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2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（5 分）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
2．（5 分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（ ）
A．﹣4
B．﹣2
C．2
D．4
3．（5 分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四
棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底
边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）已知A 为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的
距离为9，则p＝（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
5．（5 分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x（单位：℃）的关系，
在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）
（i＝1，2，…，20）得到下
面的散点图：
第1页（共25页）
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x
的回归方程类型的是（ ）
A．y＝a+bx
B．y＝a+bx2
C．y＝a+bex
D．y＝a+blnx
6．（5 分）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x﹣1
B．y＝﹣2x+1
C．y＝2x﹣3
D．y＝2x+1
7．（5 分）设函数f（x）＝cos（ωx+
）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）（x+
）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
9．（5 分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）已知A，B，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O1为△ABC 的外接圆．若⊙O1的面积
为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O 的表面积为（ ）
A．64π
B．48π
C．36π
D．32π
11．
（5 分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M
第2页（共25页）
的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB 的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0
B．2x+y﹣1＝0
C．2x﹣y+1＝0
D．2x+y+1＝0
12．（5 分）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（ ）
A．a＞2b
B．a＜2b
C．a＞b2
D．a＜b2
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
则z＝x+7y 的最大值为 ．
14．（5 分）设，为单位向量，且| + |＝1，则| ﹣|＝ ．
15．（5 分）已知F 为双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为
C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 ．
16．（5 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝
，AB⊥AC，
AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝ ．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）设{an}是公比不为1 的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
（1）求{an}的公比；
（2）若a1＝1，求数列{nan}的前n 项和．
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18．（12 分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE＝AD．△ABC
是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO＝
DO．
（1）证明：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角B﹣PC﹣E 的余弦值．
19．（12 分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与
轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的
两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为
．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
20．（12 分）已知A，B 分别为椭圆E：
+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，
•
＝8．P 为直线x＝6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D．
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（1）求E 的方程；
（2）证明：直线CD 过定点．
21．（12 分）已知函数f（x）＝ex+ax2﹣x．
（1）当a＝1 时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≥
x3+1，求a 的取值范围．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．
（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（t 为参数）．以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ﹣16ρsinθ+3
＝0．
（1）当k＝1 时，C1是什么曲线？
（2）当k＝4 时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．
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2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（5 分）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【分析】由复数的乘方和加减运算，化简z2﹣2z，再由复数的模的定义，计算可得所求值．
【解答】解：若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，
则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，
故选：D．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的模的求法，主要考查化简运算能力，是一道基础
题．
2．（5 分）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（ ）
A．﹣4
B．﹣2
C．2
D．4
【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a 的方
程，解方程可得a．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣
a}，
由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣
a＝1，
