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微专题13 导数解答题之双变量问题
【秒杀总结】
1、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为
含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果；
四是主元法.
【典型例题】
例1．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 ，其
中 为自然对数的底数，约为 .
(1)求函数 的极小值；
(2)若实数 满足 且 ，证明： .
【解析】（1）由题意可知， .
令 ，则 ，解得 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增.
所以当 时，函数 取得极小值为 .
（2）若 ，则显然成立；
若 ，令 ，因为 .
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；
，
令 ，
则.
令 ，
则 .
令 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 在 时递增，从而 ，即 ，
所以 在 时递减，所以 ，
从而 ，
所以 ，
所以 ，即 .
例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)当 ，求函数 的最大值；
(3)若函数 在定义域内有两个不相等的零点 ，证明： .
【解析】（1）当 时 ， ，
， ， 切线方程为： .
（2） ，
①当 时， ， 在[1，2]单调递减，
②当 时，
在 单调递增，
③当 时， ，（i）当 即 时，
在 单调递减， 上递增
（ii）当 即 时，
在 单调递减， ，
综上： .
（3）证明：要证 ，
只需证 ，
只需证 ，
因为 ， ，
两式相减得： .
整理得 .
所以只需证 ，
即证 ，
即 ，不妨设 ，令 ，
只需证 ，
只需证 ，
设 ，只需证当 时， 即可.
，
在 单调递减，
当 时， ，
在 单调递增，当 时 ，
原不等式得证.
例3．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知函数
．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明：当 时， ．
【解析】（1）当 时, ,
,故 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由题意得 ，
由当 时， 恒成立，而 ，即 时函数取得最小值，
由于 ， ，
故 ，
当 时， ，等号仅会在 时取得，则 ，
此时当 时， 递增，且 ；
下面证明只有 时，当 时， 恒成立.
因为 ，所以 ，
只需证明 恒成立；
设 ，令 ，仅在 时取得等号，
故 单调递增，则 ，
故 单调递增，
所以 ，即此时当 时， 恒成立.
当 时， ，
则 ，令 ，
则 ，在 上为增函数，
且 ， ，
故存在 使得 ，
则 时， ，则 递减，
且 ，
即 在 上递减，
而 ，则当 时， ，与题设矛盾，
故当 时，不合题意，
综合上述可知： .
（3）当 时，令 ，则 ，即 ，
故要证明当 时， ，
只需证明： ，
令 ，则 ，
故需证明： ，
令 ，则需证： 恒成立，
由（2）知 恒成立，即 恒成立，故当 时， .
例4．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知 ，记 的导
函数为 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有三个零点 ，且 ，证明： ．
【解析】（1）由题意知： 定义域为 ， ，
即 ， ；
令 ，则 ；
①当 ，即 时， 恒成立，即 恒成立，
在 上单调递增；
②当 ，即 或 时，令 ，解得： ；
当 时， ， 在 上恒成立，即 恒
成立，
在 上单调递增；
当 时， ，
当 时， ，即 ；当
时， ，即 ；
在 上单调递增，，在 上单
调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在
上单调递增，，在 上单调递减.
（2）若 有三个零点，则由（1）知： ，又 ， ，
， ， ；
， ，
又 ， ；
要证 ，只需证 ，即证 ；
由 得： ，即 ，
即证 ，又 ， 只需证 ；
令 ，则 ，
在 上单调递增， ，
即当 时， 恒成立，
， ，则原不等式得证.
例5．（2023·浙江·高三校联考期末）已知函数 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)证明： ．
【解析】（1）设 ，则 ，
，令 ，可得 ，
令 ，其中 ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， .
①当 时， ，则 且 不恒为零，
所以，函数 在 上单调递减，
所以，当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以， ，即 ；
②当 时， ，则 ，
所以，函数 在 上单调递减，
因为 ， ，
此时，存在 ，使得 ，且当 ， ， 单调递减，
所以， ，不合乎题意；
③当 时， ，
因为 ， ，
由于函数 在 上单调递减，故存在 ，使得当 时， ，
此时， ，则函数 在 上单调递增，
故当 时， ， 单调递增，
所以， ，不合乎题意.
综上所述，若 ， .
（2）证明：设 ，则 ，
，令 ，可得 .
当 时，设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减.
