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2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（5 分）i（2+3i）=（ ）
A．3
2i
﹣
B．3+2i
C．﹣3
2i
﹣
D．﹣3+2i
2．（5 分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ）
A．{3}
B．{5}
C．{3，5}
D．{1，2，3，4，5，7}
3．（5 分）函数f（x）=
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）已知向量，满足| |=1，
=
1
﹣，则•（2
）=（ ）
A．4
B．3
C．2
D．0
5．（5 分）从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为
（ ）
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
6．（5 分）双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±
x
B．y=±
x
C．y=±
x
D．y=±
x
7．（5 分）在△ABC 中，cos
=
，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4
B．
C．
D．2
8．（5 分）为计算S=1﹣
+
﹣
+…+
﹣
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
（ ）
A．i=i+1
B．i=i+2
C．i=i+3
D．i=i+4
9．（5 分）在正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，E 为棱CC1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）若f（x）=cosx
sinx
﹣
在[0，a]是减函数，则a 的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．π
第1页（共15页）
11．（5 分）已知F1，F2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C 的离心
率为（ ）
A．1﹣
B．2﹣
C．
D．
﹣1
12．（5 分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1
x
﹣）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f
（2 ）+f（3）+…+f（50）=（ ）
A．﹣50
B．0
C．2
D．50
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）曲线y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为 ．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为 ．
15．（5 分）已知tan（α﹣
）=
，则tanα= ．
16．（5 分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°．若△SAB 的面积
为8，则该圆锥的体积为 ．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）记Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知a1=
7
﹣，S3=
15
﹣
．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
18．（12 分）如图是某地区2000 年至2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据
2000 年至2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=
30.4
﹣
+13.5t；根据
2010 年至2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
第2页（共15页）
19．（12 分）如图，在三棱锥P
ABC
﹣
中，AB=BC=2
，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M 在棱BC 上，且MC=2MB，求点C 到平面POM 的距离．
20．（12 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过F 且斜率为k（k＞0）的直线l 与C 交于A，B 两点，|AB|
=8．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
21．（12 分）已知函数f（x）=
x3
a
﹣（x2+x+1）．
（1）若a=3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）只有一个零点．
第3页（共15页）
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
，（θ 为参数），直线l 的参数方程
为
，（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x
2
﹣|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥0 的解集；
（2）若f（x）≤1，求a 的取值范围．
第4页（共15页）
2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（5 分）i（2+3i）=（ ）
A．3
2i
﹣
B．3+2i
C．﹣3
2i
﹣
D．﹣3+2i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解．
【解答】解：i（2+3i）=2i+3i2=
3
﹣+2i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5 分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ）
A．{3}
B．{5}
C．{3，5}
D．{1，2，3，4，5，7}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，
∴A∩B={3，5}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，
是基础题．
3．（5 分）函数f（x）=
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
【解答】解：函数f（﹣x）=
=﹣
=
f
﹣（x），
则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当x=1 时，f（1）=e﹣
＞0，排除D．
当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的
关键．
第5页（共15页）
4．（5 分）已知向量，满足| |=1，
=
1
﹣，则•（2
）=（ ）
A．4
B．3
C．2
D．0
【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：向量，满足| |=1，
=
1
﹣，则•（2
）=2
﹣
=2+1=3，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题
5．（5 分）从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为
