文档文本内容
第 1 页 共 10 页
绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第Ⅰ卷1 至2 页，第
Ⅱ卷3 至5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生
务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他
答案标号。
2．本卷共8 小题，每小题5 分，共40 分。
参考公式：
·如果事件 A，B 互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)．
·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．
·棱锥的体积公式
，其中
表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高.
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合
，
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为
（A）6
（B）19
第 2 页 共 10 页
（C）21
（D）45
（3）设
，则“
”是“
” 的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入
的值为20，则输出
的值为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（5）已知
，则
的大小关系为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数
（A）在区间
上单调递增
（B）在区间
上单调递减
（C）在区间
上单调递增
（D）在区间
上单调递减
第 3 页 共 10 页
（7）已知双曲线
的离心率为2，过右焦点且垂直于
轴的直线与双曲线交于
两点.设
到双曲线的同一条渐近线的距离分别为
和
，且
则双曲线的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）在如图的平面图形中，已知
,
则
的值
为
（A）
（B）
（C）
（D）0
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12 小题，共110 分。
二．填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
（9）i 是虚数单位，复数
=__________．
（10）已知函数f(x)=exlnx，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′（1）的值为__________．
（11）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D 的体积为__________．
第 4 页 共 10 页
（12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
（13）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+
的最小值为__________．
（14）已知a∈R，函数
若对任意x∈［–3，+
），f(x)≤
恒成立，则a 的取值范
围是__________．
三．解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13 分）
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名
同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7 名同学分别用A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取2 名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M 为事件“抽取的2 名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．
（16）（本小题满分13 分）
在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a,b,c．已知bsinA=acos(B–
)．
（Ⅰ）求教B 的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b 和sin(2A–B)的值．
（17）（本小题满分13 分）
如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M 为棱AB 的中点，AB=2，AD=
，∠BAD=90°．
第 5 页 共 10 页
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
（18）（本小题满分13 分）
设{an}是等差数列，其前n 项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Tn（n∈N*）．已知
b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n 的值．
（19）（本小题满分14 分）
设椭圆
的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为
，
.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线
与椭圆交于
两点，与直线
交于点M，且点P，M 均在第四象限.若
的面积是
面积的2 倍，求k 的值.
（20）（本小题满分14 分）
设函数
，其中
,且
是公差为
的等差数列.
（I）若
求曲线
在点
处的切线方程；
（II）若
，求
的极值；
（III）若曲线
与直线
有三个互异的公共点，求d 的取值范围.
第 6 页 共 10 页
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5 分，满分40 分．
（1）C
（2）C
（3）A
（4）B
（5）D
（6）A
（7）A
（8）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5 分，满分30 分．
（9）4–i
（10）e
（11）
（12）
（13）
（14）［
，2］
三、解答题
（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基
本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13 分．
（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取
7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3 人，2 人，2 人．
（Ⅱ）（i）解：从抽出的7 名同学中随机抽取2 名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，
F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21 种．
（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7 名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是
F，G，则从抽出的7 名同学中随机抽取的2 名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，
{D，E}，{F，G}，共5 种．学@科网
所以，事件M 发生的概率为P（M）=
．
（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及
正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13 分．
（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理
，可得
，又由
，得
，即
，可得
．又因为
，可得B=
．
（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=
，有
，故b=
．
第 7 页 共 10 页
由
，可得
．因为a<c，故
．因此
，
所以，
（17）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象
能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13 分．
（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N，连接MN，ND．又因为M 为棱AB 的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）
为异面直线BC 与MD 所成的角．
在Rt△DAM 中，AM=1，故DM=
．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．
在Rt△DAN 中，AN=1，故DN=
．
在等腰三角形DMN 中，MN=1，可得
．
所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为
．
（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM⊥AB，CM=
．又因为平面ABC⊥
平面ABD，而CM
平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．
在Rt△CAD 中，CD=
=4．
在Rt△CMD 中，
．
第 8 页 共 10 页
所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为
．
（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法
和运算求解能力.满分13 分.
（I）解：设等比数列
的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得
.
因为
，可得
，故
.所以
.
设等差数列
的公差为
.由
，可得
.由
，可得
从而
，故
，所以
.
（II）解：由（I），知
由
可得
，
整理得
解得
（舍），或
.所以n 的值为4.学&科网
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性
质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分14 分.
（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得
，又由
，可得
由
,
从而
.
所以，椭圆的方程为
.
（II）解：设点P 的坐标为
，点M 的坐标为
，由题意，
，
点
的坐标为
由
的面积是
面积的2 倍，可得
，
从而
，即
.
第 9 页 共 10 页
易知直线
的方程为
，由方程组
消去y，可得
.由方程组
消去
，可得
.由
，可得
，两边平方，整理得
，解得
，或
.
当
时，
，不合题意，舍去；当
时，
，
，符合题意.
所以，
的值为
.
（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数
思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14 分.
（Ⅰ）解：由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故f‵(x)=3x−1，因此f(0)=0，
=−1，又因为曲线y=f(x)在点
(0， f(0))处的切线方程为y−f(0)=
(x−0)，故所求切线方程为x+y=0.
（Ⅱ）解：由已知可得
f(x)=(x−t2+3)( x−t2) (x−t2−3)=( x−t2)3−9 ( x−t2)=x3−3t2x2+(3t2
2−9)x− t2
2+9t2.
故
= 3x3−6t2x+3t2
2−9.令
=0，解得x= t2−
，或x= t2+
.
当x 变化时，f‵(x)，f(x)的变化如下表：
x
(−∞，t2−
)
t2−
(t2−
，t2+
)
t2+
(t2+
，+∞)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的极大值为f(t2−
)=(−
)3−9×(−
)=6
；函数小值为f(t2+
)=(
)3−9×(
)=−6
.
（III）解：曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6
有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+
(x−t2)+ 6
=0 有三个互异的实数解，令u= x−t2，可得u3+(1−d2)u+6
=0.
第 10 页 共 10 页
设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6
，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6
有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有
三个零点.
=3 x3+(1−d2).
当d2≤1 时，
≥0，这时
在R 上单调递增，不合题意.
当d2>1 时，
=0，解得x1=
，x2=
.
易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1， x2]上单调递减，在(x2， +∞)上单调递增，
g(x)的极大值g(x1)= g(
)=
>0.
g(x)的极小值g(x2)= g(
)=−
.
若g(x2) ≥0，由g(x)的单调性可知函数y=f(x)至多有两个零点，不合题意.
若
即
，也就是
，此时
，
且
，从而由
的单调性，可知函数
在区间
内各有一个零点，符合题意.学科……网
所以
的取值范围是