所以，当 时， ，
因为当 时， 且 ，此时 ，
当 时， ，此时也有 ，
所以，当 时， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以，当 时， ，所以， ，
所以， ，故原不等式得证.
例6．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知直线l与曲线 相切于点
．证明：
(1)l与曲线 恰存在两个公共点 ；
(2) ．
【解析】（1） ，所以在 处的切线方程为 ，
令 ，则原问题转化为 存在2个零点： ，并
且 ，
令 ，则 ，
显然 在 递增， 递减， ， ，
，故存在唯一的 ，
使得 在 递减， 递增， 递减，并且 ，
，
，
，
，下面证明 ：
令 ，则 ， ，则 ，由于 ，即 ，
考察函数 ，则 ，当 时单调递减， 时单调递增，
，并且当 时， ， 的图像大致如下图：
下面证明极值点偏移问题：令 ，
， ， ，
是减函数， ， ，即 ，
，
由于 ， 的大致图像如下图：
故存在 ，并且只有当 时， ，当 时
；（2）先证明 ，即 ，
由（1）的结论知，只需证明 ，即 ，
即 ，整理，
只需 ，
令 ，即证 ，即 ，
在 递增 ，得证．
由均值不等式： ，故 ．
例7．（2023·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)若 为方程 的两个不相等的实根，证明：
（i） ；
（ii） .
【解析】（1） ， ，又
，
所求切线方程为： ，即 .
（2）（i）令 ，则 定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增； ，即 ， ，即 ；
（ii）令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，又 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
，即 ；
不妨设 ，
与 的交点为 ，；与 的交点为 ，
由图象可知： ， ；
.
例8．（2023·河北邯郸·高三统考期末）已知函数 （其中e为自然对数的底
数）.
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)已知 是 的极大值点，若 ，且 .证明：
.【解析】（1） ，
则 ，
则曲线 在 处的切线的斜率为 ，
，则切点坐标为 ，
则曲线 在 处的切线方程为 ，
整理得： ；
（2） ，
则 ，
设 ，
则 ，
则当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，
则 ，
， ，
则存在 ，使得 ，即 ，
，则当 时， ，
则 在 上单调递减，
，则 ，
则要证明 ，即证明 ，
即 ，
在 上单调递减，且 ，且 ，
，
， ，则要证明 ，即证明 ，
，
证明 即可，
令 ，
则 ，
，
，
，
则 在 单调递增，
则 ，
则 ，
即证得 .
例9．（2023·江苏无锡·高三统考期末）已知函数 ．
(1)若 有两个零点，求a的取值范围；
(2)若方程 有两个实数根 ，且 ，证明： ．
【解析】（1） ．
当 时， ， 在R上单调递增， 不可能有两个零点；
当 时，令 且 在 上单调递减，在 上单调递
增，
要使 有两个零点，首先必有 ，
当 时，注意到 ， ， ，
∴ 在 和 上各有一个零点 符合条件．
综上：实数a的取值范围为 ．
（2）由 有两个实根 ，不妨设 ，
∴令 ，
∴ 有两个实根 ， ，故 ，
要证： ，只需证： ，
由 ，结合①知
① ②得： ，
要证： ，即证： ，
而由 可得： ，
下证： ， ，
即证 ， ，
令 ，则 ，
令 ， ，
在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
故 ，
所以 ，解得： ，证毕.
【过关测试】
1．（2023·浙江绍兴·高三期末）已知函数 ．
(1)若 ，记 的最小值为m，求证： ．
(2)方程 有两个不同的实根 ，且 ，求证： ．
【解析】（1）若 ， ， ，
设 ， ，
在 上单调递增，即 在 上单调递增，又 ，，
使 ，
时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增．
，
函数 在 上单调递减， .
（2）设 ，当 ，有 ，
设 ，则 存在两个不相等的实根 ，且
，
要证 ，只要证： ，只要证：
设 ， ，
要证： ，只要证： ，只要证：
设 ，则 ，
设 ，
单调递增， ， 在 上单调递增，
， ， 在 上单调递增
，得证．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程
中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问
题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
2．（2023·浙江·高三期末）已知函数 ．
(1)证明：函数 在区间 上有2个零点；(2)若函数 有两个极值点： ，且 ．求证：
（其中 为自然对数的底数）.
