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2019 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
第一部分（选择题 共40 分）
一、
选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。
(1)
（A）
（B）
（C）3
（D）5
（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（3）已知直线l 的参数方程为
（t 为参数），则点（1，0）
到直线l 的距离是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知椭圆
（a>b>0）的离心率为
，则
（A）a2=2b2.
（B）3a2=4b2.
（C）a=2b
（D）3a=4b
（5）若x ,y 满足
的最大值为
（A）-7 （B）1
（C）5 （D）7
（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足
m2−m1=5
2 lg E1
E2 ，其中星等为mk 的星的亮度为Ek （k=1,2）。已知太阳的星等
为-26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
（A）1010.1 （B）10.1
（C）lg10.1 （D）10−10.1
（7）设点A ,B,C 不共线，则“⃗AB 与⃗AC 的夹角是锐角”是“|⃗AB +⃗AC|>|⃗BC|”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C : x2+ y2=1+|x|y 就是其中之一
（如图）。给出下列三个结论：
① 曲线C 恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2 ;
③ 曲线C 所围城的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
（A）① （B）②
（C）①② （D）①②③
第二部分(非选择题共10 分)
二、填空题共6 小题,每小题5 分，共30 分。
(9) 函数
的最小正周期是 ________。
(10) 设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a2=-3，S5=-10,则a3= ________ . Sn 的最小值为
_______。
(11) 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。如果网格纸上小
正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________。
(12) 已知l、m 是平面a 外的两条不同直线.给出下列三个论断:
①l⊥m； ② m∥a； ③l⊥a
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题: ______ 。
(13) 设函数
(a 为常数)，若f(x)为奇函数,则a=______； 若f(x)是R 上的
增函数，则a 的取值范围是 ________。
(14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。
价格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行
促销：一次购买水果的总价达到120 元，顾客就少付x 元，每笔订单顾客网上支付成功后,
李明会得到支付款的80%。
①当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付 _______ 元：
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大
值为________ 。
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。。
（15）（本小题13 分）
在
中，
，
，
．
（Ⅰ）求b,c 的值；
（Ⅱ）求
的值。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角F-AE-P 的余弦值;
（Ⅲ）设点G 在PB 上，且
.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由.
（17）（本小题13 分）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要
支付方式之一。为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学
生中随机抽取了100 人，发现样本中A,B 两种支付方式都不使用的有5 人，样本仅使
用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A,B 两个支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2 人中上个月支
付金额大于1000 元的人数，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A 的学生中，随
机抽查3 人，发现他们本月的支付金额大于2000 元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用
A 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化？说明理由。
(18)
（本小题14 分）
已知抛物线C : x2=−2 py 经过点(2，-1)。
(I) 求抛物线C 的方程及其准线方程；
(II)
设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线l 交抛物线C 于两
点M，N，直线y=-1 分别交直线OM，ON 于点A 和点B，求证：以AB 为直径的圆
经过y 轴上的两上定点。
(19)
（本小题13 分）
已知函数
f ( x )= 1
4 x3−x2+x
。
(I) 求曲线y=f ( x )的斜率为1 的切线方程；
(II)
(III)
设
，记F( x)在区间[-2，4]上的
最大值为M(a)，当M(a)最小时，求a 的值。
(20)
（本小题13 分）
已知数列{an} ，从中选取第i1 项、第i2 项、… 、第im 项(i1 <i2<…<im) ，若
ai1<ai2¿⋯<aim ，则称新数列ai1，ai2，⋯，aim为{an}的长度为m 的递增子列。规
定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1 的递增子列。
(I) 写出数列1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为4 的递增子列；
(II)
已知数列{an}的长度为P 的递增子列的末项的最小值为
，长度为q 的
递增子列的末项的最小值为ano ，若p<q，求证：
；
(III)
设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若{an}的长度
为s 的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s 末项为2s-1 的递增子列恰有2s-1个
（s=1,2,…），求数列{an}的通项公式。