（ ）
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（适合理科生）从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，共有C5
2=10 种，其中全
是女生的有C3
2=3 种，根据概率公式计算即可，
（适合文科生），设2 名男生为a，b，3 名女生为A，B，C，则任选2 人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，
Bc，AB，AC，BC 共10 种，其中全是女生为AB，AC，BC 共3 种，根据概率公式计算即可
【解答】解：（适合理科生）从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，共有C5
2=10 种，其
中全是女生的有C3
2=3 种，
故选中的2 人都是女同学的概率P=
=0.3，
（适合文科生），设2 名男生为a，b，3 名女生为A，B，C，
则任选2 人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC 共10 种，其中全是女生为AB，AC，BC 共
3 种，
故选中的2 人都是女同学的概率P=
=0.3，
故选：D．
【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．
6．（5 分）双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±
x
B．y=±
x
C．y=±
x
D．y=±
x
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c 的关系，结合双曲线a，b，c 的关系进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的离心率为e=
=
，
则
=
=
=
=
=
，
即双曲线的渐近线方程为y=±
x=±
x，
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本
题的关键．
7．（5 分）在△ABC 中，cos
=
，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4
B．
C．
D．2
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
第6页（共15页）
【分析】利用二倍角公式求出C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．
【解答】解：在△ABC 中，cos
=
，cosC=2×
=﹣
，
BC=1，AC=5，则AB=
=
=
=4
．
故选：A．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．
8．（5 分）为计算S=1﹣
+
﹣
+…+
﹣
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
（ ）
A．i=i+1
B．i=i+2
C．i=i+3
D．i=i+4
【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N
T
﹣，
由此知空白处应填入的条件．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，
该程序运行后输出的是
S=N
T=
﹣
（1﹣
）+（
﹣
）+…+（
﹣
）；
累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．
故选：B．
【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．
9．（5 分）在正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，E 为棱CC1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异
面直线AE 与CD 所成角的正切值．
【解答】解以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD
A
﹣
1B1C1D1棱长为2，
则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），
C（0，2，0），
=（﹣2，2，1），
=（0，﹣2，0），
设异面直线AE 与CD 所成角为θ，
则cosθ=
=
=
，
sinθ=
=
，
∴tanθ=
．
∴异面直线AE 与CD 所成角的正切值为
．
第7页（共15页）
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识，考查运算求解能力，考
查函数与方程思想，是基础题．
10．（5 分）若f（x）=cosx
sinx
﹣
在[0，a]是减函数，则a 的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．π
【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由﹣
+2kπ≤x﹣
≤
+2kπ，k∈Z，得﹣
+2kπ≤x≤
+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣
，
]，结合已知条件即可求出a
的最大值．
【解答】解：f（x）=cosx
sinx=
﹣
﹣（sinx
cosx
﹣
）=﹣
sin（x﹣
），
由﹣
+2kπ≤x﹣
≤
+2kπ，k∈Z，
得﹣
+2kπ≤x≤
+2kπ，k∈Z，
取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣
，
]，
由f（x）在[0，a]是减函数，
得a≤
．
则a 的最大值是
．
故选：C．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是
基础题．
11．（5 分）已知F1，F2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C 的离心
率为（ ）
A．1﹣
B．2﹣
C．
D．
﹣1
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用已知条件求出P 的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：F1，F2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点
坐标F2（c，0），
所以P（
c，
c）．可得：
，可得
，可得e4
8e
﹣
2+4=0，e∈（0，1），
解得e=
．
故选：D．
第8页（共15页）
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
12．（5 分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1
x
﹣）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f
（2）+f（3）+…+f（50）=（ ）
A．﹣50
B．0
C．2
D．50
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化
求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1
x
﹣）=f（1+x），
∴f（1
x
﹣）=f（1+x）=
f
﹣（x
1
﹣），f（0）=0，
则f（x+2）=
f
﹣（x），则f（x+4）=
f
﹣（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4 的周期函数，