【解析】（1）记函数 ，由 ，
则 ，所以函数 在区间 上单调递减，
又 ．根据零点存在定理，
存在 时， ，
即函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
而 ， ，
所以函数 在区间 上有一个零点 ，在区间 上有一个零点 ，
故函数 在区间 上有2个零点．
（2）由函数 有两个极值点，
则 时，方程 有两个不等实根．记 ，则 ，
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
因此 有极大值 ，且 时， 时， ，
于是 ，且 ．
先证明 ，只要证 ，即证 ，
设 ，
则 ，因为 ，所以 ，
即函数 在区间 上单调递增，于是 ，
所以 ．
再证明 ．
先证当 时， ；当 时， ．
设 ，则 ，
于是， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，因此 ，所以函数 在区间 上单调递增，而 ，
即当 时， ；当 时， ，
于是，当 时， ；
当 时， ，
设方程 的两个根为 ，则 ，
即方程 的两个根为 ，
于是
故 ．
3．（2023·河南三门峡·高三统考期末）已知函数 与函数
有相同的极值点与极值.
(1)求a，b；
(2)若方程 与 分别有两个解p，q（ ）和r，s（ ）.
①分别用p，q表示出r，s；
②求证： .
【解析】（1）由 的定义域为 ， ，
得 ， 得 ， 得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，故 在 处取得极小值，且
，
由 ，由题意可得， ， ，解得 ， .
（2）①由（1）知， ，且 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ， ， ， .
且 ， ， ， ，
又 可化为 ， ，
即 是 的解，同理 也是它的解，所以 ，.
②由①知，证明 即证 ，
令 ，则 ， ，
则 ，所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，因为 ，
所以 ，由 在 单调递增，
所以 ， ，
即 .
4．（2023·河北石家庄·高三统考期末）已知函数 .
(1)设 ，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 ，若存在正实数 ，满足 ，证
明： .
【解析】（1） ， ， ；
①当 时， 恒成立， 在 上单调递减，
，满足题意；
②当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
，不合题意；
③当 时，当 时， 单调递减，又 ， ，
在 上存在唯一零点 ，使得 ，
则当 时， ，
在 上单调递增，此时 ，不合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
（2）由题意知： ，
则 ，
整理可得： ，
不妨设 ，由（1）可知：当 时， 在 上单调递减，
则当 时，有 成立，
即 ，整理可得： ，
，
则 ，
要证： ，只需证： 即可，
即证： ，
设 ，令 ，则 ，
在 上单调递增， ，
，则原不等式得证.
5．（2023·河北唐山·高三统考期末）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)若 ，证明:函数 有两个零点 ，且 .
【解析】（1） 的定义域为 ，
，
在区间 递减；
在区间 递增.
所以 的极小值是 ，无极大值.
（2）由（1）知 至多有两个零点，且 ，
构造函数 ，
所以在区间 递减；在区间 递增，
所以当 时， 取得最小值 ，所以 ，所以当 时， ，
则 ，
故 存在一个零点 .
由于 ，所以 ，
所以 ，
故 存在另一个零点 .
由 得 ，故 ，
， ，要证 ，
只需证 ，即证 ，即证 ，
构造函数 ，
，
由于 ，所以 ，
而 （当且仅当 时等号成立），
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，则 ，
因此 .
6．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数 ， ．
(1)若 的最值和 的最值相等，求m的值；
(2)证明：若函数 有两个零点 ， ，则 ．
【解析】（1）对函数求导可得： ，令 ，可得： ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
则 ，又 ，所以 ， ，
令 ，可得： ，所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
则 ，
由题意可知： ， ，所以m的值为 ．
（2）若 有两个零点 ， ，不妨设 ，
，设 ， ，
由 ，得 ，
因为函数 是增函数，所以 ，
则 ，设 ，则 ， ，
欲证 ，即证 ，即证 ，
只需证 （*）
设 ， ，
，在 上， ， 单调递减，
所以 ，所以 ，
令 即得（*）成立，
从而，命题得证．
7．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数
， 为函数 的导函数
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，若 ， ，且 ，证明：
.
