣2）n
1
﹣．
（2）记Sn为{an}的前n 项和．
当a1=1，q=
2
﹣时，Sn=
=
=
，
由Sm=63，得Sm=
=63，m∈N，无解；
当a1=1，q=2 时，Sn=
=
=2n
1
﹣，
由Sm=63，得Sm=2m
1=63
﹣
，m∈N，
解得m=6．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力
考查函数与方程思想，是基础题．
18．（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产
方式．为比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人．第一组工
人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过
m 的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2=
，
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
第11页（共17页）
（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．
【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92 之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85 之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是79 和81，计算它们的中位数为m=
=80；
由此填写列联表如下；
超过m
不超过m
总计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
总计
20
20
40
（3）根据（2）中的列联表，计算
K2=
=
=10＞6.635，
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
19．（12 分）如图，边长为2 的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，M 是
上异于C，
D 的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M
ABC
﹣
体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用．
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM 即可．
（2）根据三棱锥的体积最大，确定M 的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行
求解即可．
【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC，
∵正方形ABCD 所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，
∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC，
∵AD∩DM=D，
∴MC⊥平面ADM，
∵MC⊂平面MBC，
∴平面AMD⊥平面BMC．
（2）∵△ABC 的面积为定值，
∴要使三棱锥M
ABC
﹣
体积最大，则三棱锥的高最大，
此时M 为圆弧的中点，
建立以O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图
∵正方形ABCD 的边长为2，
∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），
则平面MCD 的法向量=（1，0，0），
设平面MAB 的法向量为=（x，y，z）
则
=（0，2，0），
=（﹣2，1，1），
由•
=2y=0，•
=
2x
﹣
+y+z=0，
令x=1，
则y=0，z=2，即=（1，0，2），
则cos＜，＞=
=
=
，
第12页（共17页）
则面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值sinα=
=
．
【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标
系，利用向量法是解决本题的关键．
20．（12 分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C：
+
=1 交于A，B 两点，线段AB 的中点为M（1，m）
（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣
；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且
+
+
= ．证明：|
|，|
|，|
|成等差数列，并求该
数列的公差．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1
x
﹣2）+8m（y1
y
﹣2）=0，k=
=﹣
=﹣
又点M（1，m）在椭圆内，即
，解得m 的取值范围，即可得k＜﹣
，
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2
由
+
+
= ，可得x3
1=0
﹣
，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a
ex
﹣
1=2﹣
x1，|FB|=2﹣
x2，|FP|=2
﹣
x3=
．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B 坐标再求公差．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB 的中点为M（1，m），
∴x1+x2=2，y1+y2=2m
将A，B 代入椭圆C：
+
=1 中，可得
，
两式相减可得，3（x1+x2）（x1
x
﹣2）+4（y1+y2）（y1
y
﹣2）=0，
即6（x1
x
﹣2）+8m（y1
y
﹣2）=0，
∴k=
=﹣
=﹣
点M（1，m）在椭圆内，即
，
解得0＜m
∴
．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），
可得x1+x2=2，
∵
+
+
= ，F（1，0），∴x1
1
﹣+x2
1
﹣+x3
1=0
﹣
，y1+y2+y3=0，
∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=
2m
﹣
∵m＞0，可得P 在第四象限，故y3=﹣
，m=
，k=
1
﹣
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a
ex
﹣
1=2﹣
x1，|FB|=2﹣
x2，|FP|=2﹣
x3=
．
则|FA|+|FB|=4﹣
，∴|FA|+|FB|=2|FP|，
第13页（共17页）
联立
，可得|x1
x
﹣2|=
所以该数列的公差d 满足2d=
|x1
x
﹣2|=
，
∴该数列的公差为±
．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解
决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0 时，f（x）＜0；当x＞0 时，f（x）＞0；
（2）若x=0 是f（x）的极大值点，求a．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）对函数f（x）两次求导数，分别判断f′（x）和f（x）的单调性，结合f（0）=0 即可得出结论；
（2）令h（x）为f′（x）的分子，令h″（0）计算a，讨论a 的范围，得出f（x）的单调性，从而得出a 的值．
【解答】（1）证明：当a=0 时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．
