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2025二轮复习专项训练8
恒成立问题与能成立问题
[考情分析] 恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考
的热门题型，难度大，一般为高考题中的压轴题．
【练前疑难讲解】
一、恒成立问题
(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．
②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x) 或a<f(x) 的形式，通过导数的应用
max min
求出f(x)的最值，即得参数的范围．
(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．
(3)判断含x，ln x，ex的混合式的函数值的符号时，需利用x＝ 及ex≥x＋1，ln x≤x－
0
1对函数式放缩，有时可放缩为一个常量，变形为关于x的一次式或二次式，再判断符号．
二、能成立问题
(1)含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法
若a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x) ；
min
若a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x) .
max
(2)不等式能成立问题的解题关键点
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 ，若对任意的 ，
当 时，都有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州·二模）已知函数 ， ，对任意 ，
学科网（北京）股份有限公司，都有不等式 成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数 ，若 恒成立，则实
数 的可能的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东广州·一模）已知函数 ，点 分别
在函数 的 的图像上， 为坐标原点，则下列命题正确的是（ ）
A．若关于 的方程 在 上无解，则
B．存在 关于直线 对称
C．若存在 关于 轴对称，则
D．若存在 满足 ，则
三、填空题
5．（2024·河北·三模）已知 对任意 恒成立，则实数 的取
值范围是 ．
6．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知定义在R上的函数 ，若
有解，则实数a的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司四、解答题
7．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
8．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·河南·三模）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的最
大值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2021·四川泸州·模拟预测）设函数 （其中 为自然对数的
底数），若存在实数a使得 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川成都·模拟预测）若关于 的不等式 在 内有解，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司二、多选题
4．（21-22高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 ，下列命题正确的是
（ ）
A．若 是函数 的极值点，则
B．若 是函数 的极值点，则 在 上的最小值为
C．若 在 上单调递减，则
D．若 在 上恒成立，则
5．（2021·山东菏泽·一模）对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取得极大值
B． 有两个不同的零点
C．
D．若 在(0,+∞)上恒成立，则
6．（2022·河北·模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式 成
立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（ ）
A． B． C． D．2
三、填空题
7．（2023·河北保定·一模）已知 是函数 在定义域上的导函数，且
， ，若函数 在区间 内存在
零点，则实数m的最小值为 ．
8．（2023·河南开封·模拟预测）实数x，y满足 ，则 的值为 ．
学科网（北京）股份有限公司9．（2023·山西·二模）已知 ， ，且满足 ，则
．
四、解答题
10．（2024·四川南充·二模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
11．（23-24高二上·陕西榆林·开学考试）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：当 时， .
12．（2024·福建泉州·模拟预测）（1）已知 ，求 的最大值与最小值；
（2）若关于x的不等式 存在唯一的整数解，求实数a的取值范围.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测）当 时， 恒成立，则实数 最大值为
（ ）
A． B．4 C． D．8
2．（2024·湖南·一模）若不等式 对 恒成立，其中 ，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司3．（2024·全国·模拟预测）若关于 的不等式 在 内有解，
则正实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2025·广东·一模）已知定义在 上的函数 的图象连续不间断，当
，且当x>0时， ，则下列说法正确的
是（）
A．
B． 在 上单调递增，在 上单调递减
C．若 ，则
D．若 是 在 内的两个零点，且 ，则
5．（2023·全国·模拟预测）已知 ， 恒成立，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．
C． 恒成立 D． 的最大值为
6．（2023·重庆·模拟预测）已知 ，当 时，存在b， ，使得
成立，则下列选项正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
三、填空题
7．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值
范围是 .
8．（2022高三·全国·专题练习）已知 ，不等式 对任意的实数 恒
成立，则实数a的最小值为： ．
9．（22-23高三上·全国·阶段练习）若关于x的不等式 有且只有一个整数
解，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
10．（2024·福建厦门·二模）若 ，都存在唯一的实数 ，使得 ，则称函数
存在“源数列” .已知 .
(1)证明： 存在源数列；
(2)（ⅰ）若 恒成立，求 的取值范围；
（ⅱ）记 的源数列为 ，证明： 前 项和 .
11．（2023·浙江·模拟预测）已知 为正实数，函数 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)求证： （ ）.
12．（2023·北京海淀·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
学科网（北京）股份有限公司(2)求 的单调区间；
(3)若存在 ，使得 ，求a的取值范围．
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