【解析】（1）因为 定义域为 ，
则 ，即 ，
所以 ，当 时 恒成立，所以 在 上单调递增，
当 时，令 解得 ，令 解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上可得，当 时 在 上单调递增，
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）证明：当 时 ，
所以 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，所以当 时 ，当
时 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增，
不妨设 ，因为 ，所以有① 或② 两种情况，
当① 时，因为 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
当② 时，由 ，得 ，所以 ，
则 ，
由 ，所以 ，
令 ， ，
则 ，
所以 ，即 在 上单调递减，且当 趋向于1时 趋向于0，则
，所以 ，则 ，即 ，
综上可得当 ， ，且 时， .
8．（2023·江西吉安·高三统考期末）已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ， 是 的两个不同零点，证明： .
【解析】（1）当 时， ，
， ， ，
曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；
（2）令 ，可得 ，
令 ， ，设函数 与 相切于 ，
由 、 、 可得 ， ， ，
， 的大致图象如下，
当 时， 与 有两个不同的交点，
即 有两个零点，所以 的取值范围为 ，
，当 时， ， 在 上递增，
当 时， ， 在 上递减，
要证 ，只要证 ，不妨设 ，由 ，则 ，
构造函数 ，
，
∵ ，∴ ，∴ 在 是递增，
又 ，∴ ，∴ ，
∴ ，又 ，∴ ，
而 ， ， 在 上递减，∴ ，即 ，
∴ .
9．（2023·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知函数 ．
(1)若实数 ，求函数 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)设 ，若 且 ，使得 ，证明：
．
【解析】（1） 时， ， ，
，所以切线的斜率为 ，
切线方程为 即 .
（2） 的定义域为 ， ，
若 ，则 恒成立，则 在 单调递增，
若 ，令 解得 ，令 解得 ，
所以则 在 单调递减， 单调递增.
（3）
由题知， 且 ，不妨设 ，使得所以
整理得
令
所以 在 单调递增，
又因为 ，所以
所以
所以
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
下面证明 ，即证 ，
设 ，即证明 ，只需证明 ，
设 则 ，
所以 在 单调递增，
所以 所以 ，
所以 ，即 .
10．（2023·江西·高三校联考期末）已知函数 （ 是自然对数
的底数）有两个零点.
(1)求实数 的取值范围：
(2)若 的两个零点分别为 ，证明：
【解析】（1） 的定义域为 .
由题意可得， 有2个零点，
令 ，则 在 时恒成立，故 在 上单调递增，
所以 有2个零点可转化为 有2个零点，因为 ，由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
若 ，则 ，此时 恒成立，函数 没有零点，
若 ，则 ，函数 有且仅有一个零点，
若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恰有一个零点，
令 ，则 ，
令 ，则 ，故 为增函数，
所以 ，即 ，故 为增函数，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上恰有1个零点，
故 在 和 上各有1个零点，符合题意.
综上所述， 的取值范围为 .
（2）由（1）可知， 有两个零点，设为 和 ，则 ， ，
要证 ，只要证 ，即证 ，即证 ，
又 ， ，所以 ， ，
所以 ，只要证 ，
设 ，令 ， ，所以只要证 ，即证 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上为增函数，∴ ，
即当 时， ，所以 ，
即 ，故 .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．(1)讨论 的单调区间；
(2)当 时，证明 ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，此时函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的减区间为 ，增区间为 ；
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的增区间为 ，减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
（2）证明：设函数 ，其中 ，则 ，
当 时， ，所以
由（1）可知，函数 在 上为增函数，
故当 时， ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，
因为 ，则 ，即 ，
所以， ，即 .
12．（2023·山东菏泽·高三统考期末）已知函数 ， ．
(1)证明： 存在唯一零点；
(2)设 ，若存在 ，使得 ，证明：
．【解析】（1）由题意可得 ，
记 ，则 ，
因为 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 在 上恒小于0，在 上恒大于0，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，所以 有唯一零点0．
（2）由 可得 ，
若 是方程 的根，则 是方程 的根，
因为 ， 都单调递增，
所以 ， ，
设 ， ，
所以 的解为 ， 的解为 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 的最小值为 ，即 的最小值为 ．
故原不等式成立.
13．（2023·全国·高三专题练习）设 ， .
(1)设 ，讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 有两个零点 ， ，证明： .
