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绝密★启用前
2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知集合
，则
A．
B．
C．
D．
2．若
，则z=
A．
B．
C．
D．
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四
大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，其中阅读过
《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游
记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生
总数比值的估计值为
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
4．（1+2x2 ）（1+x）
4的展开式中x3的系数为
A．12
B．16
C．20
D．24
5．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4 项为和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=
A． 16
B． 8
C．4
D． 2
6．已知曲线
在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A．
B．a=e，b=1
C．
D ．
，
7．函数
在
的图象大致为
A．
B．
C．
D．
8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线
段ED 的中点，则
A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
9．执行下边的程序框图，如果输入的
为0.01，则输出
的值等于
A.
B.
C.
D.
10．双曲线C：
=1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若
，则△PFO 的面积为
A．
B．
C．
D．
11．设
是定义域为R 的偶函数，且在
单调递减，则
A．
（log3
）＞
（
）＞
（
）
B．
（log3
）＞
（
）＞
（
）
C．
（
）＞
（
）＞
（log3
）
D．
（
）＞
（
）＞
（log3
）
12．设函数
=sin（
）(
＞0)，已知
在
有且仅有5 个零点，下述四个
结论：
①
在（
）有且仅有3 个极大值点
②
在（
）有且仅有2 个极小值点
③
在（
）单调递增
④
的取值范围是[
)
其中所有正确结论的编号是
A． ①④ B． ②③ C． ①②③ D． ①③④
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．已知a，b 为单位向量，且a·b=0，若
，则
___________.
14．记Sn为等差数列{an}的前n 项和，
，则
___________.
15．设
为椭圆C:
的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若
为等腰三角形，则M 的坐标为___________.
16 ．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体
挖去四棱锥O—EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E，
F，G，H 分别为所在棱的中点，
，3D 打印所用原料密度为
0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成
A、B 两组，每组100 只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每组
小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留
在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计
值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）．
18．（12 分）
△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知
．
（1）求B；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且c=1，求△ABC 面积的取值范围．
19．（12 分）
图1 是由矩形ADEB、Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB=1，
BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2 中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2 中的二面角B-CG-A 的大小.
20．（12 分）
已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）是否存在
，使得
在区间
的最小值为
且最大值为1？若存在，求出
的所有值；若不存在，说明理由.
21．已知曲线C：y=
，D 为直线y=
上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE
的面积.
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
如图，在极坐标系Ox 中，
，
，
，
，弧
，
，
所在圆的圆心分别是
，
，
，曲线
是弧
，曲线
是弧
，
曲线
是弧
.
（1）分别写出
，
，
的极坐标方程；
（2）曲线
由
，
，
构成，若点
在M 上，且
，求P 的极坐标.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
设
，且
.
（1）求
的最小值；
（2）若
成立，证明：
或
.
