文档文本内容
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字
体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在
草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，
，则A∩B=
A．(–1，+∞)
B．(–∞，2)
C．(–1，2)
D．
2．设z=i(2+i)，则
=
A．1+2i
B．–1+2i
C．1–2i
D．–1–2i
3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=
A．
B．2
C．5
D．50
4．生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3
只，则恰有2 只测量过该指标的概率为
A．
B．
C．
D．
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次
序为
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
6．设f(x)为奇函数，且当x≥0 时，f(x)=
，则当x<0 时，f(x)=
A．
B．
C．
D．
7．设α，β 为两个平面，则α∥β 的充要条件是
A．α 内有无数条直线与β 平行
B．α 内有两条相交直线与β 平行
C．α，β 平行于同一条直线
D．α，β 垂直于同一平面
8．若x1=
，x2=
是函数f(x)=
(
>0)两个相邻的极值点，则
=
A．2
B．
C．1
D．
9．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆
的一个焦点，则p=
A．2
B．3
C．4
D．8
10．曲线y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
11．已知a∈（0，
），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A．
B．
C．
D．
12．设F 为双曲线C：
（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF
为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为
A．
B．
C．2
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．若变量x，y 满足约束条件
则z=3x–y 的最大值是___________.
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正
点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10 个车次的正点率为0.99，则经停该站
高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
15 ．
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 已知bsinA+acosB=0 ，则
B=___________.
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方
体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正
多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．
图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此
正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题
第一空2 分，第二空3 分．）
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥
的体积．
18．（12 分）
已知
是各项均为正数的等比数列，
.
（1）求
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n 项和.
19．（12 分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这
些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.
的分组
企业数
2
24
53
14
7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）.（精确到0.01）
附：
.
20．（12 分）
已知
是椭圆
的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原
点．
（1）若
为等边三角形，求C 的离心率；
（2)如果存在点P，使得
，且
的面积等于16，求b 的值和a 的取值
范围.
21.（12 分）
已知函数
.证明：
（1）
存在唯一的极值点；
（2）
有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在极坐标系中，O 为极点，点
在曲线
上，直线l 过点
且与
垂直，垂足为P.
（1）当
时，求
及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
已知
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
时，
，求
的取值范围.
1．C
2．D
3．A
4．B
5．A
6．D
7．B
8．A
9．D
10．C
11．B
12．A
13．9
14．0.98
15．
16．26
17．解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE
平面ABB1A1，
故
.
又
，所以BE⊥平面
.
（2 ）由（1 ）知∠BEB1=90°. 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E ，所以
，故AE=AB=3，
.
作
，垂足为F，则EF⊥平面
，且
.
所以，四棱锥
的体积
.
18．解：（1）设
的公比为q，由题设得
，即
.
解得
（舍去）或q=4.
因此
的通项公式为
.
（2 ）由（1 ）得
，因此数列
的前n 项和为
.
19.解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100 个企业中产值增长率不低于
40%的企业频率为
.
产值负增长的企业频率为
.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，
产值负增长的企业比例为2%.
（2）
，
，
，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.
20.解：（1）连结
，由
为等边三角形可知在
中，
，
，
，于是
，故
的离心率是
.
（2 ）由题意可知，满足条件的点
存在当且仅当
，
，
，即
，①
，②
，③
由②③及
得
，又由①知
，故
.
由②③得
，所以
，从而
故
.
当
，
时，存在满足条件的点P.
所以
，
的取值范围为
.
21.解：（1）
的定义域为（0，+
）.
.
因为
单调递增，
单调递减，所以
单调递增，又
，
，故存在唯一
，使得
.
又当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递
增.
因此，
存在唯一的极值点.
（2 ）由（1 ）知
，又
，所以
在
内存在唯一根
.
由
得
.
又
，故
是
在
的唯一根.
综上，
有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
22．解：（1）因为
在C 上，当
时，
.
由已知得
.
设
为l 上除P 的任意一点.在
中
，
经检验，点
在曲线
上.
所以，l 的极坐标方程为
.
（2）设
，在
中，
即
..
因为P 在线段OM 上，且
，故
的取值范围是
.
所以，P 点轨迹的极坐标方程为
.
23．解：（1）当a=1 时，
.
当
时，
；当
时，
.
所以，不等式
的解集为
.
（2）因为
，所以
.
当
，
时，
.
所以，
的取值范围是
.
选择填空解析
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 Ⅱ卷）
文科数学
1.设集合
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
，
，∴
.
2. 设
，则
( )
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
因为
，所以
.
3. 已知向量
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由题意知
，所以
.
4. 生物实验室有
只兔子，其中只有
只测量过某项指标.若从这
只兔子中随机取出
只，
则恰有
只测量过该指标的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
计测量过的
3 只兔子为、
、
，设测量过的
只兔子为
、
则3 只兔子的种类有
,则恰
好有两只测量过的有
种，所以其概率为
.
5. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序
为（ ）
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
答案：
A
解答：
根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果.
6. 设
为奇函数，且当
时，
，则当
时，
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
当
时，
，
，又
为奇函数，
有
.
7. 设
为两个平面，则
的充要条件是( )
A.
内有无数条直线与
平行
B.
内有两条相交直线与
平行
C.
平行于同一条直线
D.
垂直于同一平面
答案：
B
解析:
根据面面平行的判定定理易得答案.
8.
若
是函数
两个相邻的极值点，则
=
A．
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由题意可知
即
,所以
.
9.若抛物线
的焦点是椭圆
的一个焦点，则
（ ）
A.2
B.3
C.4
D.8
答案：
D
解析：
抛物线
的焦点是
，椭圆
的焦点是
，
∴
，∴
.
10. 曲线
在点
处的切线方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
因为
，所以曲线
在点
处的切线斜率为
，
故曲线
在点
处的切线方程为
.
11. 已知
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
，
，
则
，所以
，
所以
.
12.设F 为双曲线
的右焦点，0 为坐标原点，以
为直径的
圆与圆
交于
两点，若
,则
的离心率为
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：设
点坐标为
，则以
为直径的圆的方程为
-----
①，圆的方程
-----②，则①-②，化简得到
，代入②式，求得
，则设
点坐标为
，
点坐标为
，故
，又
,
则
化
简
得
到
，
，
故
.故选A.
二、填空题
13. 若变量
满足约束条件
则
的最大值是 .
答案：
解答：
根据不等式组约束条件可知目标函数
在
处取得最大值为
.
14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有
个车次的正
点率为
，有
个车次的正点率为
，有
个车次的正点率为
，则经停该站
的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
.
答案：
解答：
平均正点率的估计值
.
15.
的内角
的对边分别为
.已知
，则
.
答案：
解析：
根据正弦定理可得
, 即
，显然
，所以
，故
.
16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体
或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体
是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2 是一
个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长
为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2 分，第二空3
分.)
答案：
26
解析：
由图2 结合空间想象即可得到该正多面体有26 个面；将该半正多面体补成正方体后，根据
对称性列方程求解.
