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2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（5 分）设集合A＝{x|x2﹣5x+6＞0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣2，1）
C．（﹣3，﹣1）
D．（3，+∞）
2．（5 分）设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（5 分）已知
＝（2，3），
＝（3，t），|
|＝1，则
•
＝（ ）
A．﹣3
B．﹣2
C．2
D．3
4．
（5 分）2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航
天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与
探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地
月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为
M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力
定律，r 满足方程：
+
＝（R+r）
．
设α＝
．由于α 的值很小，因此在近似计算中
≈3α3，则r 的近似值为
（ ）
A．
R
B．
R
C．
R
D．
R
5．（5 分）演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个
原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效评分.7 个有效评分与9 个原始评
分相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
6．（5 分）若a＞b，则（ ）
A．ln（a﹣b）＞0
B．3a＜3b
C．a3﹣b3＞0
D．|a|＞|b|
7．（5 分）设α，β 为两个平面，则α∥β 的充要条件是（ ）
第1页（共23页）
A．α 内有无数条直线与β 平行
B．α 内有两条相交直线与β 平行
C．α，β 平行于同一条直线
D．α，β 垂直于同一平面
8．（5 分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆
+
＝1 的一个焦点，则p＝（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
9．（5 分）下列函数中，以
为周期且在区间（
，
）单调递增的是（ ）
A．f（x）＝|cos2x|
B．f（x）＝|sin2x|
C．f（x）＝cos|x|
D．f（x）＝sin|x|
10．（5 分）已知α∈（0，
），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）设F 为双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直
径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
12．
（5 分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．
若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣
，则m 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，
]
B．（﹣∞，
]
C．（﹣∞，
]
D．（﹣∞，
]
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的
正点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10 个车次的正点率为0.99，则经停该站
高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ．
14．（5 分）已知f（x）是奇函数，且当x＜0 时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝ ．
15．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝
，则△ABC 的
面积为 ．
16．（5 分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正
第2页（共23页）
方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多
面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图
2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方
体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1上，
BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE＝A1E，求二面角B﹣EC﹣C1的正弦值．
第3页（共23页）
18．（12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10：10 平后，每球交换发球权，
先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得
分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10
平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．
（1）求P（X＝2）；
（2）求事件“X＝4 且甲获胜”的概率．
19．（12 分）已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4．
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an﹣bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式．
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20．（12 分）已知函数f（x）＝lnx﹣
．
（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；
（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y＝lnx 在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝ex的
切线．
21．（12 分）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM 与BM 的斜率之积为﹣
．
记M 的轨迹为曲线C．
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P，Q 两点，点P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为E，连结QE
并延长交C 于点G．
（i）证明：△PQG 是直角三角形；
（ii）求△PQG 面积的最大值．
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（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ＝4sinθ 上，直线l 过
点A（4，0）且与OM 垂直，垂足为P．
（1）当θ0＝
时，求ρ0及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
（1）当a＝1 时，求不等式f（x）＜0 的解集；
（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a 的取值范围．
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2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（5 分）设集合A＝{x|x2﹣5x+6＞0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣2，1）
C．（﹣3，﹣1）
D．（3，+∞）
【分析】根据题意，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案．
