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2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合A={0，2}，B={
2
﹣，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0，2}
B．{1，2}
C．{0}
D．{
2
﹣，﹣1，0，1，2}
2．（5 分）设z=
+2i，则|z|=（ ）
A．0
B．
C．1
D．
3．（5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前
后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5 分）已知椭圆C：
+
=1 的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆
柱所得的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
第1页（共27页）
A．12
π
B．12π
C．8
π
D．10π
6．（5 分）设函数f（x）=x3+（a
1
﹣）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点
（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=
2x
﹣
B．y=
x
﹣
C．y=2x
D．y=x
7．（5 分）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
=（ ）
A．
﹣
B．
﹣
C．
+
D．
+
8．（5 分）已知函数f（x）=2cos2x
sin
﹣
2x+2，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
9．（5 分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在
正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此
圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2
B．2
C．3
D．2
10．（5 分）在长方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C 所成的
角为30°，则该长方体的体积为（ ）
A．8
B．6
C．8
D．8
11．（5 分）已知角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两
点A（1，a），B（2，b），且cos2α=
，则|a
b
﹣|=（ ）
A．
B．
C．
D．1
第2页（共27页）
12．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（x+1）＜f（2x）的x 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1]
B．（0，+∞）
C．（﹣1，0）
D．（﹣∞，0）
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a= ．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为 ．
15．（5 分）直线y=x+1 与圆x2+y2+2y
3=0
﹣
交于A，B 两点，则|AB|= ．
16 ．（5 分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2
a
﹣2=8，则△ABC 的面积为 ．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作
答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=
．
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
第3页（共27页）
18．（12 分）如图，在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC 为折
痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB⊥DA．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP=DQ=
DA，求三棱锥Q﹣
ABP 的体积．
19．（12 分）某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据（单位：m3）和使
用了节水龙头50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7）
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表
第4页（共27页）
日用水量
[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）
频数
1
5
13
10
16
5
（1）作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365 天计算，同一
组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
20．
（12 分）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A 的直线l 与C 交于
M，N 两点．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；
（2）证明：∠ABM=∠ABN．
第5页（共27页）
21．（12 分）已知函数f（x）=aex
lnx
1
﹣
﹣．
（1）设x=2 是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；
（2）证明：当a≥
时，f（x）≥0．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ
3=0
﹣
．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax
1
﹣|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，求a 的取值范围．
第6页（共27页）
2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合A={0，2}，B={
2
﹣，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0，2}
B．{1，2}
C．{0}
D．{
2
﹣，﹣1，0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；49：综合法；5J：集合．
【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
【解答】解：集合A={0，2}，B={
2
﹣，﹣1，0，1，2}，
则A∩B={0，2}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．
2．（5 分）设z=
+2i，则|z|=（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．
【解答】解：z=
+2i=
+2i=
i
﹣+2i=i，
则|z|=1．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
3．（5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前
第7页（共27页）
后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简易逻辑．
【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村
建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．
【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
A 项，种植收入37%×2a
60%a=14%a
﹣
＞0，
故建设后，种植收入增加，故A 项错误．
B 项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，
建设前，其他收入为4%a，
故10%a÷4%a=2.5＞2，
故B 项正确．
C 项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，
建设前，养殖收入为30%a，
故60%a÷30%a=2，
故C 项正确．
D 项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
（30%+28%）×2a=58%×2a，
经济收入为2a，
第8页（共27页）
故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，
故D 项正确．
因为是选择不正确的一项，
故选：A．
【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问
题解决问题的能力．
4．（5 分）已知椭圆C：
+
=1 的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：椭圆C：
+
=1 的一个焦点为（2，0），
可得a2
4=4
﹣
，解得a=2
，
∵c=2，
∴e=
=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
5．（5 分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆
柱所得的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A．12
π
B．12π
C．8
π
D．10π
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用圆柱的截面是面积为8 的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求
解圆柱的表面积．
第9页（共27页）
【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，
圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，