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1
2
﹣）=f（﹣1）=
f
﹣（1）=
2
﹣，
f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0
2
﹣+0=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
=f（1）+f（2）=2+0=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本
题的关键．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）曲线y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为
y=2x
2
﹣
．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1 的导函数值，再结合导数
的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=2lnx，
∴y′=
，
当x=1 时，y′=2
∴曲线y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为y=2x
2
﹣．
故答案为：y=2x
2
﹣．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知
识，考查运算求解能力．属于基础题．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为
9
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由x，y 满足约束条件
作出可行域如图，
化目标函数z=x+y 为y=
x
﹣+z，
第9页（共15页）
由图可知，当直线y=
x
﹣+z 过A 时，z 取得最大值，
由
，解得A（5，4），
目标函数有最大值，为z=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5 分）已知tan（α﹣
）=
，则tanα=
．
【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．
【解答】解：∵tan（α﹣
）=
，
∴tan（α
）=
，
则tanα=tan（α
+
）=
=
=
=
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是解决本题的关键．
16．（5 分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°．若△SAB 的面积
为8，则该圆锥的体积为
8π
．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高．然后求解体积即可．
【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB 互相垂直，△SAB 的面积为8，可得：
，解得SA=4，
SA 与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2
，圆锥的高为：2，
则该圆锥的体积为：V=
=8π．
故答案为：8π．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）记Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知a1=
7
﹣，S3=
15
﹣
．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）根据a1=
7
﹣，S3=
15
﹣
，可得a1=
7
﹣，3a1+3d=
15
﹣
，求出等差数列{an}的公差，然后求出an
即可；
（2）由a1=
7
﹣，d=2，an=2n
9
﹣，得Sn=
=
=n2
8n=
﹣
（n
4
﹣）2
16
﹣
，由此可求出Sn
以及Sn的最小值．
【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=
7
﹣，S3=
15
﹣
，
第10页（共15页）
∴a1=
7
﹣，3a1+3d=
15
﹣
，解得a1=
7
﹣，d=2，
∴an=
7
﹣+2（n
1
﹣）=2n
9
﹣；
（2）∵a1=
7
﹣，d=2，an=2n
9
﹣，
∴Sn=
=
=n2
8n=
﹣
（n
4
﹣）2
16
﹣
，
∴当n=4 时，前n 项的和Sn取得最小值为﹣16．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项的和公式，属于中档题．
18．（12 分）如图是某地区2000 年至2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据
2000 年至2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=
30.4
﹣
+13.5t；根据
2010 年至2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据模型①计算t=19 时的值，根据模型②计算t=9 时的值即可；
（2）从总体数据和2000 年到2009 年间递增幅度以及2010 年到2016 年间递增的幅度比较，
即可得出模型②的预测值更可靠些．
【解答】解：（1）根据模型①：=
30.4
﹣
+13.5t，
计算t=19 时，=
30.4
﹣
+13.5×19=226.1；
利用这个模型，求出该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值是226.1 亿元；
根据模型②：=99+17.5t，
计算t=9 时，=99+17.5×9=256.5；．
利用这个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值是256.5 亿元；
（2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000 年到2016 年的环境基础设施投资额是逐年上升的，
而从2000 年到2009 年间递增的幅度较小些，
从2010 年到2016 年间递增的幅度较大些，
所以，利用模型②的预测值更可靠些．
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．
19．（12 分）如图，在三棱锥P
ABC
﹣
中，AB=BC=2
，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M 在棱BC 上，且MC=2MB，求点C 到平面POM 的距离．
第11页（共15页）
【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）证明：可得AB2+BC2=AC2，即△ABC 是直角三角形，
又POA≌△POB≌△POC，可得∠POA=∠POB=∠POC=90°，即可证明PO⊥平面ABC；
（2）设点C 到平面POM 的距离为d．由VP
OMC
﹣
=VC
POM
﹣
⇒
，解得d 即可
【解答】（1）证明：∵AB=BC=2
，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC 是直角三角形，
又O 为AC 的中点，∴OA=OB=OC，
∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，
∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；
（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO=
，
在△COM 中，OM=
=
．
S
=
×
×
=
，
