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2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（5 分）设z＝
，则|z|＝（ ）
A．2
B．
C．
D．1
2．（5 分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝（
）
A．{1，6}
B．{1，7}
C．{6，7}
D．{1，6，7}
3．（5 分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
4．（5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最
美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个
黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
A．165cm
B．175cm
C．185cm
D．190cm
5．（5 分）函数f（x）＝
在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
第1页（共26页）
C．
D．
6．
（5 分）某学校为了解1000 名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生
中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验．若46 号学生被抽到，则下面4 名
学生中被抽到的是（ ）
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
7．（5 分）tan255°＝（ ）
A．﹣2﹣
B．﹣2+
C．2﹣
D．2+
8．（5 分）已知非零向量，满足| |＝2| |，且（﹣）⊥，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A．A＝
B．A＝2+
C．A＝
D．A＝1+
10．（5 分）双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心
率为（ ）
第2页（共26页）
A．2sin40°
B．2cos40°
C．
D．
11．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣
，则
＝（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
12．（5 分）已知椭圆C 的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C 交于A，B 两点．若|
AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C 的方程为（ ）
A．
+y2＝1
B．
+
＝1
C．
+
＝1
D．
+
＝1
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为 ．
14．（5 分）记Sn为等比数列{an}的前n 项和．若a1＝1，S3＝
，则S4＝ ．
15．（5 分）函数f（x）＝sin（2x+
）﹣3cosx 的最小值为 ．
16．（5 分）已知∠ACB＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC＝2，点P 到∠ACB 两边AC，BC 的距
离均为
，那么P 到平面ABC 的距离为 ．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客，每位顾客对该
商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
第3页（共26页）
附：K2＝
．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．（12 分）记Sn为等差数列{an}的前n 项和．已知S9＝﹣a5．
（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n 的取值范围．
19．（12 分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，
E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C 到平面C1DE 的距离．
第4页（共26页）
20．（12 分）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．
21．（12 分）已知点A，B 关于坐标原点O 对称，|AB|＝4，⊙M 过点A，B 且与直线x+2＝0 相切．
（1）若A 在直线x+y＝0 上，求⊙M 的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A 运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．
第5页（共26页）
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
（t 为参数）．以坐标原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+
ρsinθ+11＝0．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知a，b，c 为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）
+
+
≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
第6页（共26页）
2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（5 分）设z＝
，则|z|＝（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【分析】直接利用复数商的模等于模的商求解．
【解答】解：由z＝
，得|z|＝|
|＝
．
故选：C．
【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．
2．（5 分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝（
）
A．{1，6}
B．{1，7}
C．{6，7}
D．{1，6，7}
【分析】先求出∁UA，然后再求B∩∁UA 即可求解
【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，
∴∁UA＝{1，6，7}，
则B∩∁UA＝{6，7}
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题．
3．（5 分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出
a，b，c 的大小关系．
【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，
b＝20.2＞20＝1，
∵0＜0.20.3＜0.20＝1，
∴c＝0.20.3∈（0，1），
∴a＜c＜b，
第7页（共26页）
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．
4．（5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最
美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个
黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
A．165cm
B．175cm
C．185cm
D．190cm
【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．
【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，
说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是
≈0.618，
可得咽喉至肚脐的长度小于
≈42cm，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
，
可得肚脐至足底的长度小于
＝110，
即有该人的身高小于110+68＝178cm，
又肚脐至足底的长度大于105cm，
可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105＝170cm，
