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2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B 中元素的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（5 分）若（1+i）＝1﹣i，则z＝（ ）
A．1﹣i
B．1+i
C．﹣i
D．i
3．（5 分）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ）
A．0.01
B．0.1
C．1
D．10
4．（5 分）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎
累计确诊病例数I（t）（t 的单位：天）的Logistic 模型：I（t）＝
，其中K 为最大确诊病例数．当I
（t*）＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ ）（ln19≈3）
A．60
B．63
C．66
D．69
5．（5 分）已知sinθ+sin（θ+
）＝1，则sin（θ+
）＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点．若
•
＝1，则点C 的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
7．（5 分）设O 为坐标原点，直线x＝2 与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E 两点，若OD⊥OE，则C 的焦点坐标为
（ ）
A．（
，0）
B．（
，0）
C．（1，0）
D．（2，0）
8．（5 分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
9．（5 分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A．6+4
B．4+4
C．6+2
D．4+2
10．（5 分）设a＝log32，b＝log53，c＝
，则（ ）
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
11．（5 分）在△ABC 中，cosC＝
，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ）
A．
B．2
C．4
D．8
12．（5 分）已知函数f（x）＝sinx+
，则（ ）
A．f（x）的最小值为2
B．f（x）的图象关于y 轴对称
C．f（x）的图象关于直线x＝π 对称
D．f（x）的图象关于直线x＝
对称
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
则z＝3x+2y 的最大值为 ．
14．（5 分）设双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝
x，则C 的离心率为 ．
15．（5 分）设函数f（x）＝
，若f′（1）＝
，则a＝ ．
16．（5 分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 ．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作
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答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）设等比数列{an}满足a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列{log3an}的前n 项和．若Sm+Sm+1═Sm+3，求m．
18．（12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据
得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
（200，400]
（400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1 或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3 或4，则称这天
“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中
到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400
人次＞400
空气质量好
空气质量不好
附：K2＝
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19．（12 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F 分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．证明：
（1）当AB＝BC 时，EF⊥AC；
（2）点C1在平面AEF 内．
20．（12 分）已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有三个零点，求k 的取值范围．
21．（12 分）已知椭圆C：
+
＝1（0＜m＜5）的离心率为
，A，B 分别为C 的左、右顶点．
（1）求C 的方程；
（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x＝6 上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ 的面积．
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（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标
系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
（t 为参数且t≠1），C 与坐标轴交于A，B
两点．
（1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．
（1）证明：ab+bc+ca＜0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥
．
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2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B 中元素的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B，进而能求出A∩B 中元素的个数．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15），
∴A∩B＝{5，7，11}，
∴A∩B 中元素的个数为3．
故选：B．
【点评】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5 分）若（1+i）＝1﹣i，则z＝（ ）
A．1﹣i
B．1+i
C．﹣i
D．i
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：由（1+i）＝1﹣i，得
，
∴z＝i．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．（5 分）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ）