，
，
可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0
∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴f′（x）≥f′（0）=0，
∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x 在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0．
∴当﹣1＜x＜0 时，f（x）＜0；当x＞0 时，f（x）＞0．
（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得
f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+
2=
﹣
，
令h（x）=ax2
x
﹣+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），
h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．
当a≥0，x＞0 时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0 不是f（x）的极大值点，不符合题意．
当a＜0 时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+
，
显然h″（x）单调递减，
①令h″（0）=0，解得a=﹣
．
∴当﹣1＜x＜0 时，h″（x）＞0，当x＞0 时，h″（x）＜0，
∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴h′（x）≤h′（0）=0，
∴h（x）单调递减，又h（0）=0，
∴当﹣1＜x＜0 时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，
当x＞0 时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴x=0 是f（x）的极大值点，符合题意；
②若﹣
＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e
1
﹣）=（2a
1
﹣）（1
e
﹣
）＜0，
∴h″（x）=0 在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x0，
∴当0＜x＜x0时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，
∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；
③若a＜﹣
，则h″（0）=1+6a＜0，h″（
﹣1）=（1
2a
﹣
）e2＞0，
∴h″（x）=0 在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1，
∴当x1＜x＜0 时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减，
∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，
∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意．
第14页（共17页）
综上，a=﹣
．
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，属于
难题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为
，（θ 为参数），过点（0，﹣
）且
倾斜角为α 的直线l 与⊙O 交于A，B 两点．
（1）求α 的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
【考点】QK：圆的参数方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）⊙O 的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=
时，直线l 的方程为x=0，
成立；当α≠
时，过点（0，﹣
）且倾斜角为α 的直线l 的方程为y=tanα•x+
，从而圆心O（0，
0）到直线l 的距离d=
＜1，进而求出
或
，由此能求出α 的
取值范围．
（2）设直线l 的方程为x=m（y+
），联立
，得（m2+1）y2+2
+2m2
1=0
﹣
，由此利用
韦达定理、中点坐标公式能求出AB 中点P 的轨迹的参数方程．
【解答】解：（1）∵⊙O 的参数方程为
（θ 为参数），
∴⊙O 的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，
当α=
时，过点（0，﹣
）且倾斜角为α 的直线l 的方程为x=0，成立；
当α≠
时，过点（0，﹣
）且倾斜角为α 的直线l 的方程为y=tanα•x﹣
，
∵倾斜角为α 的直线l 与⊙O 交于A，B 两点，
∴圆心O（0，0）到直线l 的距离d=
＜1，
∴tan2α＞1，∴tanα＞1 或tanα＜﹣1，
∴
或
，
综上α 的取值范围是（
，
）．
（2）由（1）知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=m（y+
），
设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），
联立
，得（m2+1）y2+2
+2m2
1=0
﹣
，
，
=﹣
+2
，
=
，
=﹣
，
∴AB 中点P 的轨迹的参数方程为
，（m 为参数），（﹣1＜m＜1）．
【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参
第15页（共17页）
数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考
查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设函数f（x）=|2x+1|+|x
1
﹣|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b 的最小值．
【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．
（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．
【解答】解：（1）当x≤﹣
时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x
1
﹣）=
3x
﹣
，
当﹣
＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x
1
﹣）=x+2，
当x≥1 时，f（x）=（2x+1）+（x
1
﹣）=3x，
则f（x）=
对应的图象为：
画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，
当x=0 时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，
当x＞0 时，要使f（x）≤ax+b 恒成立，
则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b 的下方或在直线上，
∵f（x）的图象与y 轴的交点的纵坐标为2，
且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3 且b≥2 时，不等式f（x）≤ax+b 在[0，+∞）上成立，
即a+b 的最小值为5．
第16页（共17页）
【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的
关键．
第17页（共17页）