【解答】解：根据题意，A＝{x|x2﹣5x+6＞0}＝{x|x＞3 或x＜2}，
B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，
则A∩B＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1）；
故选：A．
【点评】本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题．
2．（5 分）设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】求出z 的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可．
【解答】解：∵z＝﹣3+2i，
∴
，
∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查共轭复数的代数表示及其几何意义，属基础题．
3．（5 分）已知
＝（2，3），
＝（3，t），|
|＝1，则
•
＝（ ）
A．﹣3
B．﹣2
C．2
D．3
【分析】由
＝
先求出
的坐标，然后根据|
|＝1，可求t，结合向量数量积定义
的坐标表示即可求解．
【解答】解：∵
＝（2，3），
＝（3，t），
∴
＝
＝（1，t﹣3），
∵|
|＝1，
∴t﹣3＝0 即
＝（1，0），
则
•
＝2
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故选：C．
【点评】本题主要考查了向量数量积 的定义及性质的坐标表示，属于基础试题
4．
（5 分）2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航
天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与
探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地
月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为
M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力
定律，r 满足方程：
+
＝（R+r）
．
设α＝
．由于α 的值很小，因此在近似计算中
≈3α3，则r 的近似值为
（ ）
A．
R
B．
R
C．
R
D．
R
【分析】由α＝
．推导出
＝
≈3α3，由此能求出r＝αR＝
．
【解答】解：∵α＝
．∴r＝αR，
r 满足方程：
+
＝（R+r）
．
∴
＝
≈3α3，
∴r＝αR＝
．
故选：D．
【点评】本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考查
化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．
5．（5 分）演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个
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原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效评分.7 个有效评分与9 个原始评
分相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，从9 个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效评分，
7 个有效评分与9 个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，
故选：A．
【点评】本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义
以及计算方法，属于基础题．
6．（5 分）若a＞b，则（ ）
A．ln（a﹣b）＞0
B．3a＜3b
C．a3﹣b3＞0
D．|a|＞|b|
【分析】取a＝0，b＝﹣1，利用特殊值法可得正确选项．
【解答】解：取a＝0，b＝﹣1，则
ln（a﹣b）＝ln1＝0，排除A；
，排除B；
a3＝03＞（﹣1）3＝﹣1＝b3，故C 对；
|a|＝0＜|﹣1|＝1＝b，排除D．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可迅速得到正确选项，属基础题．
7．（5 分）设α，β 为两个平面，则α∥β 的充要条件是（ ）
A．α 内有无数条直线与β 平行
B．α 内有两条相交直线与β 平行
C．α，β 平行于同一条直线
D．α，β 垂直于同一平面
【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论
【解答】解：对于A，α 内有无数条直线与β 平行，α∩β 或α∥β；
对于B，α 内有两条相交直线与β 平行，α∥β；
对于C，α，β 平行于同一条直线，α∩β 或α∥β；
对于D，α，β 垂直于同一平面，α∩β 或α∥β．
故选：B．
【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础
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题．
8．（5 分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆
+
＝1 的一个焦点，则p＝（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．
【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（
）2，解得p＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．
9．（5 分）下列函数中，以
为周期且在区间（
，
）单调递增的是（ ）
A．f（x）＝|cos2x|
B．f（x）＝|sin2x|
C．f（x）＝cos|x|
D．f（x）＝sin|x|
【分析】根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解．
【解答】解：f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D 选项；
f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C 选项；
f（x）＝|sin2x|在
处取得最大值，不可能在区间（
，
）单调递增，可排除B．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属
于基础题．
10．（5 分）已知α∈（0，
），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sinαcosα＝2cos2α，结合角的范围可求
sinα＞0，cosα＞0，可得cosα＝2sinα，根据同角三角函数基本关系式即可解得sinα 的值．
【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，
∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，
∵α∈（0，
），sinα＞0，cosα＞0，
∴cosα＝2sinα，
∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，
第10页（共23页）
∴解得：sinα＝
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化
简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11．（5 分）设F 为双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直
径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C 的离心率．
【解答】解：如图，
由题意，把x＝
代入x2+y2＝a2，得PQ＝
，
再由|PQ|＝|OF|，得
，即2a2＝c2，
∴
，解得e＝
．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
12．
（5 分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．
若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣
，则m 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，
]
B．（﹣∞，
]
C．（﹣∞，
]
D．（﹣∞，
]
