文档文本内容
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4 页，均为非选择题(第1 题~第20 题，共20 题)。本卷满分为160 分，考试时间为
120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题
卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作
答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
锥体的体积
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合
，
，那么
▲ ．
2．若复数
满足
，其中i 是虚数单位，则
的实部为 ▲ ．
3．已知5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5 位裁判打出的分数的平
均数为 ▲ ．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ．
5．函数
的定义域为 ▲ ．
6．某兴趣小组有2 名男生和3 名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女
生的概率为
▲ ．
7．已知函数
的图象关于直线
对称，则
的值是 ▲ ．
8．在平面直角坐标系
中，若双曲线
的右焦点
到一条渐近
线的距离为
，则其离心率的值是 ▲ ．
9．函数
满足
，且在区间
上，
则
的值为
▲ ．
10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．
11．若函数
在
内有且只有一个零点，则
在
上的最
大值与最小值的和为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系
中，A 为直线
上在第一象限内的点，
，以AB 为直
径的圆C 与直线l 交于另一点D．若
，则点A 的横坐标为 ▲ ．
13．在
中，角
所对的边分别为
，
，
的平分线交
于
点D，且
，则
的最小值为 ▲ ．
14．已知集合
，
．将
的所有元素从小到大
依次排列构成一个数列
．记
为数列
的前n 项和，则使得
成立的n
的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14 分）
在平行六面体
中，
．
求证：（1）
；
（2）
．
16．（本小题满分14 分）
已知
为锐角，
，
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
17．（本小题满分14 分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧
（P 为此圆弧的中点）
和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40 米，点P 到MN 的距离为50 米．现规划在此农田
上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为
，要求
均在线段
上，
均在圆弧上．设OC 与
MN 所成的角为
．
（1）用
分别表示矩形
和
的面积，并确定
的
取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、
乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
．求当
为何值时，
能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．（本小题满分16 分）
如图，在平面直角坐标系
中，椭圆C 过点
，焦点
，圆O 的
直径为
．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于
两点．若
的面积为
，
求直线l 的方程．
19．（本小题满分16 分）
记
分别为函数
的导函数．若存在
，满足
且
，则称
为函数
与
的一个“S 点”．
（1）证明：函数
与
不存在“S 点”；
（2）若函数
与
存在“S 点”，求实数a 的值；
（3）已知函数
，
．对任意
，判断是否存在
，使函数
与
在区间
内存在“S 点”，并说明理由．
20．（本小题满分16 分）
设
是首项为
，公差为d 的等差数列，
是首项为
，公比为q 的等比数列．
（1）设
，若
对
均成立，求d 的取值范围；
（2 ）若
，证明：存在
，使得
对
均成立，并求
的取值范围（用
表示）．
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5 分，共计70 分．
1．{1，8}
2．2
3．90
4．8
5．[2，+∞）
6．
7．
8．2
9．
10．
11．–3
12．3
13．9
14．27
二、解答题
15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能
力和推理论证能力．满分14 分．
证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB
平面A1B1C，A1B1
平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B
平面A1BC，BC
平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1
平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能
力．满分14 分．
解：（1）因为
4
tan
3
，
sin
tan
cos
，所以
4
sin
cos
3
．
因为
2
2
sin
cos
1
，所以
2
9
cos
25
，
因此，
2
7
cos2
2cos
1
25
．
（2）因为
,
为锐角，所以
(0,π)
．
又因为
5
cos(
)
5
，所以
2
2 5
sin(
)
1
cos (
)
5
，
因此tan(
)
2
．
因为
4
tan
3
，所以
2
2tan
24
tan 2
1
tan
7
，
因此，
tan 2
tan(
)
2
tan(
)
tan[2
(
)]
1+ tan 2
tan(
)
11
．
17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模
及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14 分．
解：（1）连结PO 并延长交MN 于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O 作OE⊥BC 于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP 的面积为
×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N 作GN⊥MN，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则sinθ0=
，θ0∈（0，
）．
当θ∈[θ0，
）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ 的取值范围是[
，1）．
答：矩形ABCD 的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ 的取值范围是[
，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，
）．
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，
），
则
．
令
，得θ=
，
当θ∈（θ0，
）时，
，所以f（θ）为增函数；
当θ∈（
，
）时，
，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ=
时，f（θ）取到最大值．
答：当θ=
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与
圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16 分．
解：（1）因为椭圆C 的焦点为
，
可设椭圆C 的方程为
．又点
在椭圆C 上，
所以
，解得
因此，椭圆C 的方程为
．
因为圆O 的直径为
，所以其方程为
．
（2）①设直线l 与圆O 相切于
，则
，
所以直线l 的方程为
，即
．
由
，消去y，得
．（*）
因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以
．
因为
，所以
．
因此，点P 的坐标为
．
②因为三角形OAB 的面积为
，所以
，从而
．
设
，
由（*）得
，
所以
．
因为
，
所以
，即
，
解得
舍去），则
，因此P 的坐标为
．
综上，直线l 的方程为
．
19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决
问题以及逻辑推理能力．满分16 分．
解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得
，此方程组无解，
