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2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜3}
B．{x|﹣4＜x＜﹣2}
C．{x|﹣2＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}
2．（5 分）设复数z 满足|z﹣i|＝1，z 在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A．（x+1）2+y2＝1
B．（x﹣1）2+y2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1
D．x2+（y+1）2＝1
3．（5 分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
4．（5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最
美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个
黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
A．165cm
B．175cm
C．185cm
D．190cm
5．（5 分）函数f（x）＝
在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
第1页（共28页）
C．
D．
6．（5 分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6
个爻组成，爻分为阳爻“
”和阴爻“
”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取
一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）已知非零向量，满足| |＝2| |，且（﹣）⊥，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A．A＝
B．A＝2+
C．A＝
D．A＝1+
9．（5 分）记Sn为等差数列{an}的前n 项和．已知S4＝0，a5＝5，则（ ）
A．an＝2n﹣5
B．an＝3n﹣10
C．Sn＝2n2﹣8n
D．Sn＝
n2﹣2n
第2页（共28页）
10．（5 分）已知椭圆C 的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C 交于A，B 两点．若|
AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C 的方程为（ ）
A．
+y2＝1
B．
+
＝1
C．
+
＝1
D．
+
＝1
11．（5 分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数
②f（x）在区间（
，π）单调递增
③f（x）在[﹣π，π]有4 个零点
④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
12．（5 分）已知三棱锥P﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC 是边长为
2 的正三角形，E，F 分别是PA，AB 的中点，∠CEF＝90°，则球O 的体积为（ ）
A．8
π
B．4
π
C．2
π
D．
π
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为 ．
14．（5 分）记Sn为等比数列{an}的前n 项和．若a1＝
，a4
2＝a6，则S5＝ ．
15．（5 分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决
赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主
场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1 获
胜的概率是 ．
16．（5 分）已知双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线
与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若
＝
，
•
＝0，则C 的离心率为
．
第3页（共28页）
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin
C．
（1）求A；
（2）若
a+b＝2c，求sinC．
18．（12 分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，
E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A﹣MA1﹣N 的正弦值．
第4页（共28页）
19．（12 分）已知抛物线C：y2＝3x 的焦点为F，斜率为
的直线l 与C 的交点为A，B，与x 轴
的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l 的方程；
（2）若
＝3
，求|AB|．
20．（12 分）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：
（1）f′（x）在区间（﹣1，
）存在唯一极大值点；
（2）f（x）有且仅有2 个零点．
第5页（共28页）
21．（12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动
物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机
选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中
一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药
更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的
白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得﹣1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治
愈则乙药得1 分，甲药得﹣1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的
治愈率分别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i
时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api﹣1+bpi+cpi+1（i＝1，
2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．
（i）证明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；
（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
第6页（共28页）
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
（t 为参数）．以坐标原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+
ρsinθ+11＝0．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知a，b，c 为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）
+
+
≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
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2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜3}
B．{x|﹣4＜x＜﹣2}
C．{x|﹣2＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}
