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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．
A．
B．
C．
D．
2．已知集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
3．函数
的图像大致为
4．已知向量
，
满足
，
，则
A．4
B．3
C．2
D．0
5．从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为
A．
B．
C．
D．
6．双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为
A．
B．
C．
D．
7．在
中，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
8．为计算
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入
2
开始
0,
0
N
T
S
N
T
S
输出
1
i
100
i
1
N
N
i
1
1
T
T
i
结束
是
否
A．
B．
C．
D．
9．在正方体
中，为棱
的中点，则异面直线
与
所成角的正切值
为
A．
B．
C．
D．
10．若
在
是减函数，则
的最大值是
A．
B．
C．
D．
11．已知
，
是椭圆
的两个焦点，是
上的一点，若
，且
，则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
12．已知
是定义域为
的奇函数，满足
．若
，则
A．
B．0
C．2
D．50
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．曲线
在点
处的切线方程为__________．
14．若
满足约束条件
则
的最大值为__________．
15．已知
，则
__________．
16．已知圆锥的顶点为
，母线
，
互相垂直，
与圆锥底面所成角为
，若
的
面积为，则该圆锥的体积为__________．
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三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。
17．（12 分）
记
为等差数列
的前
项和，已知
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）求
，并求
的最小值．
18．（12 分）
下图是某地区2000 年至2016 年环境基础设施投资额
（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了
与时间变量的两个线性回
归模型．根据2000 年至2016 年的数据（时间变量的值依次为
）建立模型①：
；根据2010 年至2016 年的数据（时间变量的值依次为
）建立
模型②：
．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12 分）
如图，在三棱锥
中，
，
，为
的中点．
4
（1）证明：
平面
；
（2）若点
在棱
上，且
，求点
到平面
的距离．
20．（12 分）
设抛物线
的焦点为
，过
且斜率为
的直线与
交于
，两点，
．
（1）求的方程；
（2）求过点
，
且与
的准线相切的圆的方程．
21．（12 分）
已知函数
．
（1）若
，求
的单调区间；
（2）证明：
只有一个零点．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），直线的参数方程
为
（为参数）．
（1）求
和的直角坐标方程；
（2）若曲线
截直线所得线段的中点坐标为
，求的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10 分）
设函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
，求
的取值范围．
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绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．B
4．B
5．D
6．A
7．A
8．B
9．C
10．C
11．D
12．C
二、填空题
13．y=2x–2
14．9
15．
16．8π
三、解答题
17．解：
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7 得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4 时，Sn取得最小值，最小值为–16．
18．解：
（1）利用模型①，该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000 年至2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–
30.4+13.5t 上下，这说明利用2000 年至2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描
述环境基础设施投资额的变化趋势．2010 年相对2009 年的环境基础设施投资额有明显
增加，2010 年至2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010 年开始环
境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010 年至2016 年的数据建立的线
6
性模型
=99+17.5t 可以较好地描述2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因
此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016 年的环境基础设施投资额220 亿元，由模型①得到的预
测值226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利
用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网
19．解：
（1）因为AP=CP=AC=4，O 为AC 的中点，所以OP⊥AC，且OP=
．
连结OB．因为AB=BC=
，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=
=2．
由
知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC 知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．
由题设可知OC=
=2，CM=
=
，∠ACB=45°．
所以OM=
，CH=
=
．
7
所以点C 到平面POM 的距离为
．
20．解：
（1）由题意得F（1，0），l 的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
得
．
，故
．
所以
．
由题设知
，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l 的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为
，即
．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得
或
因此所求圆的方程为
或
．
21．解：
（1）当a=3 时，f（x）=
，f ′（x）=
．
令f ′（x）=0 解得x=
或x=
．
当x∈（–∞，
）∪（
，+∞）时，f ′（x）>0；
当x∈（
，
）时，f ′（x）<0．
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故f（x）在（–∞，
），（
，+∞）单调递增，在（
，
）单调递减．
（2）由于
，所以
等价于
．
设
=
，则g ′（x）=
≥0，仅当x=0 时g ′（x）=0，所以g
（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．学·科
网
又f（3a–1）=
，f（3a+1）=
，故f（x）有一个零点．
综上，f（x）只有一个零点．
22．解：
（1）曲线
的直角坐标方程为
．
当
时，的直角坐标方程为
，
当
时，的直角坐标方程为
．
（2）将的参数方程代入
的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线
截直线所得线段的中点
在
内，所以①有两个解，设为
，
，则
．
又由①得
，故
，于是直线
的斜率
．
23．解：
（1）当
时，
9
可得
的解集为
．
（2）
等价于
．
而
，且当
时等号成立．故
等价于
．
由
可得
或
，所以
的取值范围是
．
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．i(2+3i)=( )
A．3-2i
B．3+2i
C．-3-2i
D．-3+2i
解析：选D
2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=( )
A．{3}
B．{5}
C．{3,5}
D．{1,2,3,4,5,7}
解析：选C
3．函数f(x)= 的图像大致为 ( )
解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= >1,故选B
4．已知向量a，b 满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)= ( )
A．4
B．3
C．2
D．0
解析：选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3
5．从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
解析：选D 5 人选2 人有10 种选法，3 人选2 人有3 中选法。
6．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y=±x
B．y=±x
C．y=±x
D．y=±x
解析：选A e= c2=3a2 b=a
7．在ΔABC 中，cos=，BC=1，AC=5，则AB= ( )
A．4
B．
C．
D．2
解析：选A cosC=2cos2 -1= - AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32 AB=4
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8．为计算S=1- + - +……+ - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )
开始
0,
0
N
T
S
N
T
S
输出
1
i
100
i
1
N
N
i
1
1
T
T
i
结束
是
否
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
解析：选B
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为棱CC1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为(
)
A．
B．
C．
D．
解析：选C 即AE 与AB 所成角，设AB=2,则BE=,故选C
10．若f(x)=cosx-sinx 在[0,a]是减函数，则a 的最大值是( )
A．
B．
C．
D．π
解析：选C f(x)= cos(x+),依据f(x)=cosx 与f(x)= cos(x+)的图象关系知a 的最大值为。
11．已知F1，F2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=600，则C 的离心
率为( )
A．1-
B．2-
C．
D．-1
解析：选D 依题设| PF1|=c,| PF2|=c,由| PF1|+| PF2|=2a 可得
12．已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则
f(1)+f(2)+f(3)+
…+f(50)= ( )
A．-50
B．0
C．2
D．50
解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4 为周期的奇函数，且
f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为__________．
解析：y=2x-2
14．若x,y 满足约束条件 ,则z=x+y 的最大值为__________．
解析：9
15．已知tan(α- )=，则tanα=__________．
解析：由两角差的正切公式展开可得tanα=
16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为300，若ΔSAB 的面
积为8，则该圆锥的体积为__________．
解析：设母线为2a ，则圆锥高为a ，底面半径为a, 依题×2a×2a=8,∴a=2
11
∴V=×π×(2)×2=8π