因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．
（2）函数
，
，
则
．
设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），得
，即
，（*）
得
，即
，则
．
当
时，
满足方程组（*），即
为f（x）与g（x）的“S”点．
因此，a 的值为
．
（3）对任意a>0，设
．
因为
，且h（x）的图象是不间断的，
所以存在
∈（0，1），使得
，令
，则b>0．
函数
，
则
．
由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得
，即
（**）
此时，
满足方程组（**），即
是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S 点”．
因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转
化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16 分．
解：（1）由条件知：
1
1
2
(
,
)
n
n
n
a
n
d b
．
因为
对n=1，2，3，4 均成立，
即
1
1
2
|
(
)
1
|
n
n
d
对n=1，2，3，4 均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得7
5
3
2
d
．
因此，d 的取值范围为7 5
[ , ]
3 2
．
（2）由条件知：
1
1
1
(
1) ,
n
n
n
a
b
n
d b
b q
．
若存在d，使得
（n=2，3，···，m+1）成立，
即
1
1
1
1
|
1
|
2,3,
,
(
1
(
)
)
n
b
n
d
b q
b n
m
，
即当
2,3,
,
1
n
m
时，d 满足
1
1
1
1
2
1
1
n
n
q
q
b
d
b
n
n
．
因为
(1, 2]
m
q
，则
1
1
2
n
m
q
q
，
从而
1
1
2
0
1
n
q
b
n
，
1
1
0
1
n
q
b
n
，对
2,3,
,
1
n
m
均成立．
因此，取d=0 时，
对
2,3,
,
1
n
m
均成立．
下面讨论数列
1
2
{
}
1
n
q
n
的最大值和数列
1
{
}
1
nq
n
的最小值（
2,3,
,
1
n
m
）．
①当2
n
m
时，
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
q
q
nq
q
nq
n q
q
q
n
n
n n
n n
，
当
1
1
2m
q
时，有
2
n
m
q
q
，从而
1
(
)
2
0
n
n
n
n q
q
q
．
因此，当2
1
n
m
时，数列
1
2
{
}
1
n
q
n
单调递增，
故数列
1
2
{
}
1
n
q
n
的最大值为
2
m
q
m
．
②设
( )
(
)
2 1
x
f x
x
，当x>0 时，
ln 2
1
(
0
(
n
)
l 2 2
)
x
f
x
x
，
所以
( )
f x 单调递减，从而
( )
f x <f（0）=1．
当2
n
m
时，
1
1
1
1
1
2 1
1
1
(
)
(
)
( )
n
n
n
q
q n
n
f
q
n
n
n
n
，
因此，当2
1
n
m
时，数列
1
{
}
1
nq
n
单调递减，
故数列
1
{
}
1
nq
n
的最小值为
m
q
m ．
因此，d 的取值范围为
1
1
(
2)
[
,
]
m
m
b q
b q
m
m
．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10 分)
如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过
P 作圆O 的切线，切点为C．若
，求 BC 的长．
B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10 分)
已知矩阵
．
（1）求
的逆矩阵
；
（2）若点P 在矩阵
对应的变换作用下得到点
，求点P 的坐标．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10 分)
在极坐标系中，直线l 的方程为
，曲线C 的方程为
，求直线l 被
曲线C 截得的弦长．
D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10 分)
若x，y，z 为实数，且x+2y+2z=6，求
的最小值．
【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10 分）
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q 分别为A1B1，BC
的中点．
（1）求异面直线BP 与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
23．(本小题满分10 分)
设
，对1，2，···，n 的一个排列
，如果当s<t 时，有
，
则称
是排列
的一个逆序，排列
的所有逆序的总个数称为其逆序数．
例如：对1，2，3 的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231 的逆序数为2．
记
为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．
（1）求
的值；
（2）求
的表达式(用n 表示)．
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4—1：几何证明选讲]
本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10 分．
证明：连结OC．因为PC 与圆O 相切，所以OC⊥PC．
又因为PC=
，OC=2，
所以OP=
=4．
又因为OB=2，从而B 为Rt△OCP 斜边的中点，所以BC=2．
B．[选修4—2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10 分．
解：（1）因为
，
，所以A 可逆，
从而
．
（2）设P(x，y)，则
，所以
，
因此，点P 的坐标为(3，–1)．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10 分．
解：因为曲线C 的极坐标方程为
，
所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4 的圆．
因为直线l 的极坐标方程为
，
则直线l 过A（4，0），倾斜角为
，
所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=
．
连结OB，因为OA 为直径，从而∠OBA=
，
所以
．
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为
．
D．[选修4—5：不等式选讲]
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10 分．
证明：由柯西不等式，得
．
因为
，所以
，
当且仅当
时，不等式取等号，此时
，
所以
的最小值为4．
22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空
间向量解决问题的能力．满分10 分．
解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，
OO1⊥OC，OO1⊥OB，以
为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．
因为AB=AA1=2，
所以
．
（1）因为P 为A1B1的中点，所以
，
从而
，
故
．
因此，异面直线BP 与AC1所成角的余弦值为
．
（2）因为Q 为BC 的中点，所以
，
因此
，
．
设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，
则
即
不妨取
，
设直线CC1与平面AQC1所成角为
，
则
，
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为
．
23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能
力．满分10 分．
解：（1）记
为排列abc 的逆序数，对1，2，3 的所有排列，有
，
所以
．
对1，2，3，4 的排列，利用已有的1，2，3 的排列，将数字4 添加进去，4 在新排列中的位
置只能是最后三个位置．
因此，
．
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0 的排列只有一个：12…n，所以
．
逆序数为1 的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所
以
．
为计算
，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n+1 添加进原排列，n+1 在新
排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，
．
当n≥5 时，
，
因此，n≥5 时，
．