A．0.01
B．0.1
C．1
D．10
【分析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，求出新数据的方差即可．
【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，
∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，
∴数据10x1，10x2，…，10xn的方差为：100×0.01＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了方差的性质，掌握根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长是解题的关键，本
题属于基础题．
4．（5 分）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎
累计确诊病例数I（t）（t 的单位：天）的Logistic 模型：I（t）＝
，其中K 为最大确诊病例数．当I
（t*）＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ ）（ln19≈3）
A．60
B．63
C．66
D．69
【分析】根据所给材料的公式列出方程
＝0.95K，解出t 即可．
【解答】解：由已知可得
＝0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53）＝
，
两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，
解得t≈66，
故选：C．
【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题
5．（5 分）已知sinθ+sin（θ+
）＝1，则sin（θ+
）＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．
【解答】解：∵sinθ+sin（
）＝1，
∴sinθ+
sinθ+
cosθ＝1，
即
sinθ+
cosθ＝1，
得
（
cosθ+
sinθ）＝1，
即
sin（
）＝1，
得sin（
）＝
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本
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题的关键．难度不大．
6．（5 分）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点．若
•
＝1，则点C 的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
【分析】设出A、B、C 的坐标，利用已知条件，转化求解C 的轨迹方程，推出结果即可．
【解答】解：在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，
不妨设A（﹣a，0），B（a，0），设C（x，y），
因为
＝1，
所以（x+a，y）•（x﹣a，y）＝1，
解得x2+y2＝a2+1，
所以点C 的轨迹为圆．
故选：A．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力．
7．（5 分）设O 为坐标原点，直线x＝2 与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E 两点，若OD⊥OE，则C 的焦点坐标为
（ ）
A．（
，0）
B．（
，0）
C．（1，0）
D．（2，0）
【分析】利用已知条件转化求解E、D 坐标，通过kOD•kOE＝﹣1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．
【解答】解：将x＝2 代入抛物线y2＝2px，可得y＝±2
，OD⊥OE，可得kOD•kOE＝﹣1，
即
，解得p＝1，
所以抛物线方程为：y2＝2x，它的焦点坐标（
，0）．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
8．（5 分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．
【解答】解：因为点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离d＝
＝
＝
；
∵要求距离的最大值，故需k＞0；
可得d≤
＝
；当k＝1 时等号成立；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，属于基础题．
9．（5 分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A．6+4
B．4+4
C．6+2
D．4+2
【分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是正方体的一个角，如图：
PA＝AB＝AC＝2，PA、AB、AC 两两垂直，
故PB＝BC＝PC＝2
，
几何体的表面积为：3×
＝6+2
，
故选：C．
【点评】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．
10．（5 分）设a＝log32，b＝log53，c＝
，则（ ）
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
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【解答】解：∵a＝log32＝
＜
＝
，
b＝log53＝
＞
＝
，
c＝
，
∴a＜c＜b．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是
基础题．
11．（5 分）在△ABC 中，cosC＝
，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ）
A．
B．2
C．4
D．8
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanC 的值，利用余弦定理可求AB 的值，可得A＝C，利用三角
形的内角和定理可求B＝π﹣2C，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解tanB 的值．
【解答】解：∵cosC＝
，AC＝4，BC＝3，
∴tanC＝
＝
，
∴AB＝
＝
＝3，可得A＝C，
∴B＝π﹣2C，
则tanB＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C＝
＝
＝4
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的内角和定理，诱导公式，二倍角的正切
函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
12．（5 分）已知函数f（x）＝sinx+
，则（ ）
A．f（x）的最小值为2
B．f（x）的图象关于y 轴对称
C．f（x）的图象关于直线x＝π 对称
D．f（x）的图象关于直线x＝
对称
【分析】设sinx＝t，则y＝f（x）＝t+
，t∈[﹣1，1]，由双勾函数的图象和性质可得，y≥2 或y≤﹣2，故可判断A；根
据奇偶性定义可以判断B 正误；根据对称性的定义可以判断C，D 的正误．
【解答】解：由sinx≠0 可得函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故定义域关于原点对称；
设sinx＝t，则y＝f（x）＝t+