【解析】（1） ， ，
时， ，当 时 ， 是单调递增函数，
当 时， ， 是单调递减函数；
时，令 ，得 ，
当 ，即 时，
当 或 时， ， 是单调增函数，
当 时， ， 是单调递减函数，当 ，即 时，
当 或 时， ， 是单调增函数，
当 时 ， 是单调递减函数，
当 ，即 时， ， 在 上是单调增函数，
综上所述： 时， 在 是单调递增函数，在 上是单调递减函数；
时， 在 ， 上是单调增函数， 在 是单调递
减函数，
时， 在 ， 上是单调增函数， 在 是单调递减
函数，
时， 在 上是单调增函数.
（2）令 ，因为 ，所以 ，
令 ， ，所以有
， ①
不妨设 ，令 ，则 ， ，
代入①得： ，反解出： ，则 ，
故要证 即证 ，又因为 ，
等价于证明： ，
构造函数 ，
则 ， ，
故 在 上单调递增， ，
从而 在 上单调递增， .
即 .
14．（2023·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；(2)设 是两个不相等的正数，且 ，证明： .
【解析】（1） 的定义域为 ，
，
令 ，得： ，
当 变化时 的关系如下表：
0 1
无意义 0
无意义
在 上单调递减；在 上单调递增.
（2）证明：要证 ，
只需证：
根据 ，只需证：
不妨设 ，由 得： ；
两边取指数， ，化简得：
令： ，则 ，
根据（1）得 在 上单调递减；
在 上单调递增（如下图所示），
由于 在 上单调递减，在 上单调递增，
要使 且 ，则必有 ，即
由 得： .
要证 ，只需证： ，
由于 在 上单调递增，要证： ，
只需证： ，
又 ，只需证： ，
只需证： ，
只需证： ，
只需证： ，
只需证： ，
即证 ，
令 ，
只需证： ，
，
令 ，
在 上单调递减，
所以 ，
所以
所以 在 上单调递减，所以
所以
所以： .
15．（2023·安徽马鞍山·统考一模）设函数 .
(1)若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)已知方程 有两个不同的根 、 ，求证： ，其中为自然对数的底数.
【解析】（1）由 ，得 .
令 ， ，则 ，
令 ，则 .
所以，函数 在 上单增，故 .
①当 时，则 ，所以 在 上单增， ，
此时 对 恒成立，符合题意；
②当 时， ， ，
故存在 使得 ，
当 时， ，则 单调递减，此时 ，不符合题意.
综上，实数 的取值范围 .
（2）证明：由（1）中结论，取 ，有 ，即
.
不妨设 ， ，则 ，整理得 .
于是 ，
即 .
16．（2023·江苏·高三统考期末）已知函数
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ，求 的范围，并证明
【解析】（1） 的定义域为 ，当 时， ，导函数 ，
令 ，得 或 ；
令 ，得 且 ；
所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 和 ；
（2）当 时， 只有1个零点，不符合题意；
当 时，若 ，则 ；若 ，则 ，不符合题意，所以 .
当 时， ，所以 在 和 均单调递增.
当 时，由 ，
，
所以 在 上有一个零点；
当 ，同理 ，
所以 在 上有一个零点，所以 的范围是 ，
因为 的两个零点为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
同理， ，
所以 ，
若 ，即 ，
则 ，
所以 的两个零点 互为倒数，即 ，所以 （等号不成立），所以 ，
所以 ，
所以得证.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，设曲线
在点 处的切线方程为 .
(1)证明：对定义域内任意 ，都有 ；
(2)当 时，关于 的方程 有两个不等的实数根 ，证明：
.
【解析】（1）证明： ， ，
又 ， ；
令 ，
在 上单调递增，且 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
， 恒成立，所以 恒成立.
（2）证明：当 时， ，则 ，
显然 在定义域内单调递增，而 ， ，
存在 ，使 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，令 ，解得 或 ，
由（1）（2）可知 在 处的切线方程为 ，
且 恒成立，同理可得 在 处的切线方程为 ，
令 ，当 时， ， ，当 时， ，
恒成立，即 恒成立.
设函数 在两个零点处的切线方程与直线 的交点的横坐标分别为 和 ，
不妨设 ，则 ， ，
令 ，解得 ， ，
得证.