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【分析】因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），分段求解析式，结合图象可得．
【解答】解：因为f （x+1 ）＝2f （x ），∴f （x ）＝2f （x﹣1 ），
∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[﹣
，0]，
∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[﹣
，0]；
∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，
当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）＝﹣
解得x＝
或x＝
，
若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣
，则m≤
．
故选：B．
【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的
正点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10 个车次的正点率为0.99，则经停该站
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高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
0.98
．
【分析】利用加权平均数公式直接求解．
【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97，
有20 个车次的正点率为0.98，有10 个车次的正点率为0.99，
∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：
＝
（10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98．
故答案为：0.98．
【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平
均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5 分）已知f（x）是奇函数，且当x＜0 时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝ ﹣
3
．
【分析】奇函数的定义结合对数的运算可得结果
【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，
又∵当x＜0 时，f（x）＝﹣eax，
∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，
∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题．
15．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝
，则△ABC 的
面积为
．
【分析】利用余弦定理得到c2，然后根据面积公式S△ABC＝
acsinB＝c2sinB 求出结果即可．
【解答】解：由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2accosB，
∵b＝6，a＝2c，B＝
，
∴36＝（2c）2+c2﹣4c2cos
，
∴c2＝12，
∴S△ABC＝
，
故答案为：6
．
【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．
第13页（共23页）
16．（5 分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正
方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多
面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图
2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方
体的棱长为1．则该半正多面体共有
26
个面，其棱长为
﹣
1
．
【分析】中间层是一个正八棱柱，有8 个侧面，上层是有8+1，个面，下层也有8+1 个面，故
共有26 个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45°＝
倍．
【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+2＝26 个面，设其棱长为x，则x+
x+
x＝1，解
得x＝
﹣1．
故答案为：26，
﹣1．
【点评】本题考查了球内接多面体，属中档题．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1上，
BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE＝A1E，求二面角B﹣EC﹣C1的正弦值．
第14页（共23页）
【分析】（1）推导出B1C1⊥BE，BE⊥EC1，由此能证明BE⊥平面EB1C1．
（2）以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EC
﹣C1的正弦值．
【解答】证明：（1）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面ABA1B1，
∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1，
∴BE⊥平面EB1C1．
解：（2）以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AE＝A1E＝1，∵BE⊥平面EB1C1，∴BE⊥EB1，∴AB＝1，
则E（1，1，1），A（1，1，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2），C（0，0，0），
∵BC⊥EB1，∴EB1⊥面EBC，
故取平面EBC 的法向量为＝
＝（﹣1，0，1），
设平面ECC1 的法向量＝（x，y，z），
由
，得
，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），
∴cos＜
＞＝
＝﹣
，
∴二面角B﹣EC﹣C1的正弦值为
．
第15页（共23页）
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
18．（12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10：10 平后，每球交换发球权，
先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得
分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10
平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．
（1）求P（X＝2）；
（2）求事件“X＝4 且甲获胜”的概率．
【分析】（1）设双方10：10 平后的第k 个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，3，…），则P（X＝2）
＝P（A1A2）+P（
）＝P（A1）P（A2）+P（
）P（
），由此能求出结果．
（2）P（X＝4 且甲获胜）＝P（
A2A3A4）+P（
）＝P（
）P（A2）P（A3）P（A4）+P
（A1）P（
）P（A3）P（A4），由此能求出事件“X＝4 且甲获胜”的概率．
【解答】解：（1）设双方10：10 平后的第k 个球甲获胜为事件Ak（k＝1，2，3，…），
则P（X＝2）＝P（A1A2）+P（
）
＝P（A1）P（A2）+P（
）P（
）
＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．
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（2）P（X＝4 且甲获胜）＝P（
A2A3A4）+P（
）
＝P（
）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（
）P（A3）P（A4）
＝（0.5×0.4+0.5×0.6）×0.5×0.4＝0.1．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能
力与计算能力，是中档题．
19．（12 分）已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4．
