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专题六 函数、导数与不等式
第十五讲 函数的图像与性质
1．（2024•武汉四调）记
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
2．（2024•永州三模）已知函数
，其中
是自然对数的底数．若
（3）
，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
3．（2024•全国甲卷）函数
的区间
，
的图像大致为
A．
B．
C．
D．
4．（2024•重庆模拟）已知函数
是定义域为
的单调函数，且满足对任意的
，都有
，则
A．
（2）
B．若关于
的方程
有2 个不相等的实数根
，
，则
C．若函数
的值域为
，则实数
的取值范围为
D．若函数
满足对任意的实数
，
，且
，都有
成
立，则实数
的取值范围为
，
5．（2024•合肥二模）已知函数
，若关于
的方程
至少有两个不
同的实数根，则
的取值范围是
A．
B．
，
C．
D．
6．（2024•河北模拟）已知
是定义域为
的偶函数，当
时，
，若
有且
仅有3 个零点，则关于
的不等式
的解集为
A．
，
，
B．
C．
，
，
D．
，
，
7．（2024•湖北模拟）已知函数
，若函数
恰有4 个不同
的零点，则
的取值范围是
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
8．（2024•开封模拟）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函数为
，
表示不超过
的最大整数，例如
，
．下列命题中正确的有
A．
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
【精选练习】
9．（2024•新高考Ⅰ卷）已知函数为
在
上单调递增，则
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
10．（2024•郑州模拟）已知
，则
的值为 ．
11．（2024•邯郸模拟）已知
是定义在
上的偶函数，
，且
在
，
上单调递
减，若
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
12．（2024•广州一模）已知函数
的部分图像如图所示，则
的解析式可能是
A．
B．
C．
D．
13.．（2024•湛江二模）已知函数
，
，则
A．当
有2 个零点时，
只有1 个零点
B．当
有3 个零点时，
有2 个零点
C．当
有2 个零点时，
有2 个零点
D．当
有2 个零点时，
有4 个零点
14．（2024•义乌市模拟）若函数
，则方程
的实数根个数为
A．2
B．3
C．4
D．5
15．（2024•杭州二模）设集合
，
，
且
，函数
且
，
则
A．
，
，
为增函数
B．
，
，
为减函数
C．
，
，
为奇函数
D．
，
，
为偶函数
16．（2024•临汾模拟）已知函数
，则下列结论正确的是
A．函数
在
上单调递增
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
，方程
都有两个不等的实根
D．不等式
恒成立
17．（2024•温州模拟）已知函数
则关于
的方程
的根个数不可能是
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
第十六讲 利用导数研究函数的性质
1．（2024•随州模拟）设函数
的定义域为
，其导函数为
，且满足
，
（2）
，则不等式
的解集是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（2024•南昌二模）已知
，则下列说法中正确的是
A．
在
上可能单调递减
B．若
在
上单调递增，则
，
，
C．
是
的一个对称中心
D．
所有的对称中心在同一条直线上
3．（2024•深圳一模）已知函数
，设曲线
在点
，
处
切线的斜率为
，2，
，若
，
，
均不相等，且
，则
的最小值为 ．
4．（2024•聊城三模）已知函数
．
（1）若曲线
与
有一条斜率为2 的公切线，求实数
的值；
（2）设函数
，讨论
的单调性．
5．（2024•新高考Ⅱ卷）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
，
（1）处的切线方程；
（2）若
有极小值，且极小值小于0，求
的取值范围．
6．（2024•新高考Ⅱ卷）设函数
，则
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在
，
，使得
为曲线
的对称轴
D．存在
，使得点
，
（1）为曲线
的对称中心
7．（2024•南通模拟）已知函数
的极小值为
，其导函数
的图象经过
，
两点．
（1）求
的解析式；
（2）若曲线
恰有三条过点
的切线，求实数
的取值范围．
【精选练习】
8．（2024•青岛一模）已知函数
．
（1）若
，曲线
在点
，
处的切线斜率为1，求该切线的方程；
（2）讨论
的单调性．
9．（2024•吕梁模拟）已知函数
．
（1）当
时，求
的单调区间和极值；
（2）求
在区间
，
上的最大值．
10.．（2024•福州模拟）若直线
与曲线
相切，则
的取值范围为
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
11.．（2024•镇江模拟）如果函数
在区间
，
上为增函数，则记为
，函数
在区间
，
上为减函数，则记为
．已知
，则实数
的最小值为 ；函数
，且
，
，则实数
．
12.．（2024•江苏模拟）已知
，
，
，
，
，则
的最小值为 ．
13．（2024•太原三模）已知
是函数
的极值点，若
，则下