18．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，证明：对任意 ， ， ．
【解析】（1）当 时， ， ，切点为
求导 ，切线斜率
曲线 在 处的切线方程为 ．
（2） ， 的定义域为 ，求导 ，
在 上单调递减．
不妨假设 ，∴ 等价于 ．
即 ．
令 ，则 ．
， ， ．
从而 在 单调减少，故 ，即 ，
故对任意 ．
19．（2023·四川·校联考一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，证明： .
【解析】（1） ，有 ，所以 ， ，所以切点坐标为 ，切线斜率为1，
因此 在点 处的切线方程为 ，即
（2）证明：因为 ，所以
由于 ，
等价于 ，令 ，
设函数
当 时， ，所以 ，
所以 在 上是单调递增函数，又 ，
所以 ，
所以 ，即
等价于 ，
令 ，
设函数
当 时， ，所以 ，
所以 在 上是单调递减函数，又 ，
所以
所以 ，即
综上①②可得： .2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问
题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
20．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）设函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2) 时， 若 ， 求证： .
【解析】（1）因为 ，
所以
令 ，
则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，则 在 单调递减；
当 时， ，则 在 单调递增；
所以 ，
当 时， ，
即 ， 则 在 上单调递增；
当 时， ，
易知当 趋于 时， 趋于 ，
当 趋于 时， 趋于 ，
由零点存在性定理知， ， 不妨设 ， 使得 ，
当 时， ， 即 ，
当 时， ， 即
当 时， ， 即
所以 在 和 上单调递增， 在 单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增， 在 单调递减；
（2）证明： 构造函数 ，
+ -2， ，
整理得 ，，
(当 时等号成立)，
所以 在 上单调递增， 则 ，
所以 在 上单调递增， ，
这里不妨设 ， 欲证 ，
即证 ,
由 (1) 知 时， 在 上单调递增，
则需证 ，
由已知 ，
所以有 ，
只需证 ，
即证 ，
由 在 上单调递增， 且 时，
有 ，
故 成立，
从而 ，得证.
21．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)记 的零点为 （ ）， 的极值点为 ，证明： .
【解析】（1）记 ，
①当 时，取 ，不符条件；
②当 时， ，
令 ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，即 ，
则 的取值范围为 ；
（2）∵ ，
令 ，
则 ，
且 ，
令 ，
∴ 在 单调递增，在 单调递减，
且 ，
∴ ，
取 ，则 ，
∴ ，
取 ，
则 ，
记 ，
在 中， ，
∴ 在 单调递增，
∴ ，
即
∵∴
从而 .
22．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知函数 ，
为常数 ，
(1)若函数 在原点的切线与函数 的图象也相切，求b；
(2)当 时， ，使 成立，求M的最大值；
(3)若函数 的图象与x轴有两个不同的交点 ，且 ，证明：
【解析】（1）由 ，所以 ，
所以函数 在原点的切线方程为： ，
将该切线方程代入 可得： ，
依据题意可得 或 ，
所以 或 ；
（2）当 时， ，
，当 时， ，
所以 在 单调递增，则 ，
由题可知： 使得 成立等价于 ，
所以 ，
所以 的最大值为 ；
（3）由题可知： ，
所以两式相减可得： ，
由 ，所以 ，
所以 ，由 ，要证 ，即证 ，
即 ，
令 ，所以即证明： ，
令 ，所以 ，
当 时， ，所以 在 单调递减，
所以 ，
所以 .
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 单调递增，求a的取值范围；
(2)若 有两个极值点 ，其中 ，求证： ．
【解析】（1）由 得 ，
由 单调递增，则 ，得 ，
设 ，则 ，
可知 时， ， 单调递增； 时， ﹐ 单调递减，则
时， 取得极大值 ，也即为最大值，则 ．
所以，a的取值范围是 ．
（2）由题，函数 有两个极值点，则 即 有两个不相等实数根，
由（1），可知 时， 取得极大值 ，且 时 ， 时
，故 有两个不等实根时， 且 ．
过点 与 的直线方程为 ，
构造函数 ， ，令 ，则 ，
则 时， ， 即 单调递减； 时， ， 即 单调递
增，所以 时， 极小值为 ，
所以 时， ，则 ，
即 ，故当 时， ，
设方程 根为 ，则 ．构造函数 ，
设 ，
可知 时 ，则 ，
所以 时， ，
设方程 解为 ，则 ．
于是有 ，如图，
所以 ，证毕．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，曲线 在点
处的切线与直线 垂直.