S△COM=
=
．
设点C 到平面POM 的距离为d．由VP
OMC
﹣
=VC
POM
﹣
⇒
，
解得d=
，
∴点C 到平面POM 的距离为
．
【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题．
20．（12 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过F 且斜率为k（k＞0）的直线l 与C 交于A，B 两点，|AB|
=8．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）方法一：设直线AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k 的值，
即可求得直线l 的方程；
方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=
，求得直线AB 的倾斜角，即可求得直线l 的斜率，
求得直线l 的方程；
（2）根据过A，B 分别向准线l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求
得圆心，求得圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1，0），
设直线AB 的方程为：y=k（x
1
﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
，整理得：k2x2
2
﹣（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=
，x1x2=1，
由|AB|=x1+x2+p=
+2=8，解得：k2=1，则k=1，
∴直线l 的方程y=x
1
﹣；
方法二：抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1，0），设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|=
=
=8，解得：sin2θ=
，
∴θ=
，则直线的斜率k=1，
第12页（共15页）
∴直线l 的方程y=x
1
﹣；
（2）由（1）可得AB 的中点坐标为D（3，2），则直线AB 的垂直平分线方程为y
2=
﹣
﹣（x
3
﹣），即y=﹣
x+5，
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
，
解得：
或
，
因此，所求圆的方程为（x
3
﹣）2+（y
2
﹣）2=16 或（x
11
﹣
）2+（y+6）2=144．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方
程，考查转换思想思想，属于中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=
x3
a
﹣（x2+x+1）．
（1）若a=3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）只有一个零点．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）利用导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可得到结果．
（2）分离参数后求导，先找点确定零点的存在性，再利用单调性确定唯一性．
【解答】解：（1）当a=3 时，f（x）=
x3
a
﹣（x2+x+1），
所以f′（x）=x2
6x
3
﹣
﹣时，令f′（x）=0 解得x=3
，
当x∈（﹣∞，3
2
﹣
），x∈（3+2
，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，
当x∈（3
2
﹣
时，f′（x）＜0，函数是单调递减，
综上，f（x）在（﹣∞，3
2
﹣
），（3+2
，+∞），上是增函数，在（3
2
﹣
上递减．
（2）证明：因为x2+x+1=（x+
）2+
，
所以f（x）=0 等价于
，
令
，
则
，仅当x=0 时，g′（x）=0，所以g（x）在R 上是增函数；
g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
又因为f（3a
1
﹣）=
6a
﹣
2+2a﹣
=
6
﹣（a﹣
）2﹣
＜0，
f（3a+1）=
＞0，
故f（x）有一个零点，
综上，f（x）只有一个零点．
【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用．考查发现问题解决问题的能力，转化思想的应用．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
第13页（共15页）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
，（θ 为参数），直线l 的参数方程
为
，（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．
【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为
（θ 为参数），
转换为直角坐标方程为：
．
直线l 的参数方程为
（t 为参数）．
转换为直角坐标方程为：xsinα
ycosα
﹣
+2cosα
sinα=0
﹣
．
（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：
+
=1
整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t
8=0
﹣
，
则：
，
由于（1，2）为中点坐标，
①当直线的斜率不存时，x=1．
无解故舍去．
②当直线的斜率存在时，（由于t1和t2为A、B 对应的参数）
所以利用中点坐标公式
，
则：8cosα+4sinα=0，
解得：tanα=
2
﹣，
即：直线l 的斜率为﹣2．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关
系的应用，中点坐标的应用．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x
2
﹣|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥0 的解集；
（2）若f（x）≤1，求a 的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，
（2）由题意可得|x+a|+|x
2
﹣|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出
【解答】解：（1）当a=1 时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x
2
﹣|=
．
当x≤﹣1 时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，
当﹣1＜x＜2 时，f（x）=2≥0 恒成立，即﹣1＜x＜2，
当x≥2 时，f（x）=
2x
﹣
+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0 的解集为[
2
﹣，3]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5﹣|x+a|﹣|x
2
﹣|≤1，
∴|x+a|+|x
2
﹣|≥4，
∴|x+a|+|x
2
﹣|=|x+a|+|2
x
﹣|≥|x+a+2
x
﹣|=|a+2|，
∴|a+2|≥4，
解得a≤﹣6 或a≥2，
故a 的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．
第14页（共15页）
【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题
第15页（共15页）