，t∈[﹣1，1]，由双勾函数的图象和性质得，y≥2 或y≤﹣2，故A 错误；
又有f（﹣x）＝sin（﹣x）+
＝﹣（sinx+
）＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，且定义域关于原点对称，故
图象关于原点中心对称；故B 错误；
f（π+x）＝sin（π+x）+
＝﹣sinx﹣
；f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+
＝sinx+
，故f（π+x）
≠f（π﹣x），f（x）的图象不关于直线x＝π 对称，C 错误；
又f（
+x）＝sin（
+x）+
＝cosx+
；f（
﹣x）＝sin（
﹣x）+
＝cosx+
，故f（
+x）＝f（
﹣x），定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f（x）的图象关于直线x＝
对称；D 正确；
故选：D．
【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质，考查了对函数奇偶性和对称性质的灵活应用能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
则z＝3x+2y 的最大值为
7
．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x+2y 表示直线在y 轴上的截距的一半，只需
求出可行域内直线在y 轴上的截距最大值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由
解得A（1，2），
如图，当直线z＝3x+2y 过点A（1，2）时，目标函数在y 轴上的截距取得最大值时，此时z 取得最大值，
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即当x＝1，y＝2 时，zmax＝3×1+2×2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14．（5 分）设双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝
x，则C 的离心率为
．
【分析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a，b 的关系，再由离心率的公式及a，b，c 之间的关系
求出双曲线的离心率．
【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝±
x，
由题意可得
＝
，所以离心率e＝
＝
＝
，
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
15．（5 分）设函数f（x）＝
，若f′（1）＝
，则a＝
1
．
【分析】先求出函数的导数，再根据f′（1）＝
，求得a 的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝
，∴f′（x）＝
，
若f′（1）＝
＝
，∴
＝
，则a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题．
16．（5 分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为
2 π
．
【分析】由条件易知该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内接球，作图，数形结合即可．
【解答】解：当球为该圆锥内切球时，半径最大，
如图：BS＝3，BC＝1，则圆锥高SC＝
＝
＝2
，
设内切球与圆锥相切与点D，半径为r，则△SOD∽△SCB，
故有
＝
，即
，解得r＝
，
所以该球的表面积为4πr2＝2π．
故答案为：2π．
【点评】本题考查圆锥内切球半径求法，考查球的表面积公式，数形结合思想，属于中档题．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作
答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）设等比数列{an}满足a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列{log3an}的前n 项和．若Sm+Sm+1═Sm+3，求m．
【分析】（1）设其公比为q，则由已知可得
，解得a1＝1，q＝3，可求其通项公式．
（2）由（1）可得log3an＝n﹣1，是一个以0 为首项，1 为公差的等差数列，可求Sn＝
，由已知可得
第7页（共11页）
+
＝
，进而解得m 的值．
【解答】解：（1）设公比为q，则由
，
可得a1＝1，q＝3，
所以an＝3n﹣1．
（2）由（1）有log3an＝n﹣1，是一个以0 为首项，1 为公差的等差数列，
所以Sn＝
，
所以
+
＝
，m2﹣5m﹣6＝0，
解得m＝6，或m＝﹣1（舍去），
所以m＝6．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，等差数列的求和，考查了转化思想和方程思想的应用，属
于基础题．
18．（12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据
得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
（200，400]
（400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1 或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3 或4，则称这天
“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中
到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400
人次＞400
空气质量好
空气质量不好
附：K2＝
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4 的概率；
（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；
（3）由公式
计算k 的值，从而查表即可，
【解答】解：（1）该市一天的空气质量等级为1 的概率为：
＝
；
该市一天的空气质量等级为2 的概率为：
＝
；
该市一天的空气质量等级为3 的概率为：
＝
；
该市一天的空气质量等级为4 的概率为：
＝
；
（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：＝100×0.20+300×0.35+500×0.45＝350；
（3）根据所给数据，可得下面的2×2 列联表，
人次≤400
人次＞400
总计
空气质量好
33
37
70
空气质量不好
22
8
30
总计
55
45
100
由表中数据可得：K2＝
＝
≈5.820＞3.841，
所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
【点评】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题．
19．（12 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F 分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．证明：
（1）当AB＝BC 时，EF⊥AC；
（2）点C1在平面AEF 内．
第8页（共11页）
