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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学
参考公式：
若事件
互斥，则
若事件
相互独立，则
若事件
在一次试验中发生的概率是
,则
次
独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率
台体的体积公式
其中
分别表示台体的上、下底面积，
表
示台体的高
柱体的体积公式
其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高
锥体的体积公式
其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中
表示球的半径
选择题部分（共40 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分,在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知全集
，集合
，
，则（∁UA）∩B＝（ ）
A.
B.
C.
D.
2.渐近线方程为
的双曲线的离心率是（ ）
A.
B. 1
C.
D. 2
3.若实数
满足约束条件
，则
的最大值是（ ）
A.
B. 1
C 10
D. 12
4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可
以得到柱体体积公式
，其中
是柱体的底面积，
是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，
则该柱体的体积是（ ）
A. 158
B. 162
C. 182
D. 32
5.若
，则“
”是 “
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.在同一直角坐标系中，函数
且
图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.设
，则随机变量
的分布列是：
则当
在
内增大时（ ）
A.
增大
B.
减小
C.
先增大后减小
D.
先减小后增大
8.设三棱锥
底面是正三角形，侧棱长均相等，
是棱
上的点（不含端点），记直线
与直线
所成角为
，直线
与平面
所成角为
，二面角
的平面角为
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
9.已知
，函数
，若函数
恰有三个零点，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
10.设
，数列
中，a1=a，an+1=an
2+b，
， 则（ ）
A. 当
B. 当
C. 当
D. 当
非选择题部分（共110 分）
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分
11.复数
（为虚数单位），则
________.
12.已知圆
的圆心坐标是
，半径长是
.若直线
与圆相切于点
，则
_____，
______.
13.在二项式
的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
14.在
中，
，
，
，点
在线段
上，若
，则
____；
________.
15.已知椭圆
的左焦点为
，点
在椭圆上且在
轴的上方，若线段
的中点在以原点
为
圆心，
为半径的圆上，则直线
的斜率是_______.
16.已知
，函数
，若存在
，使得
，则实数
的最大值是
____.
17.已知正方形
的边长为1，当每个
取遍
时，
的最小值是________；最大值是_______.
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.设函数
.
（1）已知
函数
是偶函数，求
的值；
（2）求函数
的值域.
19.如图，已知三棱柱
，平面
平面
,
，
分别是
的中点.
（1）证明：
；
（2）求直线
与平面
所成角的余弦值.
20.设等差数列
前
项和为
，
，
，数列
满足：对每
成等比数列.
（1）求数列
的通项公式；
（2）记
证明：
21.如图，已知点
为抛物线
，点
为焦点，过点
的直线交抛物线于
两点，点
在抛物线上，使得
的重心
在
轴上，直线
交
轴于点
，且
在点
右侧.记
的面积为
.
（1）求
的值及抛物线的标准方程；
（2）求
的最小值及此时点
的坐标.
22.已知实数
，设函数
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）对任意
均有
求
的取值范围.
注：
为自然对数的底数.
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学
参考公式：
若事件
互斥，则
若事件
相互独立，则
若事件
在一次试验中发生的概率是
,则
次
独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率
台体的体积公式
其中
分别表示台体的上、下底面积，
表
示台体的高
柱体的体积公式
其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高
锥体的体积公式
其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中
表示球的半径
选择题部分（共40 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分,在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知全集
，集合
，
，则（∁UA）∩B＝（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】
，则
【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.
2.渐近线方程为
的双曲线的离心率是（ ）
A.
B. 1
C.
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得
，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基
本计算能力的考查.
【详解】因为双曲线的渐近线为
，所以
，则
，双曲线的离心率
.
【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
3.若实数
满足约束条件
，则
的最大值是（ ）
A.
B. 1
C. 10
D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知
识、基本技能的考查.
【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以
为顶点的三角形
区域（包含边界），由图易得当目标函数
经过平面区域的点
时，
取最大值
.
【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，
也有可能在解方程组的过程中出错.
4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可
以得到柱体体积公式
，其中
是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则
该柱体的体积是（ ）
A. 158
B. 162
C. 182
D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度
不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.
【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下
底为6 ，高为3 ，另一个的上底为2 ，下底为6 ，高为3 ，则该棱柱的体积为
.
【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.