过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，
可得：4R2=8，解得R=
，
则该圆柱的表面积为：
=12π．
故选：B．
【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基
本知识的考查．
6．（5 分）设函数f（x）=x3+（a
1
﹣）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点
（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y=
2x
﹣
B．y=
x
﹣
C．y=2x
D．y=x
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切
线方程．
【解答】解：函数f（x）=x3+（a
1
﹣）x2+ax，若f（x）为奇函数，
可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，
曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．
7．（5 分）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
=（ ）
A．
﹣
B．
﹣
C．
+
D．
+
【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，
第10页（共27页）
=
﹣
=
﹣
=
﹣
×
（
+
）
=
﹣
，
故选：A．
【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
8．（5 分）已知函数f（x）=2cos2x
sin
﹣
2x+2，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．
【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函
数，进一步利用余弦函数的性质求出结果．
【解答】解：函数f（x）=2cos2x
sin
﹣
2x+2，
=2cos2x
sin
﹣
2x+2sin2x+2cos2x，
=4cos2x+sin2x，
=3cos2x+1，
=
，
=
，
故函数的最小正周期为π，
函数的最大值为
，
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的
应用．
第11页（共27页）
9．（5 分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在
正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此
圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2
B．2
C．3
D．2
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．
【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，
直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路
径中，最短路径的长度：
=2
．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算
能力．
10．（5 分）在长方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C 所成的
角为30°，则该长方体的体积为（ ）
A．8
B．6
C．8
D．8
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
第12页（共27页）
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与
距离．
【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．
【解答】解：长方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，AB=BC=2，
AC1与平面BB1C1C 所成的角为30°，
即∠AC1B=30°，可得BC1=
=2
．
可得BB1=
=2
．
所以该长方体的体积为：2×
=8
．
故选：C．
【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．
11．（5 分）已知角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两
点A（1，a），B（2，b），且cos2α=
，则|a
b
﹣|=（ ）
A．
B．
C．
D．1
【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】推导出cos2α=2cos2α
1=
﹣
，从而|cosα|=
，进而|tanα|=|
|=|a
b
﹣|=
．由此能求出结果．
【解答】解：∵角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，
终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=
，
第13页（共27页）
∴cos2α=2cos2α
1=
﹣
，解得cos2α=
，
|
∴cosα|=
，∴|sinα|=
=
，
|tanα|=|
|=|a
b
﹣|=
=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知
识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
12．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（x+1）＜f（2x）的x 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1]
B．（0，+∞）
C．（﹣1，0）
D．（﹣∞，0）
【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．
【解答】解：函数f（x）=
，的图象如图：
满足f（x+1）＜f（2x），
可得：2x＜0＜x+1 或2x＜x+1≤0，
解得x∈（﹣∞，0）．
故选：D．
第14页（共27页）
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能
力．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a= ﹣
7
．
【考点】3T：函数的值；53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，
可得：log2（9+a）=1，可得a=
7
﹣．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的领导与方程根的关系，是基本知识
的考查．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为
6
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
第15页（共27页）
由z=3x+2y 得y=﹣
x+
z，
平移直线y=﹣
x+
z，
由图象知当直线y=﹣
x+
z 经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z 最大，
最大值为z=3×2=6，
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合
是解决本题的关键．
15．（5 分）直线y=x+1 与圆x2+y2+2y
3=0
﹣
交于A，B 两点，则|AB|=
2
．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求
解即可．
【解答】解：圆x2+y2+2y
3=0
﹣
的圆心（0，﹣1），半径为：2，
圆心到直线的距离为：
=
，
第16页（共27页）
所以|AB|=2
=2
．
故答案为：2
．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．
16 ．（5 分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2
a
﹣2=8，则△ABC 的面积为
．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】直接利用正弦定理求出A 的值，进一步利用余弦定理求出bc 的值，最后
求出三角形的面积．
【解答】解：△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
bsinC+csinB=4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，
由于0＜B＜π，0＜C＜π，
所以sinBsinC≠0，
所以sinA=
，
则A=
由于b2+c2
a
﹣2=8，
则：
，
①当A=
时，
，
解得bc=
，
所以
．
②当A=
时，
，
第17页（共27页）
解得bc=﹣
（不合题意），舍去．
故：
．
故答案为：
．
【点评】本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理
的应用及三角形面积公式的应用．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作
答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=
．
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．
（2）利用定义说明数列为等比数列．
（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．
【解答】解：（1）数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，
则：
（常数），
由于
，
故：
，
数列{bn}是以b1为首项，2 为公比的等比数列．
第18页（共27页）
整理得：
，
所以：b1=1，b2=2，b3=4．
（2）数列{bn}是为等比数列，
由于
（常数）；
（3）由（1）得：
，
根据
，
所以：
．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．
18．（12 分）如图，在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC 为折
痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB⊥DA．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP=DQ=
DA，求三棱锥Q﹣
ABP 的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）可得AB⊥AC，AB⊥DA．且AD∩AC=A，即可得AB⊥面ADC，平面
ACD⊥平面ABC；
第19页（共27页）
（2）首先证明DC⊥面ABC，再根据BP=DQ=
DA，可得三棱锥Q
ABP
﹣
的高，求
出三角形ABP 的面积即可求得三棱锥Q
ABP
﹣
的体积．
【解答】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM 中，∠ACM=90°，∴AB⊥AC，
又AB⊥DA．且AD∩AC=A，
∴AB⊥面ADC，∴AB⊂面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC；
（2）∵AB=AC=3，∠ACM=90°，∴AD=AM=3
，
∴BP=DQ=
DA=2
，
由（1）得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC，
∴三棱锥Q
ABP
﹣
的体积V=
=
×
×
=
=1．
【点评】本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能
力，属于中档题．
19．（12 分）某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据（单位：m3）和使
用了节水龙头50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7）
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）
频数
1
5
13
10
16
5
（1）作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图；
第20页（共27页）
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365 天计算，同一
组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
【考点】B7：分布和频率分布表；B8：频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表能作出使用了节水
龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图．
（2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的
概率．
（3）由题意得未使用水龙头50 天的日均水量为0.48，使用节水龙头50 天的日均
用水量为0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水．
【解答】解：（1）根据使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表，
作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：
第21页（共27页）
（2）根据频率分布直方图得：
该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为：
p=（0.2+1.0+2.6+1）×0.1=0.48．
（3）由题意得未使用水龙头50 天的日均水量为：
（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）=0.48，
使用节水龙头50 天的日均用水量为：
（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）=0.35，
∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48
0.35
﹣
）=47.45m3．
【点评】本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法及
应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．
（12 分）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A 的直线l 与C 交于
M，N 两点．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；
（2）证明：∠ABM=∠ABN．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
第22页（共27页）
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）当x=2 时，代入求得M 点坐标，即可求得直线BM 的方程；
（2）设直线l 的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得
kBN+kBM=0，即可证明∠ABM=∠ABN．
【解答】解：（1）当l 与x 轴垂直时，x=2，代入抛物线解得y=±2，
所以M（2，2）或M（2，﹣2），
直线BM 的方程：y=
x+1，或：y=﹣
x
1
﹣．
（2）证明：设直线l 的方程为l：x=ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立直线l 与抛物线方程得
，消x 得y2
2ty
4=0
﹣
﹣
，
即y1+y2=2t，y1y2=
4
﹣，
则有
kBN+kBM=
+
=
=
=
0，
所以直线BN 与BM 的倾斜角互补，
∴∠ABM=∠ABN．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线
的斜率公式，考查转化思想，属于中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=aex
lnx
1
﹣
﹣．
（1）设x=2 是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；
（2）证明：当a≥
时，f（x）≥0．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用
导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）推导出x＞0，f′（x）=aex﹣
，由x=2 是f（x）的极值点，解得a=
，
第23页（共27页）
从而f（x）=
ex
lnx
1
﹣
﹣，进而f′（x）=
，由此能求出f（x）的单调区
间．
（2）当a≥
时，f（x）≥
﹣lnx
1
﹣，设g（x）=
lnx
1
﹣
﹣，则
﹣
，由
此利用导数性质能证明当a≥
时，f（x）≥0．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=aex
lnx
1
﹣
﹣．
∴x＞0，f′（x）=aex﹣
，
∵x=2 是f（x）的极值点，
∴f′（2）=ae2﹣
=0，解得a=
，
∴f（x）=
ex
lnx
1
﹣
﹣，∴f′（x）=
，
当0＜x＜2 时，f′（x）＜0，当x＞2 时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）证明：当a≥
时，f（x）≥
﹣lnx
1
﹣，
设g（x）=
lnx
1
﹣
﹣，则
﹣
，
当0＜x＜1 时，g′（x）＜0，
当x＞1 时，g′（x）＞0，
∴x=1 是g（x）的最小值点，
故当x＞0 时，g（x）≥g（1）=0，
∴当a≥
时，f（x）≥0．
【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和
综合应用能力，是中档题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，
第24页（共27页）
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ
3=0
﹣
．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行
转化．
（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ
3=0
﹣
．
转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x
3=0
﹣
，
转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．
（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该射线关于y 轴对称，且恒过定点
（0，2）．
由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线y=kx+2 的距离等于半径2．
故：
，或
解得：k=
或0，（0 舍去）或k=
或0
经检验，直线
与曲线C2没有公共点．
故C1的方程为：
．
【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线
和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax
1
﹣|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，求a 的取值范围．
第25页（共27页）
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，转化为即|ax
1
﹣|＜1，即0＜ax＜2，转化
为a＜
，且a＞0，即可求出a 的范围．
【解答】解：（1）当a=1 时，f（x）=|x+1|﹣|x
1
﹣|=
，
由f（x）＞1，
∴
或
，
解得x＞
，
故不等式f（x）＞1 的解集为（
，+∞），
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，
|
∴x+1|﹣|ax
1
﹣|
x
﹣＞0，
即x+1﹣|ax
1
﹣|
x
﹣＞0，
即|ax
1
﹣|＜1，
∴
1
﹣＜ax
1
﹣＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜
，
∴a＜
∵
＞2，
∴0＜a≤2，
第26页（共27页）
故a 的取值范围为（0，2]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力
和转化能力，属于中档题．
第27页（共27页）