故选：B．
【点评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
第8页（共26页）
5．（5 分）函数f（x）＝
在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（π），判断正负即可排除B，
C．
【解答】解：∵f（x）＝
，x∈[﹣π，π]，
∴f（﹣x）＝
＝﹣
＝﹣f（x），
∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；
又f（
）＝
，因此排除B，C；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．
6．
（5 分）某学校为了解1000 名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生
中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验．若46 号学生被抽到，则下面4 名
学生中被抽到的是（ ）
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
【分析】根据系统抽样的特征，从1000 名学生从中抽取一个容量为100 的样本，抽样的分
段间隔为10，结合从第4 组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．
【解答】解：：∵从1000 名学生从中抽取一个容量为100 的样本，
∴系统抽样的分段间隔为
＝10，
∵46 号学生被抽到，
第9页（共26页）
则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号
码增加10，所有号码数是以6 为首项，以10 为公差的等差数列，
设其数列为{an}，则an＝6+10（n﹣1）＝10n﹣4，
当n＝62 时，a62＝616，即在第62 组抽到616．
故选：C．
【点评】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．
7．（5 分）tan255°＝（ ）
A．﹣2﹣
B．﹣2+
C．2﹣
D．2+
【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解．
【解答】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）
＝
＝
＝
．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题．
8．（5 分）已知非零向量，满足| |＝2| |，且（﹣）⊥，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由（﹣）⊥，可得
，进一步得到
，
然后求出夹角即可．
【解答】解：∵（﹣）⊥，
∴
＝
，
∴
＝
＝
，
∵
，
第10页（共26页）
∴
．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．
9．（5 分）如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A．A＝
B．A＝2+
C．A＝
D．A＝1+
【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A 的值，观察规律即可得解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
A＝
，k＝1；
满足条件k≤2，执行循环体，A＝
，k＝2；
满足条件k≤2，执行循环体，A＝
，k＝3；
此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A 的值为
，
第11页（共26页）
观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入A＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出
正确的结论，是基础题．
10．（5 分）双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心
率为（ ）
A．2sin40°
B．2cos40°
C．
D．
【分析】由已知求得
，化为弦函数，然后两边平方即可求得C 的离心率．
【解答】解：双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝
，
由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得
，
则
＝
，
∴
＝
，
得
，
∴e＝
．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
11．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣
，则
＝（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【分析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．
【解答】解：∵△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
第12页（共26页）
asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣
，
∴
，
解得3c2＝
，
∴
＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属
于中档题．
12．（5 分）已知椭圆C 的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C 交于A，B 两点．若|
AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C 的方程为（ ）
A．
+y2＝1
B．
+
＝1
C．
+
＝1
D．
+
＝1
【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a＝
，b＝
，可得椭圆的方程．
【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，
又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，
又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝
，
∴|AF2|＝a，|BF1|＝
a，
∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，
∴|AF1|＝|AF2|，∴A 在y 轴上．
在Rt△AF2O 中，cos∠AF2O＝
，
第13页（共26页）
在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝
，
根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得
+
＝0，解得a2＝3，∴a＝
．
b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．
所以椭圆C 的方程为：
+
＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为
y ＝
3 x
．
【分析】对y＝3（x2+x）ex求导，可将x＝0 代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．
【解答】解：∵y＝3（x2+x）ex，
∴y'＝3ex（x2+3x+1），
∴当x＝0 时，y'＝3，
∴y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k＝3，
∴切线方程为：y＝3x．
故答案为：y＝3x．
【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题
关键，属基础题．
14．（5 分）记Sn为等比数列{an}的前n 项和．若a1＝1，S3＝
，则S4＝
．
第14页（共26页）
【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列
的求和公式即可求解
【解答】解：∵等比数列{an}的前n 项和，a1＝1，S3＝
，
∴q≠1，
＝
，
整理可得，
，
解可得，q＝﹣
，
则S4＝
＝
＝
．
故答案为：
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