【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．
【解答】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．
2．（5 分）设复数z 满足|z﹣i|＝1，z 在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A．（x+1）2+y2＝1
B．（x﹣1）2+y2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1
D．x2+（y+1）2＝1
【分析】由z 在复平面内对应的点为（x，y），可得z＝x+yi，然后根据|z﹣i|＝1 即可得解．
【解答】解：∵z 在复平面内对应的点为（x，y），
∴z＝x+yi，
∴z﹣i＝x+（y﹣1）i，
∴|z﹣i|＝
，
∴x2+（y﹣1）2＝1，
故选：C．
【点评】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属基
础题．
3．（5 分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
【分析】由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，从而得出
a，b，c 的大小关系．
【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，
b＝20.2＞20＝1，
第8页（共28页）
∵0＜0.20.3＜0.20＝1，
∴c＝0.20.3∈（0，1），
∴a＜c＜b，
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题．
4．（5 分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最
美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个
黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
A．165cm
B．175cm
C．185cm
D．190cm
【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．
【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，
说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是
≈0.618，
可得咽喉至肚脐的长度小于
≈42cm，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
，
可得肚脐至足底的长度小于
＝110，
即有该人的身高小于110+68＝178cm，
又肚脐至足底的长度大于105cm，
可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
第9页（共28页）
即该人的身高大于65+105＝170cm，
故选：B．
【点评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
5．（5 分）函数f（x）＝
在[﹣π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（π），判断正负即可排除B，
C．
【解答】解：∵f（x）＝
，x∈[﹣π，π]，
∴f（﹣x）＝
＝﹣
＝﹣f（x），
∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；
又f（
）＝
，因此排除B，C；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．
6．（5 分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6
个爻组成，爻分为阳爻“
”和阴爻“
”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取
一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
第10页（共28页）
【分析】基本事件总数n＝26＝64，该重卦恰有3 个阳爻包含的基本个数m＝
＝20，
由此能求出该重卦恰有3 个阳爻的概率．
【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，
基本事件总数n＝26＝64，
该重卦恰有3 个阳爻包含的基本个数m＝
＝20，
则该重卦恰有3 个阳爻的概率p＝
＝
＝
．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
7．（5 分）已知非零向量，满足| |＝2| |，且（﹣）⊥，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由（﹣）⊥，可得
，进一步得到
，
然后求出夹角即可．
【解答】解：∵（﹣）⊥，
∴
＝
，
∴
＝
＝
，
∵
，
∴
．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．
第11页（共28页）
8．（5 分）如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A．A＝
B．A＝2+
C．A＝
D．A＝1+
【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A 的值，观察规律即可得解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
A＝
，k＝1；
满足条件k≤2，执行循环体，A＝
，k＝2；
满足条件k≤2，执行循环体，A＝
，k＝3；
此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A 的值为
，
观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入A＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出
正确的结论，是基础题．
第12页（共28页）
9．（5 分）记Sn为等差数列{an}的前n 项和．已知S4＝0，a5＝5，则（ ）
A．an＝2n﹣5
B．an＝3n﹣10
C．Sn＝2n2﹣8n
D．Sn＝
n2﹣2n
【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，则有
，求出首项和公差，然后
求出通项公式和前n 项和即可．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
由S4＝0，a5＝5，得
，∴
，
∴an＝2n﹣5，
，
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式，关键是求出等差数列的公差以
及首项，属于基础题．
10．（5 分）已知椭圆C 的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C 交于A，B 两点．若|
AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C 的方程为（ ）
A．
+y2＝1
B．
+
＝1
C．
+
＝1
D．
+
＝1
【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a＝
，b＝
，可得椭圆的方程．
【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，
又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，
又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝
，
∴|AF2|＝a，|BF1|＝
a，
∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，
第13页（共28页）
∴|AF1|＝|AF2|，∴A 在y 轴上．
在Rt△AF2O 中，cos∠AF2O＝
，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝
，