5.若
，则“
”是 “
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取
值，推出矛盾，
确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当
时，
，则当
时，有
，解得
，充分
性成立；当
时，满足
，但此时
，必要性不成立，综上所述，“
”是
“
”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，
通过特取
的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
6.在同一直角坐标系中，函数
且
的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题通过讨论
的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确
结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当
时，函数
过定点
且单调递减，则函数
过定点
且单调递增，
函数
过定点
且单调递减，D 选项符合；当
时，函数
过定点
且单调
递增，则函数
过定点
且单调递减，函数
过定点
且单调递增，各选项
均不符合.综上，选D.
【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通
过讨论
的不同取值范围，认识函数的单调性.
7.设
，则随机变量
的分布列是：
则当
在
内增大时（ ）
A.
增大
B.
减小
C.
先增大后减小
D.
先减小后增大
【答案】D
【解析】
【分析】
研究方差随
变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数
表示，应用函数知识求解.本题根据方
差与期望的关系，将方差表示为
的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要
知识、基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】方法1：由分布列得
，则
，则当
在
内增大
时，
先减小后增大.
方法2：则
故选D.
【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力
差，不能正确得到二次函数表达式.
8.设三棱锥
的底面是正三角形，侧棱长均相等，
是棱
上的点（不含端点），记直线
与
直线
所成角为
，直线
与平面
所成角为
，二面角
的平面角为
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的
计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，
则可事倍功半.
【详解】方法1：如图
为
中点，
在底面
的投影为
，则
在底面投影
在线段
上，过
作
垂直
，易得
，过
作
交
于
，过
作
，交
于
，
则
，则
，即
，
，即
，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理
，记
的平面角为
（显然
）
由最大角定理
，故选B.
法2：（特殊位置）取
为正四面体，
为
中点，易得
，故选B.
【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便
解法.
9.已知
，函数
，若函数
恰有三个零点，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函
数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.
【详解】原题可转化为
与
，有三个交点.
当
时，
，且
，则
（1）当
时，如图
与
不可能有三个交点（实际上有一个），排除A，B
（2）当
时，分三种情况，如图
与
若有三个交点，则
，答案选D
下面证明：
时，
时
，
，则
，才能保证至少有两个零点，即
，若另一零点在
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及
两个参数，故按“一元化”想法，逐步
分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..
10.设
，数列
中，a1=a，an+1=an
2+b，
， ,则（ ）
A. 当
B. 当
C. 当
D. 当
【答案】A
【解析】
【分析】
本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，
通过研究选项得解.
【详解】选项B：不动点满足
时，如图，若
，
排除
如图，若
为不动点
则
选项C：不动点满足
，不动点为
，令
，则
，
排除
选项D：不动点满足
，不动点为
，令
，则
，排除.
选项A：证明：当
时，
，
处理一：可依次迭代到
；
处理二：当
时，
，则则
，则
.
故选A
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论
的可能取值，利用“排除法”求解.
非选择题部分（共110 分）
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分
11.复数
（为虚数单位），则
________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题先计算
，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】
.
【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.
12.已知圆
的圆心坐标是
，半径长是
.若直线
与圆相切于点
，则
_____，
______.
【答案】 (1).
(2).
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线
的斜率，进一步得到其方程，将
代入后求得
，计算得解.
【详解】可知
，把
代入得
，此时
.
【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.
13.在二项式
的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
【答案】 (1).
(2).
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项
入手，根据要求，考察
的幂指数，使问题得解.
【详解】
的通项为
可得常数项为
，
因系数为有理数，
，有
共5 个项
【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计
算要细心，确保结果正确.
14.
中，
，
，
，点
在线段
上，若
，则
____；
________.
【答案】 (1).
(2).
【解析】
【分析】
本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入
，在
、
中应用正弦定理，建立方程，进而得解..
【详解】在
中，正弦定理有：
，而
,
，
，所以
.
【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.
15.已知椭圆
的左焦点为
，点
在椭圆上且在
轴的上方，若线段
的中点在以原点
为圆心，
为半径的圆上，则直线
的斜率是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进
一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.
【详解】方法1：由题意可知
，
由中位线定理可得
，设
可得
，
联立方程
可解得
（舍），点
在椭圆上且在
轴的上方，
求得
，所以
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知
，
由中位线定理可得
，即
求得
，所以
.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是
解答解析几何问题的重要途径.
16.已知
，函数
，若存在
，使得
，则实数
的最大值是
____.
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题. 从研究
入手，令
，从而使问题加以转化，通过绘
制函数图象，观察得解.
【详解】使得
，
使得令
，则原不等式转化为存在
，由折线函数，如图
只需
，即
，即
的最大值是
【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
17.已知正方形
的边长为1，当每个
取遍
时，
的最小值是________；最大值是_______.