15．（5 分）函数f（x）＝sin（2x+
）﹣3cosx 的最小值为 ﹣
4
．
【分析】线利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的 单调性
即可去求解最小值
【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+
）﹣3cosx，
＝﹣cos2x﹣3cosx＝﹣2cos2x﹣3cosx+1，
令t＝cosx，则﹣1≤t≤1，
∵f（t）＝﹣2t2﹣3t+1 的开口向下，对称轴t＝
，在[﹣1，1]上先增后减，
故当t＝1 即cosx＝1 时，函数有最小值﹣4．
故答案为：﹣4
【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角好按时化简求值中的应用及
利用余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题
16．（5 分）已知∠ACB＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC＝2，点P 到∠ACB 两边AC，BC 的距
离均为
，那么P 到平面ABC 的距离为
．
【分析】过点P 作PD⊥AC，交AC 于D，作PE⊥BC，交BC 于E，过P 作PO⊥平面ABC，
第15页（共26页）
交平面ABC 于O，连结OD，OC，则PD＝PE＝
，从而CD＝CE＝OD＝OE＝
＝1，由此能求出P 到平面ABC 的距离．
【解答】解：∠ACB＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC＝2，点P 到∠ACB 两边AC，BC 的距
离均为
，
过点P 作PD⊥AC，交AC 于D，作PE⊥BC，交BC 于E，过P 作PO⊥平面ABC，交平面
ABC 于O，
连结OD，OC，则PD＝PE＝
，
∴CD＝CE＝OD＝OE＝
＝1，
∴PO＝
＝
＝
．
∴P 到平面ABC 的距离为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客，每位顾客对该
商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
第16页（共26页）
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2＝
．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解；
（2）代入计算公式：K2＝
，然后把所求数据与3.841 进行比较
即可判断．
【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P＝
＝
，
女顾客对该商场服务满意的概率P＝
＝
；
（2）由题意可知，K2＝
＝
≈4.762＞3.841，
故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基
础试题．
18．（12 分）记Sn为等差数列{an}的前n 项和．已知S9＝﹣a5．
（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n 的取值范围．
【分析】（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，由S9＝﹣a5，即可得S9＝
＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，结合a3＝4，计算可得d 的值，结合等差数列
的通项公式计算可得答案；
（2）若Sn≥an，则na1+
d≥a1+（n﹣1）d，分n＝1 与n≥2 两种情况讨论，求出n 的
取值范围，综合即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，
第17页（共26页）
若S9＝﹣a5，则S9＝
＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，
若a3＝4，则d＝
＝﹣2，
则an＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，
（2）若Sn≥an，则na1+
d≥a1+（n﹣1）d，
当n＝1 时，不等式成立，
当n≥2 时，有
≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，
又由S9＝﹣a5，即S9＝
＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）
≥﹣2a1，
又由a1＞0，则有n≤10，
则有2≤n≤10，
综合可得：n 的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式，涉及数列与不等式的综
合应用，属于基础题．
19．（12 分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，
E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C 到平面C1DE 的距离．
【分析】法一：
第18页（共26页）
（1）连结B1C，ME，推导出四边形MNDE 是平行四边形，从而MN∥ED，由此能证明MN∥
平面C1DE．
（2）过C 作C1E 的垂线，垂足为H，推导出DE⊥BC，DE⊥C1C，从而DE⊥平面C1CE，
DE⊥CH，进而CH⊥平面C1DE，故CH 的长即为C 到时平面C1DE 的距离，由此能求出点
C 到平面C1DE 的距离．
法二：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向
量法能证明MN∥平面C1DE．
（2）求出
＝（﹣1，
，0），平面C1DE 的法向量＝（4，0，1），利用向量法能求出点C 到
平面C1DE 的距离．
【解答】解法一：
证明：（1）连结B1C，ME，∵M，E 分别是BB1，BC 的中点，
∴ME∥B1C，又N 为A1D 的中点，∴ND＝
A1D，
由题设知A1B1
DC，∴B1C
A1D，∴ME
ND，
∴四边形MNDE 是平行四边形，
MN∥ED，
又MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．
解：（2）过C 作C1E 的垂线，垂足为H，
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，
∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，
∴CH⊥平面C1DE，故CH 的长即为C 到时平面C1DE 的距离，
由已知可得CE＝1，CC1＝4，
∴C1E＝
，故CH＝
，
∴点C 到平面C1DE 的距离为
．
解法二：
证明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．
∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，
以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，
第19页（共26页）
M（1，
，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，
，0），C1（﹣1，
，4），
＝（0，﹣
，0），
＝（﹣1，
），
＝（0，
），
设平面C1DE 的法向量＝（x，y，z），
则
，
取z＝1，得＝（4，0，1），
∵
• ＝0，MN⊄平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE．
解：（2）C（﹣1，
，0），
＝（﹣1，
，0），
平面C1DE 的法向量＝（4，0，1），
∴点C 到平面C1DE 的距离：
d＝
＝
＝
．
第20页（共26页）
【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12 分）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．
【分析】（1）令g（x）＝f′（x），对g（x）再求导，研究其在（0，π）上的单调性，结合极值点和
端点值不难证明；
（2）利用（1）的结论，可设f′（x）的零点为x0，并结合f′（x）的正负分析得到f（x）的情况，
作出图示，得出结论．
【解答】解：
（1）
证明：∵f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，
∴f′（x）＝2cosx﹣cosx+xsinx﹣1
＝cosx+xsinx﹣1，
令g（x）＝cosx+xsinx﹣1，
则g′（x）＝﹣sinx+sinx+xcosx
