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2019 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）
本试卷共5 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=
（A）（–1，1）
（B）（1，2）
（C）（–1，+∞）
（
D
）
（1，+∞）
（2）已知复数z=2+i，则
（A）
（B）
（C）3
（D）5
（3）下列函数中，在区间（0，+
）上单调递增的是
（A）
（B）y=
（C）
（D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（5）已知双曲线
（a>0）的离心率是
，则a=
（A）
（B）4
（C）2
（D）
（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为
的星的亮度为
（k=1,2）．已知太阳的星等是–
26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
（A）1010.1
（B）10.1
（C）lg10.1
（D）
（8）如图，A，B 是半径为2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，
是锐角，大小
为β.图中阴影区域的面积的最大值为
（A）4β+4cosβ
（B）4β+4sinβ
（C）2β+2cosβ
（D）2β+2sinβ
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
（9）已知向量
=（–4，3），
=（6，m），且
，则m=__________．
（10 ）若x ，y 满足
则
的最小值为__________ ，最大值为
__________．
（11）设抛物线y2=4x 的焦点为F，准线为l．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为
__________．
（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上
小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
（13）已知l，m 是平面
外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥
；③l⊥
．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
__________．
（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，
价格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水
果进行促销：一次购买水果的总价达到120 元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上
支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x
的最大值为__________．
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13 分）
在△ABC 中，a=3，
，cosB=
．
（Ⅰ）求b，c 的值；
（Ⅱ）求sin（B+C）的值．
（16）（本小题13 分）
设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n 项和为Sn，求Sn的最小值．
（17）（本小题12 分）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付
方式之一．为了解某校学生上个月A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的
1000 名学生中随机抽取了100 人，发现样本中A，B 两种支付方式都不使用的有5 人，
样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额
支付方式
不大于2 000 元
大于2 000 元
仅使用A
27 人
3 人
仅使用B
24 人
1 人
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1 人，求该学生上个月支付金额大于2 000
元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中
随机抽查1 人，发现他本月的支付金额大于2 000 元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为
样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化？说明理由．
（18）（本小题14 分）
如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
（19）（本小题14 分）
已知椭圆
的右焦点为
，且经过点
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设O 为原点，直线
与椭圆C 交于两个不同点P，Q，直线
AP 与x 轴交于点M，直线AQ 与x 轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定
点．
（20）（本小题14 分）
已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
的斜率为1 的切线方程；
（Ⅱ）当
时，求证：
；
（Ⅲ）设
，记
在区间
上的最大值为M
（a），当M（a）最小时，求a 的值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分）
（1）C
（2）D
（3）A
（4）B
（5）D
（6）C
（7）A
（8）B
二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共30 分）
（9）8
（10）–3 1
（11）
（12）40
（13）若
，则
．（答案不唯一）
（14）130 15
三、解答题（共6 小题，共80 分）
（15）（共13 分）
解：（Ⅰ）由余弦定理
，得
．
因为
，
所以
．
解得
．
所以
．
（Ⅱ）由
得
．
由正弦定理得
．
在
中，
．
所以
．
（16）（共13 分）
解：（Ⅰ）设
的公差为
．
因为
，
所以
．
因为
成等比数列，
所以
．
所以
．
解得
．
所以
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
．
所以，当
时，
；当
时，
．
所以，
的最小值为
．
（17）（共12 分）
解：（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A 的学生有27+3=30 人，仅使用B 的学生有
24+1=25 人，
A，B 两种支付方式都不使用的学生有5 人．
故样本中A，B 两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40 人．
估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人数为
．
（Ⅱ）记事件C 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1 人，该学生上个月的支付金
额大于2 000 元”，则
．
（Ⅲ）记事件E 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽查1 人，该学生本月的支付金额
大于2 000 元”．
假设样本仅使用B 的学生中，本月支付金额大于2 000 元的人数没有变化，则由（II）
知，
=0.04．
答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支
付金额大于2 000 元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E 是随机事件，
比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无
法确定有没有变化．
（18）（共14 分）
解：（Ⅰ）因为
平面ABCD，
所以
．
又因为底面ABCD 为菱形，
所以
．
所以
平面PAC．
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，
平面ABCD，
所以PA⊥AE．
因为底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，且E 为CD 的中点，
所以AE⊥CD．
所以AB⊥AE．
所以AE⊥平面PAB．
所以平面PAB⊥平面PAE．
（Ⅲ）棱PB 上存在点F，使得CF∥平面PAE．
取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF，FG，EG．
则FG∥AB，且FG=
AB．
因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点，
所以CE∥AB，且CE=
AB．
所以FG∥CE，且FG=CE．
所以四边形CEGF 为平行四边形．
所以CF∥EG．
因为CF
平面PAE，EG
平面PAE，
所以CF∥平面PAE．
（19）（共14 分）
解：（I）由题意得，b2=1，c=1．
所以a2=b2+c2=2．
所以椭圆C 的方程为
．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则直线AP 的方程为
．
令y=0，得点M 的横坐标
．
又
，从而
．
同理，
．
由
得
．
则
，
．
所以
．
又
，
所以
．
解得t=0，所以直线l 经过定点（0，0）．
（20）（共14 分）
解：（Ⅰ）由
得
．
令
，即
，得
或
．
又
，
，
所以曲线
的斜率为1 的切线方程是
与
，
即
与
．
（Ⅱ）令
．
由
得
．
令
得
或
．
的情况如下：
所以
的最小值为
，最大值为
．
故
，即
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
．
综上，当
最小时，
．
选择填空解析
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=
A. （–1，1）
B. （1，2）
C. （–1，+∞）
D.
