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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
（全国一卷）理科数学
一、选择题：（本题有12 小题，每小题5 分，共60 分。）
1、设z=
，则∣z∣=（ ）
A.0 B. 1
2 C.1 D. √2
2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则C RA =（ ）
A、{x|-1<x<2} B、{x|-1≤x≤2}
C、{x|x<-1}∪{x|x>2} D、{x|x≤-1}∪{x|x ≥2}
3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农
村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4、记Sn为等差数列{an}的前n 项和，若3S3 = S2+ S4，a1 =2，则a5 =（ ）
A、-12 B、-10 C、10 D、12
5、设函数f（x）=x ³+（a-1）x ²+ax .若f（x）为奇函数，则曲线y= f（x）在点（0，0）处的切线
方程为（ ）
A.y= -2x
B.y= -x C.y=2x D.y=x
6、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB
→=（ ）
A. 3
4 AB
→ - 1
4 AC
→ B. 1
4 AB
→ - 3
4 AC
→ C. 3
4 AB
→ + 1
4 AC
→ D. 1
4 AB
→
+ 3
4 AC
→
建设前经济收入构成比例
建设后经济收入构成比例
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为
A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径
的长度为（ ）
A. 2√17
B. 2√5
C. 3
D. 2
8.设抛物线C：y ²=4x 的焦点为F，过点（-2，0）且斜率
为2
3的直
线与C 交于M，N 两点，则FM
→
·FN
→
=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
9.已知函数f（x）=
g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2 个零点，则a 的取值范围
是( )
A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞）
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分
别为直角三角形ABC 的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为
Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，
则( )
A. p1=p2
B. p1=p3
C. p2=p3
D. p1=p2+p3
11.已知双曲线C： x
2
3 - y ²=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的
交点分别为M，N. 若△OMN 为直角三角形，则∣MN∣=( )
A. 3
2 B.3 C.
D.4
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α 所成的角都相等，则α 截此正方体所得截面面
积的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13.若x，y 满足约束条件
则z=3x+2y 的最大值为 .
14.记Sn为数列｛an｝的前n 项和. 若Sn = 2an+1，则S6= .
15.从2 位女生，4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法共有
种.（用数字填写答案）
16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 .
三.解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17.（12 分）
在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC =
，求BC.
18.（12 分）
如图，四边形ABCD 为正方形，E，F 分别为AD，BC 的中点，以DF 为折痕把∆DFC 折起，使点C
到达点P 的位置，且PF⊥BF .
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.
19.（12 分）
设椭圆C： x
2
2 + y ²=1 的右焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，点M 的坐标为（2，0）.
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB.
20、（12 分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检
验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20 件产品作检验，再根据检验结果
决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P （0<P<1），且各件产品
是否为不合格品相互独立。
（1）记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f（P），求f（P）的最大值点
。
（2）现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以（1）中确定的
作为P 的值，已知
每件产品的检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔
偿费用。
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21、（12 分）
已知函数
.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1 , x2 , 证明：
.
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C₁ 的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C₂ 的极坐标方程为ρ² +2ρcosθ -3=0.
（1）
求C₂ 的直角坐标方程:
（2）
若C₁ 与C₂ 有且仅有三个公共点，求C₁ 的方程.
23. [选修4-5：不等式选讲]（10 分）
已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.
（1）
当a=1 时，求不等式f（x）﹥1 的解集；
（2）
若x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x 成立，求a 的取值范围.
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．A
4．B
5．D
6．A
7．B
8．D
9．C
10．A
11．B
12．A
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：
（1）在
中，由正弦定理得
.
由题设知，
所以
.
由题设知，
所以
.
（2）由题设及（1）知，
.
在
中，由余弦定理得
所以
.
18．解：
（1）由已知可得，
，
，所以
平面
.
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）作
，垂足为
. 由（1）得，
平面
.
以
为坐标原点，
的方向为y 轴正方向，
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
.
由（1）可得，
. 又
，
，所以
. 又
，
，故
.
可得
，
.
则
，
,
，
，
为平面
的法向量.
设
与平面
所成角为
，则
.
所以
与平面
所成角的正弦值为
.
19．解：
（1）由已知得
，的方程为
.
由已知可得，点A 的坐标为
或
.
所以AM 的方程为
或
.
（2）当l 与x 轴重合时，
.
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以
.
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为
，
，
，则
，
，
直线MA，MB 的斜率之和为
.
由
，
得
.
将
代入
得
.
所以，
.
则
.
从而
，故MA，MB 的倾斜角互补. 所以
.
综上，
.
20．解：
（1）20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为
. 因此
.
令
，得
. 当
时，
；当
时，
.所以
的最大值点为
.
（2）由（1）知，
.
（ⅰ）令Y 表示余下的180 件产品中的不合格品件数，依题意知
，
，即
.
所以
.
（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400 元.
由于
，故应该对余下的产品作检验.
21．解：
（1）
的定义域为
，
.
（ⅰ）若
，则
，当且仅当
，
时
，所以
在
单调递减.
（ⅱ）若
，令
得，
或
.
当
时，
；
当
时，
. 所以
在
，
单调递减，在
单调递增.
（2）由（1）知，
存在两个极值点当且仅当
.
由于
的两个极值点
，
满足
，所以
，不妨设
，则
. 由于
，
所以
等价于
.
设函数
，由（1 ）知，
在
单调递减，又
，从而当
时，
.
所以
，即
.
22．解：
（1）由
，
得
的直角坐标方程为
.
（2）由（1）知
是圆心为
，半径为
的圆.
由题设知，
是过点
且关于
轴对称的两条射线. 记
轴右边的射线为
，
轴左边的射线为
. 由
于
在圆
的外面，故
与
有且仅有三个公共点等价于
与
只有一个公共点且
与
有两个公共点，或
与
只有一个公共点且
与
有两个公共点.
当
与
只有一个公共点时，
到
所在直线的距离为
，所以
，故
或
. 经检验，当
时，
与
没有公共点；当
时，
与
只有一个公共点，
与
有两个公共点.
当
与
只有一个公共点时，
到
所在直线的距离为
，所以
，故
或
. 经检验，当
时，
与
没有公共点；当
时，
与
没有公共点.
综上，所求
的方程为
.
23．解：
（1）当
时，
，即
故不等式
的解集为
.
（2）当
时
成立等价于当
时
成立.
若
，则当
时
；
若
，
的解集为
，所以
，故
.
综上，
的取值范围为
.