列结论正确的是
A．
的对称中心为
B．
C．
D．
14．（2024•开封模拟）已知函数
．
（1）讨论
的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）函数
；若方程
在
上存在实根，试比较
与
的大小．
15．（2024•济南模拟）已知函数
，
为
的导数．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
是
的极大值点，求
的取值范围；
（3）若
，证明：
．
第十七讲 导数与函数零点
1．（2024•郑州三模）已知函数
．
（Ⅰ）若
，求
在
，
（1）处的切线方程；
（Ⅱ）讨论
的零点个数．
2．（2024•临汾二模）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，求
的取值范围．
3．（2024•聊城一模）已知函数
，
，
．
（1）求
的单调递增区间；
（2）求
的最小值；
（3）设
，讨论函数
的零点个数．
【精选练习】
4．（2024•福州模拟）已知函数
有两个零点，则
A．
B．
C．
D．
5．（2024•岳阳模拟）已知函数
，
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若方程
有三个不同的实根，求
的取值范围．
6．（2024•天津模拟）已知函数
，
．
（1）证明：当
时，
；
（2）若函数
有两个零点
，
，求
的取值范围．
7．（2024•晋中模拟）已知函数
，
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若函数
存在两个极值点，求实数
的取值范围．
8．（2024•宁德模拟）已知函数
的图象在
处的切线过点
．
（1）求
在
，
上的最小值；
（2）判断
在
内零点的个数，并说明理由．
9．（2024•苏州模拟）已知函数
．
（1）求
的极值；
（2）证明：
．
第十八讲 导数与不等关系
1．（2024•湖北模拟）已知
，则下列不等式正确的有
A．
B．
C．
D．
2．（2024•泰安三模）已知函数
．
（1）讨论
的最值；
（2）若
，且
，求
的取值范围．
3．（2024•福州模拟）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）求证：
；
（3）若
，
且
，求证：
．
【精选练习】
4．（2024•十堰模拟）已知
，存在唯一的整数
，使得
成立，则
的取值范
围是
A．
B．
C．
D．
5．（2024•邵阳模拟）设函数
，
．
（1）求
的极值；
（2）若对任意
，有
恒成立，求
的最大值．
6．（2024•广州一模）已知函数
，
．
（1）求
的单调区间和极小值；
（2）证明：当
，
时，
．
7．（2024•漳州模拟）已知函数
．
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）若不等式
恒成立，求
的取值范围；
（Ⅲ）当
时，试判断函数
的零点个数，并给出证明．
8．（2024•蚌埠模拟）已知函数
．
（1）当
时，证明：
；
（2）若
，求实数
的取值范围．
微专题14 必要性探路的应用
1．（2024•安庆二模）已知函数
．
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若不等式
对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围．
2．（2024•全国甲卷改编）已知
．
（1）当
时，求曲线
在点
，
（1）处的切线方程；
（2）当
时，求函数
的极值；
（3）当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
3．（2024•镇江模拟）已知函数
．
（1）判断函数
在区间
上极值点和零点的个数，并给出证明；
（2）若
恒成立，求实数
．
【精选练习】
4．（2024•宜昌模拟）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
，
（1）处的切线方程；
（2）若
恒成立，求实数
的取值范围．
5．（2024•聊城模拟）已知函数
．
（1）当
时，判断
在
的单调性；
（2）当
，
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
6．（2024•新高考Ⅱ卷）已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求实数
的取值范围；
（3）设
，证明：
．
7．（2024•南通模拟）已知函数
．
（1）当
时，求函数
在区间
，
上的值域
为自然对数的底数）；
（2）若函数
在区间
上存在唯一零点，求
的取值范围；
（3）设函数
，当
时，
恒成立，求整数
的最小值．（参考数据：
，
微专题15 抽象函数的应用
1 ．（2024• 安徽二模）函数
是定义在
上的奇函数，对任意两个正数
，
都有
，记
（2），
（1），
，则
，
，
之间的大小关系为
A．
B．
C．
D．
2 ．（2024• 广州二模）已知函数
的定义域为
，且
，
，则
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2024•扬州模拟）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函数，若
（1）
，则
A．23
B．24
C．25
D．26
4．（2024•新疆模拟）已知函数
，
的定义域为
，
为
的导函数，且
，
，若
为偶函数，则下列一定成立的
A．
（4）
B．
（1）
（3）
C．
D．
【精选练习】
5．（2024•广东模拟）已知函数
是定义在
上不恒为零的函数，若
，则
A．
（1）
B．
C．
为偶函数
D．
为奇函数
