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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）
文科数学
1. 设
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
因为
所以
2. 已知集合
，
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
，
，
则
，
又
，则
，故选C.
3.已知
，
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由对数函数的图像可知：
；再有指数函数的图像可知：
，
，于是可得到：
.
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头
顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
.若某人满足上述两个黄金分割比例，
且腿长为
，头顶至脖子下端的长度为
，则其身高可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
方法一：
设头顶处为点
，咽喉处为点
，脖子下端处为点
，肚脐处为点
，腿根处为点
，足底处为
，
，
，
根据题意可知
,故
；又
，
，故
；
所以身高
，将
代入可得
.
根据腿长为
，头顶至脖子下端的长度为
可得
，
；
即
，
，将
代入可得
所以
，故选B.
方法二：
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度
可
估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是
（
称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为
；将人体的头顶至
咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为
，头顶至肚脐的长度与肚
脐至足底的长度之比是
可计算出肚脐至足底的长度约为
；将头顶至肚脐的长度与
肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为
，与答案
更为接近，故选B.
5. 函数
在
的图像大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
∵
，
∴
为奇函数，排除A.
又
，排除C，
，排除B，故选D.
6.某学校为了解
名新生的身体素质，将这些学生编号为
，从这些新生中用
系统抽样方法等距抽取
名学生进行体质测验，若
号学生被抽到，则下面
名学生中被
抽到的是（ ）.
A.
号学生
B.
号学生
C.
号学生
D.
号学生
答案：
C
解答：
从
名学生中抽取
名，每
人抽一个，
号学生被抽到，则抽取的号数就为
，可得出
号学生被抽到.
7.
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
因为
化简可得
8. 已知非零向量，满足
，且
，则与的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
，且
，
，有
，设与的夹角为，则有
，即
，
，
，
，
，故与的夹角为
，选
.
9. 右图是求
的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
把选项代入模拟运行很容易得出结论
选项A 代入运算可得
，满足条件，
选项B 代入运算可得
,不符合条件，
选项C 代入运算可得
,不符合条件，
选项D 代入运算可得
,不符合条件.
10.双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，则
的离心率为
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
根据题意可知
，所以
，
离心率
.
11.
的内角
的对边分别为
，已知
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由正弦定理可得到：
，即
，
又由余弦定理可得到：
，于是可得到
12. 已知椭圆
的焦点坐标为
，
，过
的直线与
交于
，
两点，若
，
，则
的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由
，
，设
，则
，
，根据椭圆的定义
，所以
，因此点
即为椭圆的下顶点，因为
，
所以点
坐标为
，将坐标代入椭圆方程得
，解得
，故答案选B.
13.曲线
在点
处的切线方程为
.
答案：
解答：
∵
，
∴结合导数的几何意义曲线在点
处的切线方程的斜率
，
∴切线方程为
.
14. 记
为等比数列
的前
项和，若
，
，则
.
答案：
解析：
，
设等比数列公比为
∴
∴
所以
15．函数
的最小值为___________．
答案：
解答：
，
因为
，知当
时
取最小值，
则
的最小值为
．
16.已知
，为平面
外一点，
，点
到
两边
的距离
均为
，那么
到平面
的距离为 .
答案：
解答：
如图，过
点做平面
的垂线段，垂足为
，则
的长度即为所求，再做
，由线面的垂直判定及性质定理可得出
，在
中，由
，可得出
，同理在
中可得出
，结合
，
可
得
出
，
，
17.某商场为提高服务质量，随机调查了
名男顾客和
名女顾客，每位顾客对该商场的服
务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满 意
不 满 意
男 顾 客
女 顾 客
（1）
分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）
能否有
的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
答案：
(1)男顾客的的满意概率为
女顾客的的满意概率为
(2) 有
的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
解答：
（1）
男顾客的的满意概率为
女顾客的的满意概率为
.
(2)
有
的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18.记
为等差数列
的前项和，已知
；
（1）若
，求
的通项公式；
（2）若
，求使得
的的取值范围.
答案：
（1）
（2）
解答：
（1 ）由
结合
可得
，联立
得
，所以
（2）由
可得
，故
，
.
由
知
，故
等价于
，解得
，
所以的取值范围是
19. 如图直四棱柱
的底面是菱形，
，
，
分别是
的中点.
（1）证明：
平面
（2）求点
到平面
的距离.
答案：
见解析
解答：
（1）连结
相交于点
，再过点
作
交
于点
，再连结
，
.
分别是
的中点.
于是可得到
，
，
于是得到平面
平面
，
由
平面
，于是得到
平面
（2）
为
中点，
为菱形且
，又
为直四棱柱，
，又
，
，设点
到平面
的距离为
由
得
解得
所以点
到平面
的距离为
20. 已知函数
，
是
的导数.
（1）证明：
在区间
存在唯一零点；
（2）若
时，
，求
的取值范围.
答案：
略
解答：
（1）由题意得
令
，∴
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
∴
的最大值为
，又
，
∴
，即
，
∴
在区间
存在唯一零点.
（2）令
，
∴
，
由（1）知
在
上先增后减，存在
，使得
，且
，
，
，
∴
在
上先增后减，
，
，
，
当
时，
在
上小于
，
单调递减，
又
，则
不合题意，
当
时，即
，
时，
若
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
解得
，
而
解得
，故
，
若
，
，
在
上单调递增，且
，
故只需
解得
；
若
，
，
在
上单调递增，且
，
故存在
时，
，不合题意，
综上所述，
的取值范围为
.
21. 已知点
关于坐标原点
对称，
，
过点
且与直线
相切.
（1）若
在直线
上，求
的半径；
（2）是否存在定点
，使得当
运动时，
为定值？并说明理由.
答案：
（1）
或
；
（2）见解析.
解答：
（1）∵
过点
，∴圆心在
的中垂线上即直线
上，设圆的方程为
，又
，根据
得
；
∵
与直线
相切，∴
，联解方程得
或
.
（2）设
的坐标为
，根据条件
即
化简得
，即
的轨迹是以
为焦点，以
为准线的抛物线，所以存在定点
，使
.
22.在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
.以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
.
（1）求
和的直角坐标方程；
（2）求
上的点到距离的最小值.
答案：
略
解答：
(1)曲线
:由题意得
即
，则
，然后代入即可
得到
而直线：将
代入即可得到
（2）将曲线
化成参数方程形式为
则
所以当
时，最小值为
23.已知，，为正数，且满足
，证明：
（1）
；
（2）
.
答案：（1）见解析；
（2）见解析.
解析：（1）
，
，
，
，即
，当且仅当
时取等
号.
且，，都为正数，
，
，
，故
.
（2）
，
当且仅当
时等号成立，即
时等号成立.又
，
当且仅当
时等号成立，
，故
，即得
.
