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绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1 已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3<x<15}，则A∩B 中元素的个数为
A.2 B.3 C.4 D.5
2.若
，则z＝
A.1－i B.1＋i C.－i D.i
3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为
A.0.01 B.0.l C.1 D.10
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地
区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：
，其中K 为
最大确诊病例数。当I(t*)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)
A.60 B.63 C.66 D.69
5.已知sinθ＋sin(θ＋
)＝1，则sin(θ＋
)＝
A.
B.
C.
D.
6.在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若
＝1，则C 的轨迹为
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
7.设O 为坐标原点，直线x＝2 与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E 两点，若OD⊥OE，则C 的焦
点坐标为
A.(
，0) B.(
，0) C.(1，0) D.(2，0)
8.点(0，1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为
A.1 B.
C.
D.2
9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A.6＋4
B.4＋4
C.6＋2
D.4＋2
10.设a＝log32，b＝log53，c＝
，则
A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
11.在△ABC 中，cosC＝
，AC＝4，BC＝3，则tanB＝
A.
B.2
C.4
D.8
12.已知函数f(x)＝sinx＋
，则
A.f(x)的最小值为2
B.f(x)的图像关于y 轴对称
C.f(x)的图像关于直线x＝π 对称
D.f(x)的图像关于直线x＝
对称
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13.著x，y 满足约束条件
，则z＝3x＋2y 的最大值为 。
14.设双曲线C：
的一条渐近线为y＝
x，则C 的离心率为
。
15.设函数f(x)＝
，若f'(1)＝
，则a＝ 。
16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 。
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60 分。
17.(12 分)
设数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8。
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{log3an}的前n 项和，若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m。
18.(12 分)
某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人
次，整理数据得到下表(单位：天)：
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4 的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1 或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3 或
4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的2×2 列联表，并根据列联表，判断是
否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.(12 分)
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F 分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝
2FB1。证明：
(1)当AB＝BC 时，EF⊥AC；
(2)点C1在平面AEF 内。
20.(12 分)
己知函数f(x)＝x3－kx＋k2。
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有三个零点，求k 的取值范围。
21.(12 分)
已知椭圆C：
的离心率为
，A，B 分别为C 的左、右顶点。
(1)求C 的方程；
(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x＝6 上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ 的面积。
(二)选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
(t 为参数且t≠1)，C 与坐标轴交于
A，B 两点。
(1)求|AB|；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程。
23.[选修4－5：不等式选讲](10 分)
设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1。
(1)证明：ab＋bc＋ca<0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c 的最大值，证明：max{a，b，c}≥
。
