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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设
，则
=
A．2
B．
C．
D．1
2．已知集合
，则
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．b
c
a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人
体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个黄金
分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
D．190cm
5．函数f(x)=
在[—π，π]的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．某学校为了解1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新
生中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验.若46 号学生被抽到，则下面4 名
学生中被抽到的是
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
7．tan255°=
A．－2－
B．－2+
C．2－
D．2+
8．已知非零向量a，b 满足
=2
，且（a–b）
b，则a 与b 的夹角为
A．
B．
C．
D．
9．如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入
A．A=
B．A=
C．A=
D．A=
10．双曲线C：
的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为
A．2sin40°
B．2cos40°
C．
D．
11．△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－
，则
=
A．6
B．5
C．4
D．3
12 ．已知椭圆C 的焦点为
，过F2 的直线与C 交于A ，B 两点. 若
，
，则C 的方程为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．曲线
在点
处的切线方程为___________．
14．记Sn为等比数列{an}的前n 项和.若
，则S4=___________．
15．函数
的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC=2，点P 到∠ACB 两边AC，BC 的距离均为
，那么P 到平面ABC 的距离为___________．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。
17．（12 分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客，每位顾客对该商场的
服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
．
P
（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．（12 分）
记Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n 的取值范围．
19．（12 分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，
N 分别是BC，BB1，A1D 的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C 到平面C1DE 的距离．
20．（12 分）
已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．
21.（12 分）
已知点A，B 关于坐标原点O 对称，│AB│=4，⊙M 过点A，B 且与直线x+2=0 相切．
（1）若A 在直线x+y=0 上，求⊙M 的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A 运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
（t 为参数），以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10 分）
已知a，b，c 为正数，且满足abc=1．证明：
（1）
；
（2）
．
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
2 cos
3 sin
11
0
文科数学·参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．B
4．B
5．D
6．C
7．D
8．B
9．A
10．D
11．A
12．B
二、填空题
13．y=3x14．
15．−4
16．
三、解答题
17．解：
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为
，因此男顾客对该商
场服务满意的概率的估计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为
，因此女顾客对该商场服务满意的概率的
估计值为0.6．
（2）
．
由于
，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18．解：
（1）设
的公差为d．
由
得
．
由a3=4 得
．
于是
．
因此
的通项公式为
．
（2）由（1）得
，故
.
由
知
，故
等价于
，解得1≤n≤10．
所以n 的取值范围是
．
19．解：
（1 ）连结
. 因为M ，E 分别为
的中点，所以
，且
.又因为N 为
的中点，所以
.
由题设知
，可得
，故
，因此四边形MNDE 为平行四
边形，
.又
平面
，所以MN∥平面
.
（2）过C 作C1E 的垂线，垂足为H.
由已知可得
，
，所以DE⊥平面
，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面
，故CH 的长即为C 到平面
的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以
，故
.
从而点C 到平面
的距离为
.
20．解：
（1）设
，则
.
当
时，
；当
时，
，所以
在
单调递
增，在
单调递减.
又
，故
在
存在唯一零点.
所以
在
存在唯一零点.
（2）由题设知
，可得a≤0.
由（1）知，
在
只有一个零点，设为
，且当
时，
；
当
时，
，所以
在
单调递增，在
单调递减.
又
，所以，当
时，
.
又当
时，ax≤0，故
.
因此，a 的取值范围是
.
21．解：（1）因为
过点
，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线
上，且
关于坐标原点O 对称，所以M 在直线
上，故可设
.
因为
与直线x+2=0 相切，所以
的半径为
.
由已知得
，又
，故可得
，解得
或
.
故
的半径
或
.
（2）存在定点
，使得
为定值.
理由如下：
设
，由已知得
的半径为
.
由于
，故可得
，化简得M 的轨迹方程为
.
因为曲线
是以点
为焦点，以直线
为准线的抛物线，所以
.
因为
，所以存在满足条件的定点P.
22．解：（1）因为
，且
，所以C 的直角
坐标方程为
.
的直角坐标方程为
.
（2）由（1）可设C 的参数方程为
（
为参数，
）.
C 上的点到的距离为
.
当
时，
取得最小值7，故C 上的点到距离的最小值为
.
23．解：（1）因为
，又
，故有
.
所以
.
（2）因为
为正数且
，故有
=24.
所以
.
选择填空解析
1. 设
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
因为
所以
2. 已知集合
，
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
，
，则
，又
，则
，故选C.
3.已知
，
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由对数函数的图像可知：
；再有指数函数的图像可知：
，
，于是可得到：
.
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头
顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
.若某人满足上述两个黄金分割比例，
且腿长为
，头顶至脖子下端的长度为
，则其身高可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
方法一：
设头顶处为点
，咽喉处为点
，脖子下端处为点
，肚脐处为点
，腿根处为点
，足
底处为
，
，
，
根据题意可知
, 故
；又
，
，故
；
所以身高
，将
代入可得
.
根据腿长为
，头顶至脖子下端的长度为
可得
，
；
即
，
，将
代入可得
所以
，故选B.
方法二：
由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度
可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是
（
称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为
；将人
体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为
，头顶至肚
脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
可计算出肚脐至足底的长度约为
；将头顶至
肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为
，与答案
更为接近，
故选B.
5. 函数
在
的图像大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
∵
，
∴
为奇函数，排除A.
又
，排除C，
，排除B，故选D.
6.某学校为了解
名新生的身体素质，将这些学生编号为
，从这些新生中
用系统抽样方法等距抽取
名学生进行体质测验，若
号学生被抽到，则下面
名学生中
被抽到的是（ ）.
A.
号学生
B.
号学生
C.
号学生
D.
号学生
答案：
C
解答：
从
名学生中抽取
名，每
人抽一个，
号学生被抽到，则抽取的号数就为
，可得出
号学生被抽到.
7.
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
因为
化简可得
8. 已知非零向量
，
满足
，且
，则
与
的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
，且
，
，有
，设
与
的夹角为
则有
，即
，
，
，
，
，故
与
的夹角为
，选
.
9. 右图是求
的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
把选项代入模拟运行很容易得出结论
选项A 代入运算可得
，满足条件，
选项B 代入运算可得
,不符合条件，
选项C 代入运算可得
,不符合条件，
选项D 代入运算可得
,不符合条件.
10.双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，则
的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
根据题意可知
，所以
，
离心率
.
11.
的内角
的对边分别为
，已知
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由正弦定理可得到：
，即
，
又由余弦定理可得到：
，于是可得到
12. 已知椭圆
的焦点坐标为
，
，过
的直线与
交于
，
两点，若
，
，则
的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由
，
，设
，则
，
，根据椭圆的定
义
，所以
，因此点
即为椭圆的下顶点，因为
，
所以点
坐标为
，将坐标代入椭圆方程得
，解得
，故答案选B.
13.曲线
在点
处的切线方程为
.
答案：
解答：
∵
，
∴结合导数的几何意义曲线在点
处的切线方程的斜率
，
∴切线方程为
.
14. 记
为等比数列
的前
项和，若
，
，则
.
答案：
解析：
，
设等比数列公比为
∴
∴
所以
15．函数
的最小值为___________．
答案：
解答：
，
因为
，知当
时
取最小值，
则
的最小值为
．
16.已知
，
为平面
外一点，
，点
到
两边
的
距离均为
，那么
到平面
的距离为 .
答案：
解答：
如图，过
点做平面
的垂线段，垂足为
，则
的长度即为所求，再做
，由线面的垂直判定及性质定理可得出
，在
中，由
，可得出
，同理在
中可得出
，
结
合
，
可
得
出
，
，
