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绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
，
,则
A．
B．
C．
D．
2．设
，则
A．
B．
C．
D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入
变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．已知椭圆
的一个焦点为
，则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为
，
，过直线
的平面截该圆柱所得的截面是面积为
的正方形，
则该圆柱的表面积为
A．
B．
C．
D．
6．设函数
. 若
为奇函数，则曲线
在点
处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
7．在
中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，则
A．
的最小正周期为
，最大值为
B．
的最小正周期为
，最大值为
C．
的最小正周期为
，最大值为
D．
的最小正周期为
，最大值为
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱
表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
A．
B．
C．
D．
10．在长方体
中，
，
与平面
所成的角为
，则该长方体的体积为
A．
B．
C．
D．
11．已知角
的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点
，
，且
，则
A．
B．
C．
D．
12．设函数
则满足
的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．已知函数
. 若
，则
.
14．若
，
满足约束条件
则
的最大值为 .
15．直线
与圆
交于
，
两点，则
.
16．
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
. 已知
，
，则
的面积为 .
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）
已知数列
满足
，
. 设
.
（1）求
，
，
；
（2）判断数列
是否为等比数列，并说明理由；
（3）求
的通项公式.
18．（12 分）
如图，在平行四边形
中，
，
. 以AC 为折痕将
折起，使点
到达点
D 的位置，且
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）
为线段
上一点，
为线段BC 上一点，且
，求三棱锥
的体积.
19．（12 分）
某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据（单位：
）和使用了节水龙头50 天的日用水量数据，
得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，
0.2)
[0.2，
0.3)
[0.3，
0.4)
[0.4，
0.5)
[0.5，
0.6)
[0.6，
0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35
的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365 天计算，同一组中的数据以这组数据所
在区间中点的值作代表.）
20．（12 分）
设抛物线
，点
，
，过点
的直线与
交于
，
两点.
（1）当与
轴垂直时，求直线
的方程；
（2）证明：
.
21．（12 分）
已知函数
.
（1）设
是
的极值点，求
，并求
的单调区间；
（2）证明：当
时，
.
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
中，曲线
的方程为
. 以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线
的极坐标方程为
.
（1）求
的直角坐标方程；
（2）若
与
有且仅有三个公共点，求
的方程.
23．[选修4－5：不等式选讲]（10 分）
已知
.
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
时不等式
成立，求
的取值范围.
绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．A
4．C
5．B
6．D
7．A
8．B
9．B
10．C
11．B
12．D
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：
（1）由条件可得
.
将
代入得，
，而
，所以，
.
将
代入得，
，所以，
.
从而
，
，
.
（2）
是首项为，公比为
的等比数列.
由条件可得
，即
，又
，所以
是首项为，公比为
的等比数列.
（3）由（2）可得
，所以
.
18．解：
（1）由已知可得，
，
.
又
，所以
平面
.
又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）由已知可得，
，
.
又
，所以
.
作
，垂足为
，则
.
由已知及（1）可得
平面
，所以
平面
，
.
因此，三棱锥
的体积为
.
19．解：
（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50 天日用水量小于0.35m3的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．
（3）该家庭未使用节水龙头50 天日用水量的平均数为
．
该家庭使用了节水龙头后50 天日用水量的平均数为
．
20．解：
（1）当与x 轴垂直时，的方程为
，可得
的坐标为
或
.
所以直线
的方程为
或
.
（2）当与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以
.
当与x 轴不垂直时，设的方程为
，
，
，则
.
由
得
，可知
.
直线BM，BN 的斜率之和为
. ①
将
，
及
的表达式代入①式分子，可得
.
所以
，可知BM，BN 的倾斜角互补，所以
.
综上，
.
21．解：
（1）
的定义域为
，
.
由题设知，
，所以
.
从而
，
.
当
时，
；当
时，
.
所以
在
单调递减，在
单调递增.
（2）当
时，
.
设
，则
.
当
时，
；当
时，
. 所以
是
的最小值点.
故当
时，
.
因此，当
时，
.
22．解：
（1）由
，
得
的直角坐标方程为
.
（2）由（1）知
是圆心为
，半径为
的圆.
由题设知，
是过点
且关于
轴对称的两条射线. 记
轴右边的射线为
，
轴左边的射线为
. 由于
在圆
的外面，故
与
有且仅有三个公共点等价于
与
只有一个公共点且
与
有两个公共点，或
与
只有一个公共点且
与
有两个公共点.
当
与
只有一个公共点时，
到
所在直线的距离为
，所以
，故
或
. 经检验，当
时，
与
没有公共点；当
时，
与
只有一个公共点，
与
有两个公共点.
当
与
只有一个公共点时，
到
所在直线的距离为
，所以
，故
或
. 经检验，当
时，
与
没有公共点；当
时，
与
没有公共点.
综上，所求
的方程为
.
23．解：
（1）当
时，
，即
故不等式
的解集为
.
（2）当
时
成立等价于当
时
成立.
若
，则当
时
；
若
，
的解集为
，所以
，故
.
综上，
的取值范围为
.