则a＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力，是
一道基础题．
3．（5 分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四
棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底
边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．
【解答】解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，
则依题意有：
，
因此有h′2﹣（
）2＝
ah′⇒4（
）2﹣2（
）﹣1＝0⇒
＝
（负值舍去）；
故选：C．
【点评】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．
4．（5 分）已知A 为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的
距离为9，则p＝（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．
【解答】解：A 为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的
距离为9，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有：9+
＝12⇒p＝6；
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题．
5．（5 分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x（单位：℃）的关系，
在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）
（i＝1，2，…，20）得到下
面的散点图：
第8页（共25页）
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x
的回归方程类型的是（ ）
A．y＝a+bx
B．y＝a+bx2
C．y＝a+bex
D．y＝a+blnx
【分析】直接由散点图结合给出的选项得答案．
【解答】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y 和温度x 所对应的点（x，y）在一
段对数函数的曲线附近，
结合选项可知，y＝a+blnx 可作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型．
故选：D．
【点评】本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题．
6．（5 分）函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x﹣1
B．y＝﹣2x+1
C．y＝2x﹣3
D．y＝2x+1
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1 处的导数，再求得f（1），然后利用直线方
程的点斜式求解．
【解答】解：由f（x）＝x4﹣2x3，得f′（x）＝4x3﹣6x2，
∴f′（1）＝4﹣6＝﹣2，
又f（1）＝1﹣2＝﹣1，
∴函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣2（x﹣1），
即y＝﹣2x+1．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．
7．（5 分）设函数f（x）＝cos（ωx+
）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（
）
第9页（共25页）
A．
B．
C．
D．
【分析】由图象观察可得最小正周期小于
，大于
，排除A，D；再由f（﹣
）＝
0，求得ω，对照选项B，C，代入计算，即可得到结论．
【解答】解：由图象可得最小正周期小于π﹣（﹣
）＝
，大于2×（
）＝
，排除A，D；
由图象可得f（﹣
）＝cos（﹣
ω+
）＝0，
即为﹣
ω+
＝kπ+
，k∈Z，（*）
若选B，即有ω＝
＝
，由﹣
×
+
＝kπ+
，可得k 不为整数，排除B；
若选C，即有ω＝
＝
，由﹣
×
+
＝kπ+
，可得k＝﹣1，成立．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速
解题的关键，属于中档题．
8．（5 分）（x+
）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【分析】先把条件整理转化为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数，再结合二项式的展开
式的特点即可求解．
第10页（共25页）
【解答】解：因为（x+
）（x+y）5＝
；
要求展开式中x3y3的系数即为求（x2+y2）（x+y）5展开式中x4y3的系数；
展开式含x4y3的项为：x2•
x2•y3+y2•
x4•y＝15x4y3；
故（x+
）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为15；
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，
属基础题．
9．（5 分）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cosα 的一元二次方程，求解后再由
同角三角函数基本关系式求得sinα 的值．
【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，
即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos
．
∵α∈（0，π），∴α∈（
，π），
则sinα＝
＝
．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应
用，是基础题．
10．（5 分）已知A，B，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O1为△ABC 的外接圆．若⊙O1的面积
为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O 的表面积为（ ）
A．64π
B．48π
C．36π
D．32π
【分析】画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．
【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则
AO1＝ABsin60°，
，
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∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2
，
外接球的半径为：R＝
＝4，
球O 的表面积：4×π×42＝64π．
故选：A．
【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键．
11．
（5 分）已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M
的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB 的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0
B．2x+y﹣1＝0
C．2x﹣y+1＝0
D．2x+y+1＝0
【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PM|•|AB|＝
，说
明要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM 与直线l 垂直．写出PM 所在直线方程，与
直线l 的方程联立，求得P 点坐标，然后写出以PM 为直径的圆的方程，再与圆M 的方程
联立可得AB 所在直线方程．
【解答】解：化圆M 为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
圆心M（1，1），半径r＝2．
∵
＝2S△PAM＝|PA|•|AM|＝2|PA|＝
．
∴要使|PM|•|AB|最小，则需|PM|最小，此时PM 与直线l 垂直．
直线PM 的方程为y﹣1＝
（x﹣1），即y＝
，
联立
，解得P（﹣1，0）．
则以PM 为直径的圆的方程为
．
第12页（共25页）
联立