【分析】（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝BC，可得AC⊥平面BB1D1D，因为EF⊂平面BB1D1D，所
以EF⊥AC．
（2）取AA1上靠近A1的三等分点M，连接DM，C1F，MF．根据已知条件可得四边形AED1M 为平行四边形，得
D1M∥AE，再推得四边形C1D1MF 为平行四边形，所以D1M∥C1F，根据直线平行的性质可得AE∥C1F，所以
A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF 内．
【解答】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，所以BB1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1，
因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝BC，所以ABCD 是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩BB1＝B．
所以AC⊥平面BB1D1D，又因为点E，F 分别在棱DD1，BB1上，所以EF⊂平面BB1D1D，
所以EF⊥AC．
（2）取AA1上靠近A1的三等分点M，连接D1M，C1F，MF．
因为点E 在DD1，且2DE＝ED1，所以ED∥AM，且ED＝AM，
所以四边形AED1M 为平行四边形，所以D1M∥AE，且D1M＝AE，
又因为F 在BB1上，且BF＝2FB1，所以 A1M∥FB1，且A1M＝FB1，
所以A1B1FM 为平行四边形，
所以FM∥A1B1，FM＝A1B1，即FM∥C1D1，FM＝C1D1，
所以C1D1MF 为平行四边形，
所以D1M∥C1F，
所以AE∥C1F，所以A，E，F，C1四点共面．
所以点C1在平面AEF 内．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线平行的性质应用，是中档题．
20．（12 分）已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有三个零点，求k 的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于k 的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3x2﹣k，
k≤0 时，f′（x）≥0，f（x）在R 递增，
k＞0 时，令f′（x）＞0，解得：x＞
或x＜﹣
，
令f′（x）＜0，解得：﹣
＜x＜
，
∴f（x）在（﹣∞，﹣
）递增，在（﹣
，
）递减，在（
，+∞）递增，
综上，k≤0 时，f（x）在R 递增，
k＞0 时，f（x）在（﹣∞，﹣
）递增，在（﹣
，
）递减，在（
，+∞）递增；
（2）由（1）得：k＞0，f（x）极小值＝f（
），f（x）极大值＝f（﹣
），
若f（x）有三个零点，
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只需
，解得：0＜k＜
，
故k∈（0，
）．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道常规题．
21．（12 分）已知椭圆C：
+
＝1（0＜m＜5）的离心率为
，A，B 分别为C 的左、右顶点．
（1）求C 的方程；
（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x＝6 上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ 的面积．
【分析】（1）根据e＝
，a2＝25，b2＝m2，代入计算m2的值，求出C 的方程即可；
（2）设出P，Q 的坐标，得到关于s，t，n 的方程组，求出AP（8，1），AQ（11，2），从而求出△APQ 的面积．
【解答】解：（1）由e＝
得e2＝1﹣
，即
＝1﹣
，∴m2＝
，
故C 的方程是：
+
＝1；
（2）由（1）A（﹣5，0），设P（s，t），点Q（6，n），
根据对称性，只需考虑n＞0 的情况，
此时﹣5＜s＜5，0＜t≤
，
∵|BP|＝|BQ|，∴有（s﹣5）2+t2＝n2+1①，
又∵BP⊥BQ，∴s﹣5+nt＝0②，
又
+
＝1③，
联立①②③得
或
，
当
时，则P（3，1），Q（6，2），而A（﹣5，0），
则
＝（8，1），
＝（11，2），
∴S△APQ＝
＝
|8×2﹣11×1|＝
，
同理可得当
时，S△APQ＝
，
综上，△APQ 的面积是
．
【点评】本题考查求椭圆方程以及了直线和椭圆的关系，考查转化思想，是一道综合题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标
系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
（t 为参数且t≠1），C 与坐标轴交于A，B
两点．
（1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．
【分析】（1）可令x＝0，求得t，对应的y；再令y＝0，求得t，对应的x；再由两点的距离公式可得所求值；
（2）运用直线的截距式方程可得直线AB 的方程，再由由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得所求极坐标方程．
【解答】解：（1）当x＝0 时，可得t＝﹣2（1 舍去），代入y＝2﹣3t+t2，可得y＝2+6+4＝12，
当y＝0 时，可得t＝2（1 舍去），代入x＝2﹣t﹣t2，可得x＝2﹣2﹣4＝﹣4，
所以曲线C 与坐标轴的交点为（﹣4，0），（0，12），
则|AB|＝
＝4
；
（2）由（1）可得直线AB 过点（0，12），（﹣4，0），
可得AB 的方程为
﹣
＝1，
即为3x﹣y+12＝0，
由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
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可得直线AB 的极坐标方程为3ρcosθ﹣ρsinθ+12＝0．
【点评】本题考查曲线的参数方程的运用，考查直线方程的求法和两点的距离公式的运用，考查极坐标方程和直
角坐标方程的互化，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．
（1）证明：ab+bc+ca＜0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥
．
【分析】（1）将a+b+c＝0 平方之后，化简得到2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2）＜0，即可得证；
（2）利用反证法，假设a≤b＜0＜c＜
，结合条件推出矛盾．
【解答】证明：（1）∵a+b+c＝0，∴（a+b+c）2＝0，
∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0，
∴2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2），
∵abc＝1，∴a，b，c 均不为0，
∴2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2）＜0，
∴ab+ac+bc＜0；
（2）不妨设a≤b＜0＜c＜
，则ab＝
＞
，
∵a+b+c＝0，∴﹣a﹣b＝c＜
，
而﹣a﹣b≥2
＞
＝
＝
＝
，与假设矛盾，
故max{a，b，c}≥
．
【点评】本题考查基本不等式的应用和利用综合法与反正法证明不等式，考查了转化思想，属于中档题．
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