6．（2024•赣州模拟）函数
及其导函数
的定义域均为
，
和
都是奇函数，则
A．
的图象关于直线
对称
B．
的图象关于点
对称
C．
是周期函数
D．
7 ．（2024• 葫芦岛模拟）已知定义在
上的函数
满足
，且
，若
，则
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
是周期函数
D．
8．（2024•浙江模拟）定义在
上的两个函数
和
，已知
，
．
若
图象关于点
对称，则
，
（1）
（2）
（3）
．
9．（2024•鹰潭二模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．若函数
与
均为偶函数，则下列结论中正确的是
A．
（2）
B．函数
的图象关于点
对称
C．
D．
10.（2024•马鞍山模拟）已知函数
，
是定义在
上的可导函数，其导函数分别为
，
，
其中
的图象关于点
对称，
的图象关于直线
对称，
，
（1）
，则
A．
B．
C．
D．
微专题16 导数同构
1．（2024•滨州一模）若
，为自然对数的底数，则下列结论错误的是
A．
B．
C．
D．
2．（2024•济南模拟）已知实数
，
满足
，
，则
．
3．（2024•杭州模拟）若函数
有两个零点，则实数
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
D．
4．（2024•扬州模拟）已知函数
，（其中
为参数）．
（1）若
，且直线
与
的图象相切，求实数
的值；
（2）若对任意
，不等式
成立，求正实数
的取值范围．
【精选练习】
5．（2024•赣州模拟）已知函数
，
．若
，则
的取值范围为
A．
，
B．
，
C．
D．
6．（2024•滨州二模）已知函数
，若
恒成立，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
7．（2024•湖北模拟）已知
，
，与
轴平行的直线与
和
的图象分别交
于
，
两点，则
的最小值是
A．1
B．
C．
D．
8．（2024•许昌模拟）若关于
的不等式
恒成立，则实数
的最大值为
A．
B．
C．1
D．
9．（2024•重庆模拟）已知函数
，若
恒成立，则实数的取值范围 ．
10．（2024•衡水模拟）已知关于
的不等式
恒成立，
的最小值为
，则
，
并求
的最小值为 （其中为自然对数的底数）
11．（2024•包头二模）已知不等式
对任意的实数
恒成立，则
的最大值为 ．
12．（2024•广州二模）已知函数
与函数
的图象有且仅有两个不同的
交点，则实数
的取值范围为 ．
微专题17 双重最值问题
1 ．（2024• 盐城一模）用
，
表示
，
中的最小数．已知函数
，则
，
的最大值为
A．
B．
C．
D．
2．（2024•九省联考）以
表示数集
中最大的数．设
，已知
或
，则
，
，
的最小值为 ．
【精选练习】
3．（2024•台州模拟）定义
，
，
为
，
，
中的最大值，设
，
，
，则
的最小值是
A．2
B．3
C．4
D．6
4．（2024•天津模拟）记
，
为
、
两数的最小值，当正数
，
变化时，令
，
，则的最大值为 ．
5．（2024•湖北模拟）定义
，
，
表示
，
，
中的最小值．已知实数
，
，
满足
，
，则
A．
，
，
的最大值是
B．
，
，
的最大值是
C．
，
，
的最小值是
D．
，
，
的最小值是
6 ．（2024• 邯郸模拟）记
，
，
表示
，
，
中最小的数．设
，
，则
的最大值为 ．
微专题18 双变量问题
1．（2024•湖北模拟）已知函数
，若关于
的方程
有两个正实数根
，
且
．
（1）求实数
的取值范围；
（2）求证：
．
2．（2021•新高考Ⅰ）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
．
3．（2024•邯郸模拟）已知函数
，
．
（Ⅰ）求曲线
在点
，
处的切线方程．
（Ⅱ）已知关于
的方程
恰有4 个不同的实数根
，
，
，
，其中
，
．
求
的取值范围；
求证：
．
4．（2015•天津）已知函数
，
．
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）设曲线
与
轴正半轴的交点为
，曲线在点
处的切线方程为
，求证：对于任意
的实数
，都有
；
（Ⅲ）若方程
为实数）有两个实数根
，
，且
，求证：
．
【精选练习】
5．（2024•合肥二模）已知函数
为自然对数的底数）．
（1）求函数
的零点
，以及曲线
在
处的切线方程；
（2）设方程
有两个实数根
，
，求证：
．
6．（2024•潍坊三模）设函数
．
（1）求曲线
在点
，
处的切线方程；
（2）若关于
的方程
有两个实根，设为
，
，证明：
．
7．（2024•上饶一模）已知函数
，若
为实数，且方程
有两个不同的实数根
，
．
（1）求
的取值范围；
（2）
证明：对任意的
都有
；
求证：
．
跨章节综合8 导数与三角
1．（2024•唐山二模）（1）证明：
；
（2）若
，
，利用（1）结合自己所学知识，求
．
【精选练习】
2．（2024•岳阳模拟）已知
的三个角
，
，
的对边分别为
，
，
且
，点
在边
上，
是
的角平分线，设
（其中
为正实数）．
（1）求实数
的取值范围；
（2）设函数
①当
时，求函数
的极小值；
②设
是
的最大零点，试比较
与1 的大小．
跨章节综合9 导数与数列
1．（2024•扬州模拟）已知函数
．
（1）若
，求
的最小值；
（2）设数列
前
项和
，若
，求证：
．
【精选练习】
2．（2024•济宁一模）已知函数
．
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
，证明：对任意
，存在唯一的实数
，
，使得
成
立；
（3）设
，数列
的前
项和为
．证明：
．
