文档文本内容
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、选择题：（本大题共12 题，1-6 题每题4 分，7-12 题每题5 分，共54 分）
1. 已知集合
,3
2,
A
B
、
，则
B
A
________.
2. 已知
C
z
且满足
i
z
5
1
，求
z
________.
3. 已知向量
)
2,0,1(
a
，
)
0,1,2
(
b
，则a 与b 的夹角为________.
4. 已知二项式
5
2
1
x
，则展开式中含
2x 项的系数为________.
5. 已知x、y 满足
0
0
2
x
y
x
y
，求
的最小值为________.
6. 已知函数
周期为，且当
，
，则
________.
7. 若
，且
，则
的最大值为________.
8. 已知数列
前n 项和为
，且满足
，则
______.
9. 过
的焦点
并垂直于
轴的直线分别与
交于
，
在
上方，
为抛物线上一点，
，则
______.
10. 某三位数密码锁，每位数字在
数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.
11. 已知数列
满足
（
），
在双曲线
上，则
_______.
12. 已知
，若
，
与
轴交点为
，
为曲线
，在
上任意一点
，总存在一点
（
异于
）使得
且
，则
__________.
二.选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分）
13. 已知直线方程
的一个方向向量可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1 和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得
到的两个圆锥的体积之比为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
15. 已知
，函数
，存在常数
，使得
为偶函
数，则
可能的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
16. 已知
.
①存在
在第一象限，角
在第三象限；
②存在
在第二象限，角
在第四象限；
A. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对；
三.解答题（本大题共5 题，共76 分）
17. （本题满分14 分）如图，在长方体
中，
为
上一点，已知
，
，
，
.
（1）求直线
与平面
的夹角；
（2）求点
到平面
的距离.
18.（本题满分14 分）已知
.
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
时，
有零点，求
的范围.
19.（本题满分14 分）如图，
为海岸线，
为线段，
为四分之一圆弧，
，
，
，
.
（1）求
长度；
（2）若
，求
到海岸线
的最短距离.（精确到
）
20.（本题满分16 分）
已知椭圆
，
为左、右焦点，直线过
交椭圆于A、B 两点.
（1）若AB 垂直于
轴时，求
；
（2）当
时，
在
轴上方时，求
的坐标；
（3）若直线
交
轴于M，直线
交
轴于N，是否存在直线，使
，若
存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分18 分）
数列
有
项，
，对任意
，存在
，若
与前
项中某一项相等，则称
具有性质
.
（1）若
，求
可能的值；
（2）若
不为等差数列，求证：
中存在满足性质
；
（3）若
中恰有三项具有性质
，这三项和为
，使用
表示
.
上海市2019 届秋季高考数学考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12 题，1-6 题每题4 分，7-12 题每题5 分，共54 分）
1.已知集合
,3
2,
A
B
、
，则
B
A
________.
【思路分析】然后根据交集定义得结果．
【解析】：根据交集概念，得出：
)
3,2
(
.
【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2.已知
C
z
且满足
i
z
5
1
，求
z
________.
【思路分析】解复数方程即可求解结果．
【解析】：
i
z
5
1
，
i
i
i
i
i
z
26
1
26
5
)
5
)(
5
(
5
5
1
.
【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
3.已知向量
)
2,0,1(
a
，
)
0,1,2
(
b
，则a 与b 的夹角为________.
【思路分析】根据夹角运算公式
求解．
【解析】：
.
【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．
4.已知二项式
5
2
1
x
，则展开式中含
2x 项的系数为________.
【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含
2x 项的的项，再求系数．
【解析】：
r
r
r
r
r
r
r
x
C
x
C
T
5
5
5
5
5
1
2
1
)
2
(
令
2
5
r
，则
3
r
，
2
x 系数为
40
22
3
5
C
.
【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．
5.已知x、y 满足
0
0
2
x
y
x
y
，求
的最小值为________.
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，
数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当
，
时，
.
【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
6.已知函数
周期为，且当
，
，则
________.
【思路分析】直接利用函数周期为1，将转
到已知范围
内，代入函数解析式即可．
【解析】：
.
【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．
7.若
，且
，则
的最大值为________.
【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有
的式子求解
【解析】：法一：
，∴
；
法二：由
，
（
），求二次最值
.
【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．
8.已知数列
前n 项和为
，且满足
，则
______.
【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列.
【解析】：由
得：
（
）
∴
为等比数列，且
，
，∴
.
9.过
的焦点
并垂直于
轴的直线分别与
交于
，在
上方，
为
抛物线上一点，
，则
______.
【思路分析】根据等式建立坐标方程求解
【解析】：依题意求得：
，
，设M 坐标
有：
，代入
有：
即：
.
【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
10 某三位数密码锁，每位数字在
数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.
【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.
【解析】：法一：
（分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字）
法二：
（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）
【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．
11.已知数列
满足
（
），
在双曲线
上，则
_______.
【思路分析】利用点在曲线上得到
关于n 的表达式，再求极限.
【解析】：法一：由
得：
，∴
，
，利用两点间距离公式求解极限。
法二（极限法）：当
时，
与渐近线平行，
在x 轴投影为1，渐近线倾斜角
满足：
，所以
.
【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题．
12.已知
，若
，
与
轴交点为
，
为曲线
，在
上任意一点
，总存在一点
（
异于
）使得
且
，则
__________.
【思路分析】
【解析】：
【归纳与总结】
二. 选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分）
13.已知直线方程
的一个方向向量可以是（ ）
B.
B.
C.
D.
【思路分析】根据直线的斜率求解.
【解析】：依题意：
为直线的一个法向量，∴ 方向向量为
，选D.
【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题．
14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1 和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得
到的两个圆锥的体积之比为（ ）
B. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【思路分析】根据直线的斜率求解.
