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绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第Ⅰ卷1 至2
页，第Ⅱ卷3 至5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I 卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂
其他答案标号。
2．本卷共8 小题，每小题5 分，共40 分。
参考公式：
如果事件A，B 互斥，那么
.
如果事件A，B 相互独立，那么
.
棱柱的体积公式
，其中
表示棱柱的底面面积，
表示棱柱的高.
棱锥的体积公式
，其中
表示棱锥的底面面积，
表示棱锥的高.
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为R，集合
，
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
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(2)设变量x，y 满足约束条件
则目标函数
的最大值为
(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45
(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(4)设
，则“
”是“
”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(5)已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为
(A)
(B)
(C)
(D)
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(6)将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数
(A)在区间
上单调递增
(B)在区间
上单调递减
(C)在区间
上单调递增
(D)在区间
上单调递减
(7)已知双曲线
的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B 两
点. 设A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为
和
，且
，则双曲线的方程为
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
. 若点E 为边CD
上的动点，则
的最小值为
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷
注意事项：
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1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12 小题，共110 分。
二. 填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
(9) i 是虚数单位，复数
.
(10) 在
的展开式中，
的系数为 .
(11) 已知正方体
的棱长为1，除面
外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，
G，H，M(如图)，则四棱锥
的体积为 .
(12)已知圆
的圆心为C，直线
( 为参数)与该圆相交于A，B 两点，则
的面积为 .
(13)已知
，且
，则
的最小值为 .
(14)已知
，函数
若关于
的方程
恰有2 个互异的实数解，则
的取值范围是 .
三.解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13 分）
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在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知
.
（I）求角B 的大小;
（II）设a=2，c=3，求b 和
的值.
(16)(本小题满分13 分)
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7 人，进
行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7 人中有4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这7 人中随机抽取3 人做进一步的身体检查.
（i）用X 表示抽取的3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；
（ii）设A 为事件“抽取的3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概
率.
(17)(本小题满分13 分)
如图，
且AD=2BC ，
,
且EG=AD ，
且CD=2FG ，
，DA=DC=DG=2.
（I）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：
；
（II）求二面角
的正弦值；
（III）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.
(18)(本小题满分13 分)
设
是等比数列，公比大于0，其前n 项和为
，
是等差数列. 已知
，
，
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，
.
（I）求
和
的通项公式；
（II）设数列
的前n 项和为
，
（i）求
；
（ii）证明
.
(19)(本小题满分14 分)
设椭圆
(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为
，点A 的坐标为
，
且
.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：
与椭圆在第一象限的交点为P，且l 与直线AB 交于点Q.
若
(O 为原点) ，求k 的值.
(20)(本小题满分14 分)
已知函数
，
，其中a>1.
（I）求函数
的单调区间；
（II）若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，证明
；
（III）证明当
时，存在直线l，使l 是曲线
的切线，也是曲线
的切线.
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参考答案：
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5 分，满分40 分．
（1）B
（2）C
（3）B
（4）A
（5）D
（6）A
（7）C
（8）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5 分，满分30 分．
（9）4–i
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
三、解答题
（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及
正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13 分．
（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理
，可得
，又由
，得
，即
，可得
．又因为
，可得B=
．
（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=
，有
，故b=
．
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由
，可得
．因为a<c，故
．因此
，
所以，
（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．
考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13 分．学.科网
（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7
人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3 人，2 人，2 人．
（Ⅱ）（i）解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=
（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X 的数学期望
．
（ii）解：设事件B 为“抽取的3 人中，睡眠充足的员工有1 人，睡眠不足的员工有2 人”；事件C 为“抽
取的3 人中，睡眠充足的员工有2 人，睡眠不足的员工有1 人”，则A=B∪C，且B 与C 互斥，由（i）知，
P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=
．
所以，事件A 发生的概率为
．
（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体
几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13 分．
依题意，可以建立以D 为原点，分别以
，
，
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标
系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M
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（0，
，1），N（1，0，2）．
（Ⅰ）证明：依题意
=（0，2，0），
=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE 的法向量，则
即
不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又
=（1，
，1），可得
，又因为直线
MN
平面CDE，所以MN∥平面CDE．
（Ⅱ）解：依题意，可得
=（–1，0，0），
，
=（0，–1，2）．
设n=（x，y，z）为平面BCE 的法向量，则
即
不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．
设m=（x，y，z）为平面BCF 的法向量，则
即
不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．
因此有cos<m，n>=
，于是sin<m，n>=
．
所以，二面角E–BC–F 的正弦值为
．
（Ⅲ）解：设线段DP 的长为h（h∈［0，2］），则点P 的坐标为（0，0，h），可得
．
易知，
=（0，2，0）为平面ADGE 的一个法向量，故
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，
由题意，可得
=sin60°=
，解得h=
∈［0，2］．
所以线段
的长为
.
（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查等差数列
求和的基本方法和运算求解能力.满分13 分.
（I）解：设等比数列
的公比为q.由
可得
.
因为
，可得
，故
.
设等差数列
的公差为d，由
，可得
由
，
可得
从而
故
所以数列
的通项公式为
，数列
的通项公式为
（II）（i）由（I），有
，故
.
（ii）证明：因为
，
所以，
.
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性
质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14 分．
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（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知
，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，
，
，由
，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为
．
（Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x1，y1），点Q 的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故
．
又因为
，而∠OAB=
，故
．由
，可得5y1=9y2．
由方程组
消去x，可得
．易知直线AB 的方程为x+y–2=0，由方程组
消去x，可得
．由5y1=9y2，可得5（k+1）=
，两边平方，整理得
，解得
，或
．
所以，k 的值为
（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和
方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14 分.
（I）解：由已知，
，有
.
