文档文本内容
2019 年上海市春季高考数学试卷
2019.01
一. 填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1~6 题每题4 分，第7~12 题每题5 分）
1. 已知集合
，
，则
2. 计算：
3. 不等式
的解集为
4. 函数
的反函数为
5. 设为虚数单位，
，则
的值为
6. 已知二元线性方程组
有无穷多解，则实数
7. 在
的二项展开式中，常数项的值为
8. 在
中，
，
，且
，则
9. 首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4 人参与连续5 天的志愿者活动，其
中甲连续参加2 天，其余每人各参加1 天，问有多少种不同的安排种数
（结果用数值表示）
10. 如图，正方形OABC 的边长为a
，函数
交
AB 于点Q，函数
与BC 交于点P，当
最小时，
的值为
11. 已知P 为椭圆
上任意一点，Q 与P 关于x 轴
对称，
、
为椭圆的左右焦点，若有
，则向
量
与
的夹角范围为
12. 已知
，集合
，
，若存在正数
，对任意
，
都有
，则的值为
二. 选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分）
13. 下列函数中，值域为
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
14. 已知
、
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
15. 已知平面
、
、
两两垂直，直线a、b、c 满足：
，
，
，则直线
a、b、c 不可能是（ ）
A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面
16. 平面直角坐标系中，两动圆
、
的圆心分别为
、
，且两圆均过定点
，
两圆与y 轴正半轴分别交于点
、
，若
，点
的轨迹为
，
则
所在的曲线可能是（ ）
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
三. 解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18=76 分）
17. 如图，正三棱锥
中，侧棱长为2，底面边长为
，M、N 分别是PB 和BC 的
中点.
（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小；
（2）求三棱锥
的体积.
18. 已知数列
中，
，前n 项和为
.
（1）若
为等差数列，且
，求
；
（2）若
为等比数列，且
，求公比q 的取值范围.
19. 改革开放40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍. 卫生总费用
包
括个人现在支出、社会支出、政府支出，下表为2012 年~2015 年我国卫生费用中个人现金
支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.
年份
卫生总费
用
（亿元）
个人现金卫生支出
社会卫生支出
政府卫生支出
绝对数
（亿元）
占卫生总费
用比重
（%）
绝对数
（亿元）
占卫生总费
用比重
（%）
绝对数
（亿元）
占卫生总费
用比重
（%）
2012
28119.00
9656.32
A
10030.70
35.67
8431.98
29.99
2013
31668.95
10729.34
33.88
11393.79
35.98
9545.81
30.14
2014
35312.40
B
31.99
13437.75
38.05
10579.23
29.96
2015
40974.64
11992.65
29.27
16506.71
40.29
12475.28
30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）计算A、B 的数据，并指出2012 年到2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占
比和社会支出占比的变化趋势；
（2）设
表示1978 年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数
，
研究函数
的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12 万亿的年份.
20. 已知抛物线
，F 为焦点，P 为准线l 上一动点，线段PF 与抛物线交于点Q，
定义
.
（1）若点P 坐标为
，求
；
（2）求证：存在常数
，使得
恒成立；
（3）设
、
、
为准线上的三点，且
，试比较
与
的大小.
21. 若
是等差数列，公差
，数列
满足：
，
，
记
.
（1）设
，
，求集合
；
（2）设
，试求
的值，使得集合
恰有两个元素；
（3）若集合
恰有三个元素，且
，其中
为不超过7 的正整数，求
所有可能
值.
参考答案
一. 填空题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
或1
二. 选择题
13. B 14. C 15. B 16. A
三. 解答题
17.（1）
；（2）
.
18.（1）
；（2）
.
19.（1）
，
，个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多；
（2）单调递增，
，2028 年首次超过12 万亿.
20.（1）
；（2）
；（3）
.
21.（1）
；（2）
或
；（3）3、4、5、6.