根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得
+
＝0，解得a2＝3，∴a＝
．
b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．
所以椭圆C 的方程为：
+
＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．
11．（5 分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数
②f（x）在区间（
，π）单调递增
③f（x）在[﹣π，π]有4 个零点
④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正
第14页（共28页）
确，
当x∈（
，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，
则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx 为减函数，故②错误，
当0≤x≤π 时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx，
由f（x）＝0 得2sinx＝0 得x＝0 或x＝π，
由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3 个零点，
故③错误，
当sin|x|＝1，|sinx|＝1 时，f（x）取得最大值2，故④正确，
故正确是①④，
故选：C．
【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三
角函数的性质是解决本题的关键．
12．（5 分）已知三棱锥P﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC 是边长为
2 的正三角形，E，F 分别是PA，AB 的中点，∠CEF＝90°，则球O 的体积为（ ）
A．8
π
B．4
π
C．2
π
D．
π
【分析】由题意画出图形，证明三棱锥P﹣ABC 为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再
由补形法求外接球球O 的体积．
【解答】解：如图，
第15页（共28页）
由PA＝PB＝PC，△ABC 是边长为2 的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC 为正三棱锥，
则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心，连接BO 并延长，交AC 于G，
则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，
∵E，F 分别是PA，AB 的中点，∴EF∥PB，
又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，
∴正三棱锥P﹣ABC 的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为D＝
．
半径为
，则球O 的体积为
．
故选：D．
【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能
力，是中档题．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为
y ＝
3 x
．
【分析】对y＝3（x2+x）ex求导，可将x＝0 代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．
【解答】解：∵y＝3（x2+x）ex，
∴y'＝3ex（x2+3x+1），
∴当x＝0 时，y'＝3，
∴y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k＝3，
∴切线方程为：y＝3x．
故答案为：y＝3x．
【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题
关键，属基础题．
14．（5 分）记Sn为等比数列{an}的前n 项和．若a1＝
，a4
2＝a6，则S5＝
．
【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程求出q 的值，结合等比数列的前n 项和公式进
行计算即可．
【解答】解：在等比数列中，由a4
2＝a6，得q6a1
2＝q5a1＞0，
即q＞0，q＝3，
第16页（共28页）
则S5＝
＝
，
故答案为：
【点评】本题主要考查等比数列前n 项和的计算，结合条件建立方程组求出q 是解决本题
的关键．
15．（5 分）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决
赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主
场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1 获
胜的概率是
0.18
．
【分析】甲队以4：1 获胜包含的情况有：①前5 场比赛中，第一场负，另外4 场全胜，②前
5 场比赛中，第二场负，另外4 场全胜，③前5 场比赛中，第三场负，另外4 场全胜，④前5
场比赛中，第四场负，另外4 场全胜，由此能求出甲队以4：1 获胜的概率．
【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
甲队以4：1 获胜包含的情况有：
①前5 场比赛中，第一场负，另外4 场全胜，其概率为：p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，
②前5 场比赛中，第二场负，另外4 场全胜，其概率为：p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，
③前5 场比赛中，第三场负，另外4 场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，
④前5 场比赛中，第四场负，另外4 场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，
则甲队以4：1 获胜的概率为：
p＝p1+p2+p3+p4＝0.036+0.036+0.054+0.054＝0.18．
故答案为：0.18．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求
解能力，是基础题．
16．（5 分）已知双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线
与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若
＝
，
•
＝0，则C 的离心率为
2
．
第17页（共28页）
【分析】由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B 的方程，与y＝
联立求得B
点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．
【解答】解：如图，
∵
＝
，且
•
＝0，∴OA⊥F1B，
则F1B：y＝
，
联立
，解得B（
，
），
则
，
整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，
∴
，e＝
．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中
档题．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin
C．
（1）求A；
第18页（共28页）
（2）若
a+b＝2c，求sinC．
【分析】（1）由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，再由余弦定理能求出A．
（2）由已知及正弦定理可得：sin（C﹣
）＝
，可解得C 的值，由两角和的正弦函数公
式即可得解．
【解答】解：（1）∵△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin C．
则sin2B+sin2C﹣2sinBsinC＝sin2A﹣sinBsinC，
∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，