，可得直线AB 的方程为2x+y+1＝0．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线
方程的求法，是中档题．
12．（5 分）若2a+log2a＝4b+2log4b，则（ ）
A．a＞2b
B．a＜2b
C．a＞b2
D．a＜b2
【分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到2a+log2a＜22b+log22b；再借助于函数的
单调性即可求解结论．
【解答】解：因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b；
因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1 即2a+log2a＜22b+log22b；
令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
且f（a）＜f（2b）⇒a＜2b；
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于基础题．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
则z＝x+7y 的最大值为
1
．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y 轴
上的截距最大值即可．
【解答】解：x，y 满足约束条件
，
不等式组表示的平面区域如图所示，
由
，可得A（1，0）时，目标函数z＝x+7y，可得y＝
x+
，
当直线y＝
x+
过点A 时，在y 轴上截距最大，
此时z 取得最大值：1+7×0＝1．
故答案为：1．
第13页（共25页）
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14．（5 分）设，为单位向量，且| + |＝1，则| ﹣|＝
．
【分析】直接利用向量的模的平方，结合已知条件转化求解即可．
【解答】解：，为单位向量，且| + |＝1，
| + |2＝1，
可得
，
1+2
+1＝1，
所以
，
则| ﹣|＝
＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查向量的模的求法，数量积的应用，考查计算能力．
15．（5 分）已知F 为双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为
C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为
2
．
【分析】利用已知条件求出A，B 的坐标，通过AB 的斜率为3，转化求解双曲线的离心率即
可．
【解答】解：F 为双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点（c，0），A 为C 的右顶点
（a，0），
B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．所以B（c，
），
第14页（共25页）
若AB 的斜率为3，可得：
，
b2＝c2﹣a2，代入上式化简可得c2＝3ac﹣2a2，e＝
，
可得e2﹣3e+2＝0，e＞1，
解得e＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力．
16．（5 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝
，AB⊥AC，
AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝ ﹣
．
【分析】根据条件可知D、E、F 三点重合，分别求得BC、CF、BF 即可．
【解答】解：由已知得BD＝
AB＝
，BC＝2，
因为D、E、F 三点重合，所以AE＝AD＝
，BF＝BD＝
AB＝
，
则在△ACE 中，由余弦定理可得CE2＝AC2+AE2﹣2AC•AE•cos∠CAE＝1+3﹣2
×
＝
1，
所以CE＝CF＝1，
则在△BCD 中，由余弦定理得cos∠FCB＝
＝
＝﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题考查三棱锥展开图，涉及余弦定理的应用，数形结合思想，属于中档题．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每
第15页（共25页）
个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）设{an}是公比不为1 的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
（1）求{an}的公比；
（2）若a1＝1，求数列{nan}的前n 项和．
【分析】（1）设{an}是公比q 不为1 的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的
通项公式，解方程可得公比q；
（2）求得an，nan，运用数列的数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简整
理，可得所求和．
【解答】解：（1）设{an}是公比q 不为1 的等比数列，
a1为a2，a3的等差中项，可得2a1＝a2+a3，
即2a1＝a1q+a1q2，
即为q2+q﹣2＝0，
解得q＝﹣2（1 舍去），
所以{an}的公比为﹣2；
（2）若a1＝1，则an＝（﹣2）n﹣1，
nan＝n•（﹣2）n﹣1，
则数列{nan}的前n 项和为Sn＝1•1+2•（﹣2）+3•（﹣2）2+…+n•（﹣2）n﹣1，
﹣2Sn＝1•（﹣2）+2•（﹣2）2+3•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n，
两式相减可得3Sn＝1+（﹣2）+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣1﹣n•（﹣2）n
＝
﹣n•（﹣2）n，
化简可得Sn＝
，
所以数列{nan}的前n 项和为
．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及等差数列的中项性质，考
查数列的错位相减法求和，主要考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
18．（12 分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE＝AD．△ABC
是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO＝
DO．
（1）证明：PA⊥平面PBC；
（2）求二面角B﹣PC﹣E 的余弦值．
第16页（共25页）
【分析】（1）设圆O 的半径为1，求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到PA⊥PC，
PA⊥PB，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBC 及平面PCE 的法向量，利用向量的夹角公式即
可得解．
【解答】解：（1）不妨设圆O 的半径为1，OA＝OB＝OC＝1，AE＝AD＝2，
，
，
，
在△PAC 中，PA2+PC2＝AC2，故PA⊥PC，
同理可得PA⊥PB，又PB∩PC＝P，
故PA⊥平面PBC；
（
2
）
建
立
如
图
所
示
的
空
间
直
角
坐
标
系
，
则
有
，E（0，1，0），
故
，
设平面PBC 的法向量为
，则
，可取
，
同理可求得平面PCE 的法向量为
，
第17页（共25页）
故
，即二面角B﹣PC﹣E 的余弦值为
．
【点评】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角，考查推理能力及计算能
力，属于基础题．
19．（12 分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与
轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的
两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为
．
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
【分析】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率．
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种
情况，甲连胜四场比赛，乙连日胜四场比赛，丙上场后连胜三场，由此能求出需要进行五
场比赛的概率．