【答案】 (1). 0 (2).
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化
归思想将问题逐步简化.
【
详
解
】
要使
的最小，只需要
，此时只需要取
此时
等号成立当且仅当
均非负或者均非正，并且
均非负或者均非正。
比如
则
.
点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等
式的综合题。
【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.设函数
.
（1）已知
函数
是偶函数，求
的值；
（2）求函数
的值域.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
【分析】
(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定
的值；
(2)首先整理函数的解析式为
的形式，然后确定其值域即可.
【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：
，
函数为偶函数，则当
时，
，即
，结合
可取
，相应的
值为
.
(2)由函数的解析式可得：
.
据此可得函数
值域为：
.
【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等
知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.如图，已知三棱柱
，平面
平面
,
，
分别是
的中点.
（1）证明：
；
（2）求直线
与平面
所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
【分析】
(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角
函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】(1)如图所示，连结
，
等边
中，
，则
，
平面ABC⊥平面
，且平面ABC∩平面
，
由面面垂直的性质定理可得：
平面
，故
，
由三棱柱的性质可知
，而
，故
，且
，
由线面垂直的判定定理可得：
平面
，
结合
⊆平面
，故
.
(2)在底面ABC 内作EH⊥AC，以点E 为坐标原点，EH,EC,
方向分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标
系
.
设
，则
，
,
，
据此可得：
，
由
可得点
的坐标为
，
利用中点坐标公式可得：
，由于
，
故直线EF 的方向向量为：
设平面
的法向量为
，则：
，
据此可得平面
的一个法向量为
，
此时
，
设直线EF 与平面
所成角为
，则
.
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和
逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严
密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向
量的夹角公式求解.
20.设等差数列
的前
项和为
，
，
，数列
满足：对每
成等比数列.
（1）求数列
的通项公式；
（2）记
证明：
【答案】（1）
，
；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得数列
的首项和公差确定数列
的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件
整理计算即可确定数列
的通项公式；
(2)结合(1)的结果对数列
的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题
中的不等式.
【详解】(1)由题意可得：
，解得：
，
则数列
的通项公式为.
其前n 项和
.
则
成等比数列，即：
，
据此有：
，
故
.
(2)结合(1)中的通项公式可得：
，
则
.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知
识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21.如图，已知点
为抛物线
，点
为焦点，过点
的直线交抛物线于
两点，点
在抛物线上，使得
的重心
在
轴上，直线
交
轴于点
，且
在点
右侧.记
的面积为
.
（1）求
的值及抛物线的标准方程；
（2）求
的最小值及此时点
的坐标.
【答案】（1）1，
；（2）
，
.
【解析】
【分析】
(1)由焦点坐标确定p 的值和准线方程即可；
(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的
结论即可求得
的最小值和点G 的坐标.
【详解】(1)由题意可得
，则
，抛物线方程为
，准线方程为
.
(2)设
，
设直线AB 的方程为
，与抛物线方程
联立可得：
，故：
，
，
设点C 的坐标为
，由重心坐标公式可得：
，
，
令
可得：
，则
.即
，
由斜率公式可得：
，
直线AC 的方程为：
，
令
可得：
，
故
，
且
，
由于
，代入上式可得：
，
由
可得
，则
，
则
.
当且仅当
，即
，
时等号成立
此时
，
，则点G 的坐标为
.
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，
本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式
求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22.已知实数
，设函数
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）对任意
均有
求
的取值范围.
注：
为自然对数的底数.
【答案】（1）
的单调递增区间是
,单调递减区间是
；（2）
.
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.
(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.
【详解】(1)当
时，
，函数的定义域为
，且：
，
因此函数
的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(2)构造函数
，
注意到：
，
注意到
时
恒成立，满足
；
当
时，
，不合题意，
且
，解得：
，故
.
下面证明
刚好是满足题意的实数a 的取值范围.
分类讨论：
(a)当
时，
，
令
，则：
，
易知
，则函数
单调递减，
，满足题意.
(b)当
时，
等价于
，
左侧是关于a 的开口向下的二次函数
,
其判别式
，
令
，注意到当
时,
，
于是
在
上单调递增,而
，
于是当
时命题成立,
而当
时,此时
的对称轴为
随着
递增,
于是对称轴在
的右侧,而
成立，(不等式等价于
).
因此
综上可得：实数a 的取值范围是
.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导
数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，
解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