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an﹣bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式．
【分析】（1）定义法证明即可；
（2）由（1）结合等差、等比的通项公式可得
【解答】解：（1）证明：∵4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4；
∴4（an+1+bn+1）＝2（an+bn），4（an+1﹣bn+1）＝4（an﹣bn）+8；
即an+1+bn+1＝
（an+bn），an+1﹣bn+1＝an﹣bn+2；
又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，
∴{an+bn}是首项为1，公比为
的等比数列，
{an﹣bn}是首项为1，公差为2 的等差数列；
（2）由（1）可得：an+bn＝（
）n﹣1，
an﹣bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
∴an＝（
）n+n﹣
，
bn＝（
）n﹣n+
．
【点评】本题考查了等差、等比数列的定义和通项公式，是基础题
20．（12 分）已知函数f（x）＝lnx﹣
．
（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；
（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y＝lnx 在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝ex的
切线．
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【分析】（1）讨论f（x）的单调性，求函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求零点
个数，
（2）运用曲线的切线方程定义可证明．
【解答】解析：（1）函数f（x）＝lnx﹣
．定义域为：（0，1）∪（1，+∞）；
f′（x）＝
+
＞0，（x＞0 且x≠1），
∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，
①在（0，1）区间取值有
，
代入函数，由函数零点的定义得，
∵f（
）＜0，f（
）＞0，f（
）•f（
）＜0，
∴f（x）在（0，1）有且仅有一个零点，
②在（1，+∞）区间，区间取值有e，e2代入函数，由函数零点的定义得，
又∵f（e）＜0，f（e2）＞0，f（e）•f（e2）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，
故f（x）在定义域内有且仅有两个零点；
（2）x0是f（x）的一个零点，则有lnx0＝
，
曲线y＝lnx，则有y′＝
；
曲线y＝lnx 在点A（x0，lnx0）处的切线方程为：y﹣lnx0＝
（x﹣x0）
即：y＝
x﹣1+lnx0
即：y＝
x+
而曲线y＝ex的切线在点（ln
，
）处的切线方程为：y﹣
＝
（x﹣ln
），
即：y＝
x+
，故曲线y＝lnx 在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝ex的切线．
故得证．
【点评】本题考查f（x）的单调性，函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求零点个
数，以及利用曲线的切线方程定义证明．
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21．（12 分）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM 与BM 的斜率之积为﹣
．
记M 的轨迹为曲线C．
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P，Q 两点，点P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为E，连结QE
并延长交C 于点G．
（i）证明：△PQG 是直角三角形；
（ii）求△PQG 面积的最大值．
【分析】（1）利用直接法不难得到方程；
（2）（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），E（x0，0），利用直线QE 的方程与椭圆方程联立求
得G 点坐标，去证PQ，PG 斜率之积为﹣1；
（ii）利用S＝
，代入已得数据，并对
换元，利用“对号”函数
可得最值．
【解答】解：（1）由题意得
，
整理得曲线C 的方程：
，
∴曲线C 是焦点在x 轴上不含长轴端点的椭圆；
（2）
（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），
E（x0，0），G（xG，yG），
∴直线QE 的方程为：
，
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与
联立消去y，
得
，
∴
，
∴
，
∴
＝
，
∴
＝
＝
＝
，
把
代入上式，
得kPG＝
＝
第20页（共23页）
＝﹣
，
∴kPQ×kPG＝
＝﹣1，
∴PQ⊥PG，
故△PQG 为直角三角形；
（ii）S△PQG＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
第21页（共23页）
令t＝
，则t≥2，
S△PQG＝
＝
利用“对号”函数f（t）＝2t+
在[2，+∞）的单调性可知，
f（t）
（t＝2 时取等号），
∴
＝
（此时
），
故△PQG 面积的最大值为
．
【点评】此题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考查尤
为突出，难度大．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ＝4sinθ 上，直线l 过
点A（4，0）且与OM 垂直，垂足为P．
（1）当θ0＝
时，求ρ0及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．
【分析】（1）把θ0＝
直接代入ρ＝4sinθ 即可求得ρ0，在直线l 上任取一点（ρ，θ），利用
三角形中点边角关系即可求得l 的极坐标方程；
（2）设P（ρ，θ），在Rt△OAP 中，根据边与角的关系得答案．
【解答】解：（1）当θ0＝
时，
，
在直线l 上任取一点（ρ，θ），则有
，
故l 的极坐标方程为有
；
第22页（共23页）
（2）设P（ρ，θ），则在Rt△OAP 中，有ρ＝4cosθ，
∵P 在线段OM 上，∴θ∈[
，
]，
故P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈[
，
]．
【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程及其应用，画图能够起到事半功倍的作用，是基
础题．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
（1）当a＝1 时，求不等式f（x）＜0 的解集；
（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a 的取值范围．
【分析】（1）将a＝1 代入得f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），然后分x＜1 和x≥1 两种情况讨
论f（x）＜0 即可；
（2）根据条件分a≥1 和a＜1 两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）当a＝1 时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），
∵f（x）＜0，∴当x＜1 时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；
当x≥1 时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0 恒成立，∴x∈∅；
综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；
（2）当a≥1 时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0 在x∈（﹣∞，1）上恒成立；
当a＜1 时，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满足题意，
∴a 的取值范围为：[1，+∞）
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题．
第23页（共23页）