（3）丙最终获胜，有两种情况，比赛四场结束且丙最终获胜，比赛五场结束丙最终获胜，则
从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空
胜胜，由此能求出丙最终获胜的概率．
【解答】（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，P＝（
）4＝
．
第18页（共25页）
（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况，
甲连胜四场的概率为
，乙连胜四场比赛的概率为
，
丙上场后连胜三场的概率为
，
∴需要进行五场比赛的概率为：
P＝1﹣
＝
．
（3）丙最终获胜，有两种情况，
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为
，
比赛五场结束丙最终获胜，
则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：
胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为
，
∴丙最终获胜的概率P＝
＝
．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式
等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12 分）已知A，B 分别为椭圆E：
+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，
•
＝8．P 为直线x＝6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D．
（1）求E 的方程；
（2）证明：直线CD 过定点．
【分析】（1）求出
•
＝a2﹣1＝8，解出a，求出E 的方程即可；
（2）联立直线和椭圆的方程求出C，D 的坐标，求出直线CD 的方程，判断即可．
【解答】解：如图示：
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（1）由题意A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），
∴
＝（a，1），
＝（a，﹣1），
•
＝a2﹣1＝8，解得：a＝3，
故椭圆E 的方程是
+y2＝1；
（2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），设P（6，m），
则直线PA 的方程是y＝
（x+3），
联立
⇒（9+m2）x2+6m2x+9m2﹣81＝0，
由韦达定理﹣3xc＝
⇒xc＝
，
代入直线PA 的方程为y＝
（x+3）得：
yc＝
，即C（
，
），
直线PB 的方程是y＝
（x﹣3），
联立方程
⇒（1+m2）x2﹣6m2x+9m2﹣9＝0，
由韦达定理3xD＝
⇒xD＝
，
代入直线PB 的方程为y＝
（x﹣3）得yD＝
，
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即D（
，
），
∴直线CD 的斜率KCD＝
＝
，
∴直线CD 的方程是y﹣
＝
（x﹣
），整理得：
y＝
（x﹣
），
故直线CD 过定点（
，0）．
【点评】本题考查了求椭圆的方程问题，考查直线和椭圆的关系以及直线方程问题，是一
道综合题．
21．（12 分）已知函数f（x）＝ex+ax2﹣x．
（1）当a＝1 时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≥
x3+1，求a 的取值范围．
【分析】（1）求得a＝1 时，f（x）的解析式，两次对x 求得导数，结合指数函数的值域判断导
数的符号，即可得到所求单调性；
（2）讨论x＝0，不等式恒成立；x＞0 时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性
和最值，进而得到所求范围．
【解答】解：（1）当a＝1 时，f（x）＝ex+x2﹣x，
f′（x）＝ex+2x﹣1，设g（x）＝f′（x），
因为g′（x）＝ex+2＞0，可得g（x）在R 上递增，即f′（x）在R 上递增，
因为f′（0）＝0，所以当x＞0 时，f′（x）＞0；当x＜0 时，f′（x）＜0，
所以f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）；
（2）当x≥0 时，f（x）≥
x3+1 恒成立，
①当x＝0 时，不等式恒成立，可得a∈R；
②当x＞0 时，可得a≥
恒成立，
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设h（x）＝
，则h′（x）＝
，
可设m（x）＝ex﹣
x2﹣x﹣1，可得m′（x）＝ex﹣x﹣1，m″（x）＝ex﹣1，
由x≥0，可得m″（x）≥0 恒成立，可得m′（x）在（0，+∞）递增，
所以m′（x）min＝m′（0）＝0，
即m′（x）≥0 恒成立，即m（x）在（0，+∞）递增，所以m（x）min＝m（0）＝0，
再令h′（x）＝0，可得x＝2，当0＜x＜2 时，h′（x）＞0，h（x）在（0，2）递增；
x＞2 时，h′（x）＜0，h（x）在（2，+∞）递减，所以h（x）max＝h（2）＝
，
所以a≥
，
综上可得a 的取值范围是[
，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查构造函数法，主要考查分类讨论思想
和化简运算能力、推理能力，属于难题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．
（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（t 为参数）．以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ﹣16ρsinθ+3
＝0．
（1）当k＝1 时，C1是什么曲线？
（2）当k＝4 时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
【分析】（1）当k＝1 时，曲线C1的参数方程为
，（t 为参数），利用平方关系消去
参数t，可得x2+y2＝1，故C1是以原点为圆心，以1 为半径的圆；
（2）当k＝4 时，曲线C1的参数方程为
，（t 为参数），消去参数t，可得
＝1，由4ρcosθ﹣16ρsinθ+3＝0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4x﹣16y+3＝0．
第22页（共25页）
联立方程组即可求得C1与C2的公共点的直角坐标为（
）．
【解答】解：（1）当k＝1 时，曲线C1的参数方程为
，（t 为参数），
消去参数t，可得x2+y2＝1，
故C1是以原点为圆心，以1 为半径的圆；
（2）法一：当k＝4 时，C1：
，消去t 得到C1的直角坐标方程为
＝1，
C2的极坐标方程为4ρcosθ﹣16ρsinθ+3＝0 可得C2的直角坐标方程为4x﹣16y+3＝0，
，解得
．
∴C1与C2的公共点的直角坐标为（
）．
法二：当k＝4 时，曲线C1的参数方程为
，（t 为参数），
两式作差可得x﹣y＝cos4t﹣sin4t＝cos2t﹣sin2t＝2cos2t﹣1，
∴
，得
，
整理得：（x﹣y）2﹣2（x+y）+1＝0（0≤x≤1，0≤y≤1）．
由4ρcosθ﹣16ρsinθ+3＝0，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴4x﹣16y+3＝0．
联立
，解得
（舍），或
．
∴C1与C2的公共点的直角坐标为（
）．
【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中
档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．
第23页（共25页）
（1）画出y＝f（x）的图象；
（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．
【分析】（1）将函数零点分段，即可作出图象；
（2）由于f（x+1）是函数f（x）向左平移了一个1 单位，作出图象可得答案；
【解答】解：函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|＝
，
图象如图所示
（2）由于f（x+1）的图象是函数f（x）的图象向左平移了一个1 单位所得，（如图所示）
第24页（共25页）
直线y＝5x﹣1 向左平移一个单位后表示为y＝5（x+1）﹣1＝5x+4，
联立
，解得横坐标为x＝
，
∴不等式f（x）＞f（x+1）的解集为{x|x
}．
【点评】本题考查了绝对值函数的解法，分段作出图象是解题的关键．属于基础题．
第25页（共25页）