∴cosA＝
＝
＝
，
∵0＜A＜π，∴A＝
．
（2）∵
a+b＝2c，A＝
，
∴由正弦定理得
，
∴
解得sin（C﹣
）＝
，∴C﹣
＝
，C＝
，
∴sinC＝sin（
）＝sin
cos
+cos
sin
＝
+
＝
．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属
于中档题．
18．（12 分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，
E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A﹣MA1﹣N 的正弦值．
第19页（共28页）
【分析】（1）过N 作NH⊥AD，证明NM∥BH，再证明BH∥DE，可得NM∥DE，再由线面
平行的判定可得MN∥平面C1DE；
（2）以D 为坐标原点，以垂直于DC 得直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD1所在直
线为z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A1MN 与平面MAA1的一个法向量，由两法
向量所成角的余弦值可得二面角A﹣MA1﹣N 的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，过N 作NH⊥AD，则NH∥AA1，且
，
又MB∥AA1，MB＝
，∴四边形NMBH 为平行四边形，则NM∥BH，
由NH∥AA1，N 为A1D 中点，得H 为AD 中点，而E 为BC 中点，
∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH 为平行四边形，则BH∥DE，
∴NM∥DE，
∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE；
（2）解：以D 为坐标原点，以垂直于DC 得直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD1所
在直线为z 轴建立空间直角坐标系，
则N（
，
，2），M（
，1，2），A1（
，﹣1，4），
，
，
设平面A1MN 的一个法向量为
，
第20页（共28页）
由
，取x＝
，得
，
又平面MAA1的一个法向量为
，
∴cos＜
＞＝
＝
＝
．
∴二面角A﹣MA1﹣N 的正弦值为
．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空
间向量求解空间角，是中档题．
19．（12 分）已知抛物线C：y2＝3x 的焦点为F，斜率为
的直线l 与C 的交点为A，B，与x 轴
的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l 的方程；
（2）若
＝3
，求|AB|．
【分析】（1）根据韦达定理以及抛物线的定义可得．
（2）若
＝3
，则y1＝﹣3y2，⇒x1＝﹣3x2+4t，再结合韦达定理可解得t＝1，x1＝3，x2＝
，再用弦长公式可得．
第21页（共28页）
【解答】解：（1）设直线l 的方程为y＝（x﹣t），将其代入抛物线y2＝3x 得：x2﹣（
t+3）
x+
t2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝
＝2t+
，①，x1x2＝t2②，
由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝2t+
+
＝4，解得t＝
，
直线l 的方程为y＝
x﹣
．
（2）若
＝3
，则y1＝﹣3y2，∴（x1﹣t）＝﹣3× （x2﹣t），化简得x1＝﹣3x2+4t，③
由①②③解得t＝1，x1＝3，x2＝
，
∴|AB|＝
＝
．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．
20．（12 分）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：
（1）f′（x）在区间（﹣1，
）存在唯一极大值点；
（2）f（x）有且仅有2 个零点．
【分析】（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），求出原函数的导函数，进一步求导，得到f″（x）
在（﹣1，
）上为减函数，结合f″（0）＝1，f″（
）＝﹣1+
＜﹣1+1＝0，由零
点存在定理可知，函数f″（x）在（﹣1，
）上存在唯一得零点x0，结合单调性可得，f′
（x）在（﹣1，x0）上单调递增，在（x0，
）上单调递减，可得f′（x）在区间（﹣1，
）存在
唯一极大值点；
（2）由（1）知，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f
第22页（共28页）
（x）单调递增；由于f′（x）在（x0，
）上单调递减，且f′（x0）＞0，f′（
）＜0，可得函
数f′（x）在（x0，
）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，当x∈（x0，x1）时，f（x）单调递
增；当x∈（
）时，f（x）单调递减．当x∈（
，π）时，f（x）单调递减，再由f（
）＞
0，f（π）＜0．然后列x，f′（x）与f（x）的变化情况表得答案．
【解答】证明：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
f′（x）＝cosx
，f″（x）＝﹣sinx+
，
令g（x）＝﹣sinx+
，则g′（x）＝﹣cosx
＜0 在（﹣1，
）恒成立，
∴f″（x）在（﹣1，
）上为减函数，
又∵f″（0）＝1，f″（
）＝﹣1+
＜﹣1+1＝0，由零点存在定理可知，
函数f″（x）在（﹣1，
）上存在唯一的零点x0，结合单调性可得，f′（x）在（﹣1，x0）上单
调递增，
在（x0，
）上单调递减，可得f′（x）在区间（﹣1，
）存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＜f′（0）＝0，f（x）单调递减；
当x∈（0，x0）时，f′（x）单调递增，f′（x）＞f′（0）＝0，f（x）单调递增；
由于f′（x）在（x0，
）上单调递减，且f′（x0）＞0，f′（
）＝
＜0，
由零点存在定理可知，函数f′（x）在（x0，
）上存在唯一零点x1，结合单调性可知，
当x∈（x0，x1）时，f′（x）单调递减，f′（x）＞f′（x1）＝0，f（x）单调递增；
当x∈（
）时，f′（x）单调递减，f′（x）＜f′（x1）＝0，f（x）单调递减．
当x∈（
，π）时，cosx＜0，﹣
＜0，于是f′（x）＝cosx﹣
＜0，f（x）单调递减，
第23页（共28页）
其中f（
）＝1﹣ln（1+
）＞1﹣ln（1+
）＝1﹣ln2.6＞1﹣lne＝0，
f（π）＝﹣ln（1+π）＜﹣ln3＜0．
于是可得下表：
x
（﹣1，0）
0
（0，x1）
x1
（
）
（
）
π
f´（x）
﹣
0
+
0
﹣
﹣
﹣
﹣
f（x）单调递减
0
单调递增
大于0
单调递减
大于0
单调递减
小于0
结合单调性可知，函数f（x）在（﹣1，
]上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，f（x）在（
，π）上有且只有一个零点x2，
当x∈[π，+∞）时，f（x）＝sinx﹣ln（1+x）＜1﹣ln（1+π）＜1﹣ln3＜0，因此函数f（x）在[π，
+∞）上无零点．
综上，f（x）有且仅有2 个零点．
【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，
考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．
21．（12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动
物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机
选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中
一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药
更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的