令
，解得x=0.
由a>1，可知当x 变化时，
，
的变化情况如下表：
x
0
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0
+
极小值
所以函数
的单调递减区间
，单调递增区间为
.
（II）证明：由
，可得曲线
在点
处的切线斜率为
.
由
，可得曲线
在点
处的切线斜率为
.
因为这两条切线平行，故有
，即
.
两边取以a 为底的对数，得
，所以
.
（III）证明：曲线
在点
处的切线l1：
.
曲线
在点
处的切线l2：
.
要证明当
时，存在直线l，使l 是曲线
的切线，也是曲线
的切线，只需证明当
时，存在
，
，使得l1和l2重合.学*科网
即只需证明当
时，方程组
有解，
由①得
，代入②，得
. ③
因此，只需证明当
时，关于x1的方程③有实数解.
设函数
，即要证明当
时，函数
存在零点.
，可知
时，
；
时，
单调递减，又
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，
，故存在唯一的x0，且x0>0，使得
，即
.
由此可得
在
上单调递增，在
上单调递减.
在
处取得极大值
.
因为
，故
，
所以
.
下面证明存在实数t，使得
.
由（I）可得
，
当
时，
有
，
所以存在实数t，使得
因此，当
时，存在
，使得
.
所以，当
时，存在直线l，使l 是曲线
的切线，也是曲线
的切线.
选择填空解析
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
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1. 设全集为R，集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：由题意首先求得
，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：
，
结合交集的定义可得：
.
本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2. 设变量x，y 满足约束条件
则目标函数
的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大
值即可.
详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程：
，可得点A 的坐标为：
，
据此可知目标函数的最大值为：
.
本题选择C 选项.
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点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，
在y 轴截距最小时，z 值最小；当b＜0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小
时，z 值最大.
3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【答案】B
【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.
详解：结合流程图运行程序如下：
首先初始化数据：
，
，结果为整数，执行
，
，此时不满足
；
，结果不为整数，执行
，此时不满足
；
，结果为整数，执行
，
，此时满足
；
跳出循环，输出
.
本题选择B 选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
4. 设
，则“
”是“
”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不重复条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.
详解：绝对值不等式
，
由
.
据此可知
是
的充分而不必要条件.
本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算
求解能力.
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5. 已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，
，
，
据此可得：
.
本题选择D 选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相
同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数
不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数
幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
6. 将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间
上单调递增 B. 在区间
上单调递减
C. 在区间
上单调递增 D. 在区间
上单调递减
【答案】A
【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
详解：由函数图象平移变换的性质可知：
将
的图象向右平移
个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：
，
即
，
令
可得一个单调递增区间为：
.
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函数的单调递减区间满足：
，
即
，
令
可得一个单调递减区间为：
.
本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和
计算求解能力.
7. 已知双曲线
的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点. 设
A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为
和
，且
，则双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析：由题意首先求得A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确
定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为
（c>0），则
，
由
可得：
，
不妨设：
，
双曲线的一条渐近线方程为：
，
据此可得：
，
，
则
，则
，
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双曲线的离心率：
，
据此可得：
，则双曲线的方程为
.
本题选择C 选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程
的形式，然后再根据a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出a，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线
的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为
，再由条件求出λ 的值即可.
8. 如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
. 若点E 为边CD 上的动点，
则
的最小值为
A.
B. C.
D.
【答案】A
【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的
性质整理计算即可求得最终结果.
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
，
，
，
第 20 页 共 24 页
点在
上，则
，设
，则：
，即
，
据此可得：
，且：
，
，
由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得：
，
结合二次函数的性质可知，当
时，
取得最小值
.
本题选择A 选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用
时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
2018 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
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数 学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12 小题，共110 分。
二. 填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
9. i 是虚数单位，复数
___________.
【答案】4–i
【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由复数的运算法则得：
.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10. 在
的展开式中，
的系数为____________.
【答案】
【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r 的值，然后求解
的系数即可.
详解：结合二项式定理的通项公式有：
，
令
可得：
，则
的系数为：
.
点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)
和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n，r 均为非负整数，且
n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
11. 已知正方体
的棱长为1，除面
外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，
M(如图)，则四棱锥
的体积为__________.
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【答案】
【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.
详解：由题意可得，底面四边形
为边长为
的正方形，其面积
，
顶点
到底面四边形
的距离为
，
由四棱锥的体积公式可得：
.
点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12. 已知圆
的圆心为C，直线
(为参数)与该圆相交于A，B 两点，则
的面积为
___________.
【答案】
【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.
详解：由题意可得圆的标准方程为：
，
直线的直角坐标方程为：
，即
，
则圆心到直线的距离：
，
由弦长公式可得：
，
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则
.
点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参
数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
13. 已知
，且
，则
的最小值为_____________.
【答案】
【解析】分析：由题意首先求得a-3b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号
成立的条件.
详解：由
可知
，
且：
，因为对于任意x，
恒成立，
结合均值不等式的结论可得：
.
当且仅当
，即
时等号成立.
综上可得
的最小值为.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积
或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
14. 已知
，函数
若关于的方程
恰有2 个互异的实数解，则的取值范围
是______________.
【答案】
【解析】分析：由题意分类讨论
和
两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
详解：分类讨论：当
时，方程
即
，
整理可得：
，
第 24 页 共 24 页
很明显
不是方程的实数解，则
，
当
时，方程
即
，
整理可得：
，
很明显
不是方程的实数解，则
，
令
，
其中
，
原问题等价于函数
与函数
有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数
的图象，
同时绘制函数
的图象如图所示，考查临界条件，
结合
观察可得，实数的取值范围是
.
点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数
的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的
值，就有几个不同的零点．