(1)试比较 与 的大小，并说明理由；
(2)若函数 有两个不同的零点 ，证明： .
【解析】（1）由题可知： ，
，而直线 的斜率 ，
所以有 ，解得： 或 ，
又因为函数 在 处有意义，所以 ，故 ，所以 ， ，
时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
即 ，
即有 ，
所以 .
（2）不妨设 ，
所以有 ，
化简得
即 ， ，
要证 ，即证 ，
即证 ，因为 ，
所以即证： ，
即 ，
设 ，因为 ，所以 ，
即证 ( )
设 ( )，
，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
即 ，即 .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知 为自然对数的底数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个不同零点 ，求证： .
【解析】（1）由题可得 ，
当 时， ，当 时， ；
所以当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数；
当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数；
（2）因为 有两个不同零点 ， ，则 ， ，
因此 ，即 ，
要证 ，只要证明 ，即证 ，
不妨设 ，记 ，则 ， ，
因此只要证明 ，即 ，
记 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上递增，
则 ，即 ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
即 成立，
∴ .
26．（2023·四川·校联考模拟预测）设m为实数，函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，直线 是曲线 的切线，求 的最小值；
(3)若方程 有两个实数根， ，证明： ．
【解析】（1） ，函数定义域为 ，
，
当 时， 在 上恒成立，函数 在 上单调递增；当 时， ，解得 ，函数 在 上单调递增； ，解
得 ，函数 在 上单调递减．
（2）当 时， ，
设切点为 ， ，则切线斜率 ，
切线方程为 ， ，
， ， ，
令 ，函数定义域为 ， ，
， ； ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 的最小值为
（3）证明： ，即 ，则 ，
令 ，函数定义域为 ， ，
， ； ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
，不妨设 ， ，
令 ， ，所以 ， ， ，
要证 ，只要证 ，只要证 ，
令 ， ，
，
， ； ，
在 上单调递减，在 上单调递增，， ， （1） ，则存在 ，使得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
， ，
在 上恒成立，
得证 ．
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
2.研究函数的最值则要注意区分函数最值与极值的区别.
3.导数的几何意义是:导函数在切点处的函数值就是切线的斜率.
4.证明不等式时,根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一
种常用技巧，有着非凡的功效.
27．（2023·全国·高三专题练习）设函数 （ 为常数）.
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 有两个不相同的零点 ， 证明: .
【解析】（1）由 （ ），
得 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减， 上单调递增.
（2）由（1）的结论，不妨设 .
又 均 ，
只需证 .构造函数 .
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 时取等号，而 ，所以取不到等号，
所以 ，
所以 在 上单递增，
所以 ，
所以 恒成立，结论得证.
28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有两个不同的零点 ，
.
(1)当 时，求证： ；
(2)求实数a的取值范围；
(3)求证： .
【解析】（1）令 ，则 ，
当 时， ，得 在 上单调递减，
所以 ，所以 .
（2）
当a≥0时， ， 此时 为增函数，不合题意;当 时， ， 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
如果 有两个不同的零点，必有 ，
则 ，得 ，所以 .
此时 ，又此时 ，
故在 有一个零点；
由（1）知， 时， ，令 ，
解得 ，故当 时， ，故当 时， ，
故在 上有一个零点，(利用当 时， 也可以)；
所以 有两个不同的零点时， ；
（3）令 ，则 ，
令 ，
，
因为 在 上均单调递减，
所以 在 上单调递减， ，
则 在 上单调递增，故 ，则 ，
所以 在 上单调递减，由（2）知 ，
不妨设 ，则 ，
即 ，
又 ，
所以有 ，又 ，则 ，得 ，
则 ，
可得 ，即 .
29．（2023·山西·高三校联考期末）已知函数 ，其中 为非零实
数.
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个极值点 ，且 ，证明： .
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
则 ，
①当 即 时， ，函数 在 上单调递增；
②当 即 时，令 ，得 ，
则当 时， ，
当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时， ，舍去 .
则当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调
递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）证明：因为 有两个极值点 ，由（1）知当 时，
，
所以 且 ， ，因为 ，所以 ，所以 ， ，
要证 ，
，
，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
故 ，即 .