白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得﹣1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治
愈则乙药得1 分，甲药得﹣1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的
治愈率分别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i
时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api﹣1+bpi+cpi+1（i＝1，
2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．
（i）证明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；
（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
【分析】（1）由题意可得X 的所有可能取值为﹣1，0，1，再由相互独立试验的概率求P（X
第24页（共28页）
＝﹣1），P（X＝0），P（X＝1）的值，则X 的分布列可求；
（2）（i）由α＝0.5，β＝0.8 结合（1）求得a，b，c 的值，代入pi＝api﹣1+bpi+cpi+1，得到（pi+1﹣
pi）＝4（pi﹣pi﹣1），由p1﹣p0＝p1≠0，可得{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为
p1的等比数列；
（ii）由（i）可得，p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0，利用等比数列的前n 项和与p8
＝1，得p1＝
，进一步求得p4＝
．P4表示最终认为甲药更有效的概率，结合α＝
0.5，β＝0.8，可得在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8 时，认为甲药更有效的概率为
，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
【解答】（1）解：X 的所有可能取值为﹣1，0，1．
P（X＝﹣1）＝（1﹣α）β，P（X＝0）＝αβ+（1﹣α）（1﹣β），P（X＝1）＝α（1﹣β），
∴X 的分布列为：
X
﹣1
0
1
P
（1﹣α）β
αβ+（1﹣α）（1﹣β）
α（1﹣β）
（2）（i）证明：∵α＝0.5，β＝0.8，
∴由（1）得，a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1．
因此pi＝0.4pi﹣1+0.5pi+0.1pi+1（i＝1，2，…，7），
故0.1（pi+1﹣pi）＝0.4（pi﹣pi﹣1），即（pi+1﹣pi）＝4（pi﹣pi﹣1），
又∵p1﹣p0＝p1≠0，∴{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p1的等比数列；
（ii）解：由（i）可得，
p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0＝
，
∵p8＝1，∴p1＝
，
∴P4＝（p4﹣p3）+（p3﹣p2）+（p2﹣p1）+（p1﹣p0）+p0＝
p1＝
．
P4表示最终认为甲药更有效的概率．
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8 时，认为甲药更有效的概率
为
，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
第25页（共28页）
【点评】本题是函数与数列的综合题，主要考查数列和函数的应用，考查离散型随机变量
的分布列，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
（t 为参数）．以坐标原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ+
ρsinθ+11＝0．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
【分析】（1）把曲线C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代
入2ρcosθ+
ρsinθ+11＝0，可得直线l 的直角坐标方程；
（2）法一、设出椭圆上动点的坐标（参数形式），再由点到直线的距离公式写出距离，利用
三角函数求最值；
法二、写出与直线l 平行的直线方程为
，与曲线C 联立，化为关于x 的一元
二次方程，利用判别式大于0 求得m，转化为两平行线间的距离求C 上的点到l 距离的最
小值．
【解答】解：（1）由
（t 为参数），得
，
两式平方相加，得
（x≠﹣1），
∴C 的直角坐标方程为
（x≠﹣1），
由2ρcosθ+
ρsinθ+11＝0，得
．
即直线l 的直角坐标方程为得
；
第26页（共28页）
（2）法一、设C 上的点P（cosθ，2sinθ）（θ≠π），
则P 到直线得
的距离为：
d＝
＝
．
∴当sin（θ+φ）＝﹣1 时，d 有最小值为
．
法二、设与直线
平行的直线方程为
，
联立
，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．
由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．
∴当m＝4 时，直线
与曲线C 的切点到直线
的距离最小，为
．
【点评】本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位
置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知a，b，c 为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）
+
+
≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
【分析】（1）利用基本不等式和1 的运用可证，（2）分析法和综合法的证明方法可证．
【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c 为正数，且满足abc＝1．
要证（1）
+
+
≤a2+b2+c2；因为abc＝1．
就要证：
+
+
≤a2+b2+c2；
即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；
即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；
∵a，b，c 为正数，且满足abc＝1．
∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0 恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1 时取等号．
第27页（共28页）
即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0 得证．
故
+
+
≤a2+b2+c2得证．
（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24 成立；
即：已知a，b，c 为正数，且满足abc＝1．
（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；
（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；
当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1 时取等号；
∵a，b，c 为正数，且满足abc＝1．
（a+b）≥2
；（b+c）≥2
；（c+a）≥2
；
当且仅当a＝b，b＝c；c＝a 时取等号；即：a＝b＝c＝1 时取等号；
∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8
•
•
＝24abc＝24；
当且仅当a＝b＝c＝1 时取等号；
故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．
故得证．
【点评】本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法．
第28页（共28页）