【解析】：依题意：
，
，选B.
15.已知
，函数
，存在常数
，使得
为偶函数，
则
可能的值为（ ）
B.
B.
C.
D.
【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.
【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验
的奇偶性，选C；
法二：
，若
为偶函数，则
，且
也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴
，当
时，
，
选C.
16.已知
.
①存在
在第一象限，角
在第三象限；
②存在
在第二象限，角
在第四象限；
B. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对；
【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.
【解析】：法一：
（推荐）取特殊值检验法：例如：令
和
，求
看是否
存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D.
法二：解：
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
……①
设tan
,tan
x
y
，则原式可化为
1
x
y
xy
xy
，整理得
2
2
1
0
x y
y
x
x
，
以y 为主元，则要使方程有解，需使
2
3
3
2
1
4
4
2
1
0
x
x
x
x
x
有解，
令
3
2
4
2
1
f
x
x
x
x
，则
2
12
2
2
0
f
x
x
x
恒成立
∴函数
3
2
4
2
1
f
x
x
x
x
在R 上单调递减，又∵
0
1
0,
1
4
0
f
f
∴存在
0
0,1
x
使
0
0
f
x
，当
0
x
x
时
0
f
x
设方程
2
2
1
0
x y
y
x
x
的两根分别为
1
2
,
y
y ，
当
0
x
时，
1
2
1
2
2
1
1
0,
0
x
y
y
y y
x
x
，故必有一负根，②对；
当
0
0
x
x
时，
1
2
1
2
2
1
1
0,
0
x
y
y
y y
x
x
，故两根均为负根，①错；选D.
三. 解答题（本大题共5 题，共76 分）
17.（本题满分14 分）如图，在长方体
中，
为
上一点，已知
，
，
，
.
（1）求直线
与平面
的夹角；
（2）求点
到平面
的距离.
【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平面
的法向量求解..
【解析】：（1）依题意：
，连接AC，则
与平面
ABCD 所成夹角为
；
∵
，
，∴
为等腰直角△，
；
∴ 直线
与平面
的夹角为
.
（2）法一（空间向量）：如图建立坐标系：
则：
，
，
，
，
，
∴求平面
的法向量
：
，得：
A 到平面
的距离为：
法二（等体积法）：利用
求解，求
时，需要求出三边长（不是特殊
三角形），利用
求解.
【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查
空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，
是基础题．
18.（本题满分14 分）已知
.
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
时，
有零点，求
的范围.
【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值与值
域.
【解析】：（1）当
时，
；
代入原不等式：
；即：
移项通分：
，得：
；
（2）依题意：
在
上有解
参编分离：
，即求
在
值域，
在
单调递增，
；
，故：
.
【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转化与
划归思想的应用．
19.（本题满分14 分）如图，
为海岸线，
为线段，
为四分之一圆弧，
，
，
，
.
（1）求
长度；
（2）若
，求
到海岸线
的最短距离.（精
确到
）
【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形.
【解析】：（1）依题意：
，弧BC 所在圆的半径
弧BC 长度为：
km
（2）根据正弦定理：
，求得：
，
∴
km<CD=36.346km
∴ D 到海岸线最短距离为35.752km.
【归纳与总结】本题考查了圆弧弧长求法、正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思
想的应用．
20.（本题满分16 分）
已知椭圆
，
为左、右焦点，直线过
交椭圆于A、B 两点.
（1）若AB 垂直于
轴时，求
；
（2）当
时，
在
轴上方时，求
的坐标；
（3）若直线
交
轴于M，直线
交
轴于N，是否存在直线，使
，若
存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【思路分析】直接求出A,B 坐标；利用三角形面积公式和点在曲线上建立方程；.根据面积关
系
转化出关于点的坐标关系，再求解出关于点直线斜率的方程.
【解析】：（1）依题意：
，当AB⊥x 轴，则坐标
，
，
∴
（2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式：
；
又：
，
，即
所以A 在短轴端点，即
直线
（即
）方程为：
，联立：
，得
.
法二（常规）：依题意：设坐标
，∵
（注意：用点
更方便计算）
则有：
又A 在椭圆上，满足：
，即：
∴
，解出：
，
B 点坐标求解方法同法一，
.
（3）设坐标
，
，
，
，直线l：
（k 不存在时
不满足题意）
则：
；
；
联
立
方
程
：
，
，
韦
达
定
理
：
由直线
方程：
得M 纵坐标：
；
由直线
方程：
得N 纵坐标：
；
若
，即
∴
，
，代入韦达定理：
得：
，解出：
∴ 存在直线
或
满足题意.
【归纳与总结】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于
中档题．
21.（本题满分18 分）
数列
有
项，
，对任意
，存在
，若
与前
项中某一项相等，则称
具有性质
.
（1）若
，求
可能的值；
（2）若
不为等差数列，求证：
中存在满足性质
；
（3）若
中恰有三项具有性质
，这三项和为
，使用
表示
.
【思路分析】根据定义式子代入即可求解
；通过证明逆否命题证明；去掉具有P 性质三项，
求和
【解析】：（1）
可能的值为3,5,7；
（2）要证明
中存在满足性质
，
即证明：若数列
中不存在满足性质
的项，则
为等差数列（原命题的逆否命题）
显然
时，
，满足性质
，不成立；
时，
，
，
同理
时，
不成立；
时，
所以
以此类推
，其中
时不成立
只有
，即
成立，即
为等差数列，
即得证明：
不为等差数列，
中存在满足性质
（3）将数列中具有性质P 的三项去掉，形成一个新数列
时，
，且
中元素满足性质P 的项，
根据（2）
为等差数列，所以
即
又因为三项去掉和为c，所以
【归纳与总结】本题考查新定义“性质
”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义
和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