（1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据并集的求法直接求出结果.
【详解】∵
，
∴
，
故选C.
【点睛】考查并集
求法，属于基础题.
2.已知复数z=2+i，则
A.
B.
C. 3
D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
题先求得
，然后根据复数的乘法运算法则即得.
【详解】∵
故选D.
【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
3.下列函数中，在区间（0，+
）上单调递增的是
A.
B. y=
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数图像性质可得出结果.
【详解】函数
，
在区间
上单调递减，
函数
在区间
上单调递增，故选A.
【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础
知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图中的条件逐次运算即可.
【详解】运行第一次，
，
，
运行第二次，
，
，
运行第三次，
，
，
结束循环，输出
，故选B.
【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.
5.已知双曲线
（a＞0）的离心率是
则a=
A.
B. 4
C. 2
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于A 的方程求解.
【详解】分析：详解： ∵双曲线的离心率
，
，
∴
，
解得
，
故选D.
【点睛】对双曲线基础知识和基本计算能力的考查.
6.设函数f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据定义域为R 的函数
为偶函数等价于
进行判断.
【详解】
时，
,
为偶函数；
为偶函数时，
对任意的
恒成立，
，得
对任意的
恒成立，从而
.从而“
”是“
为偶函数”的充分必要条件，故选C.
【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为m1的星的亮度为E2（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，
天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 1010.1
B. 10.1
C. lg10.1
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出
，然后将对数式换
指数式求
再求
【详解】两颗星的星等与亮度满足
,
令
，
，
，
，
故选D.
【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.
8.如图，A，B 是半径为2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，
是锐角，大小为β.
图中阴影区域的面积的最大值为
A. 4β+4cosβ
B. 4β+4sinβ
C. 2β+2cosβ
D.
2β+2sinβ
【答案】B
【解析】
【分析】
阴影部分的面积S=S△PAB+ S1- S△OAB.其中S1、 S△OAB的值为定值.当且仅当S△PAB取最大值时阴
影部分的面积S 取最大值.
【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，
此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S
最大值为βr2+S△POB+ S△POA=4β+
|OP||OB|sin（π-β）+
|
OP||OA|Sin（π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4 Sinβ，故选B.
【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运
算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
9.已知向量
=（－4，3），
=（6，m），且
，则m=__________.
【答案】8.
【解析】
【分析】
利用
转化得到
加以计算，得到
.
【详解】向量
则
.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与
化归思想的应用.属于容易题.
10.若x，y 满足
则
的最小值为__________，最大值为__________.
【答案】 (1).
. (2). 1.
【解析】
【分析】
作出可行域，移动目标函数表示的直线，利用图解法求解.
【详解】作出可行域如图阴影部分所示.
设z=y-x,则y=x+z.当直线l0：y=x+z 经过点A（2,-1）时,z 取最小值-3，经过点B（2,3）时,z
取最大值1.
【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度
不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
11.设抛物线y2=4x 的焦点为F，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为
__________．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【解析】
【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线y2=4x 中，2P=4，P=2，
焦点F（1,0），准线l 的方程为x=-1，
以F 为圆心，
且与l 相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.
12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正
方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
【答案】40.
【解析】
【分析】
画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积.
【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示
几何体的体积V=43-
（2+4）×2×4=40
【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重
多观察、细心算.
13.已知l，m 是平面
外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥
；③l⊥
．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.
【解析】
【分析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.
【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.不正确，有可能m 在平面α 内；
（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l 与α 斜交、l∥α.
【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价
格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促
销：一次购买水果的总价达到120 元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，
李明会得到支付款的80%．
①当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最
大值为__________．
【答案】 (1). 130. (2). 15.
【解析】
【分析】
（1）将购买的草莓和西瓜加钱与120 进行比较，再根据促销规则可的结果；
（2）根据
、
分别探究.
【详解】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，
需要支付（60+80）-10=130 元.
（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，
元时，李明得到的金额为y×80%，符合要求.
元时，有（y-x）×80%≥y×70%成立，
即8（y-x）≥7y，x≤
，即x≤（
）min=15 元.
所以x 的最大值为15.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解
能力，有一定难度.