＝xcosx，
当x∈（0，
）时，xcosx＞0，
当x
时，xcosx＜0，
∴当x＝
时，极大值为g（
）＝
＞0，
又g（0）＝0，g（π）＝﹣2，
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∴g（x）在（0，π）上有唯一零点，
即f′（x）在（0，π）上有唯一零点；
（2）
由（1）知，f′（x）在（0，π）上有唯一零点x0，
使得f′（x0）＝0，
且f′（x）在（0，x0）为正，
在（x0，π）为负，
∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0，π]递减，
结合f（0）＝0，f（π）＝0，
可知f（x）在[0，π]上非负，
令h（x）＝ax，
作出图示，
∵f（x）≥h（x），
∴a≤0，
∴a 的取值范围是（﹣∞，0]．
【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性，零点等问题，和数形结合的思想方法，难
度较大．
21．（12 分）已知点A，B 关于坐标原点O 对称，|AB|＝4，⊙M 过点A，B 且与直线x+2＝0 相切．
（1）若A 在直线x+y＝0 上，求⊙M 的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A 运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．
【分析】（1）由条件知点M 在线段AB 的中垂线x﹣y＝0 上，设圆的方程为⊙M 的方程为
（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），然后根据圆与直线x+2＝0 相切和圆心到直线x+y＝0 的距
离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；
第22页（共26页）
（2）设M 的坐标为（x，y），然后根据条件的到圆心M 的轨迹方程为y2＝4x，然后根据抛物
线的定义即可得到定点．
【解答】解：∵⊙M 过点A，B 且A 在直线x+y＝0 上，
∴点M 在线段AB 的中垂线x﹣y＝0 上，
设⊙M 的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则
圆心M（a，a）到直线x+y＝0 的距离d＝
，
又|AB|＝4，∴在Rt△OMB 中，
d2+（
|AB|）2＝R2，
即
①
又∵⊙M 与x＝﹣2 相切，∴|a+2|＝R②
由①②解得
或
，
∴⊙M 的半径为2 或6；
（2）∵线段AB 为⊙M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上，
设点M 的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，
∵⊙M 与直线x+2＝0 相切，∴|MA|＝|x+2|，
∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，
∴y2＝4x，
∴M 的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1 为准线的抛物线，
∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|
＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，
∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为（1，0），
∴存在定点P（1，0）使得当A 运动时，|MA|﹣|MP|为定值．
【点评】本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方程
的求法，属难题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
第23页（共26页）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
（t 为参数）．以坐标原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+
ρsinθ+11＝0．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
【分析】（1）把曲线C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代
入2ρcosθ+
ρsinθ+11＝0，可得直线l 的直角坐标方程；
（2）法一、设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用
三角函数求最值；
法二、写出与直线l 平行的直线方程为
，与曲线C 联立，化为关于x 的一元
二次方程，利用判别式大于0 求得m，转化为两平行线间的距离求C 上的点到l 距离的最
小值．
【解答】解：（1）由
（t 为参数），得
，
两式平方相加，得
（x≠﹣1），
∴C 的直角坐标方程为
（x≠﹣1），
由2ρcosθ+
ρsinθ+11＝0，得
．
即直线l 的直角坐标方程为得
；
（2）法一、设C 上的点P（cosθ，2sinθ）（θ≠π），
则P 到直线得
的距离为：
d＝
＝
．
∴当sin（θ+φ）＝﹣1 时，d 有最小值为
．
法二、设与直线
平行的直线方程为
，
第24页（共26页）
联立
，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．
由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．
∴当m＝4 时，直线
与曲线C 的切点到直线
的距离最小，为
．
【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位
置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知a，b，c 为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）
+
+
≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
【分析】（1）利用基本不等式和1 的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证．
【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c 为正数，且满足abc＝1．
要证（1）
+
+
≤a2+b2+c2；因为abc＝1．
就要证：
+
+
≤a2+b2+c2；
即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；
即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；
∵a，b，c 为正数，且满足abc＝1．
∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0 恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1 时取等号．
即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0 得证．
故
+
+
≤a2+b2+c2得证．
（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24 成立；
即：已知a，b，c 为正数，且满足abc＝1．
（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；
第25页（共26页）
（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；
当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1 时取等号；
∵a，b，c 为正数，且满足abc＝1．
（a+b）≥2
；（b+c）≥2
；（c+a）≥2
；
当且仅当a＝b，b＝c；c＝a 时取等号；即：a＝b＝c＝1 时取等号；
∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8
•
•
＝24abc＝24；
当且仅当a＝b＝c＝1 时取等号；
故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．
故得证．
【点评】本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法．
第26页（共26页）
