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2025二轮复习专项训练9
导数与不等式证明
[考情分析] 导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单
调性、极值和最值的综合运用，试题难度较大，多以压轴题出现．
【练前疑难讲解】
一、单变量函数不等式的证明
用导数证明不等式一般有以下方法
(1)构造函数法．
(2)由结论出发，通过对函数变形，证明不等式．
(3)分成两个函数进行研究．
(4)利用图象的特点证明不等式．
(5)利用放缩法证明不等式．
二、双变量函数不等式的证明
破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系
式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的
单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等
式中，即可证得结果．
一、单选题
1．（2023·福建·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三下·安徽安庆·阶段练习）已知 ， 都是正整数，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2025·广东·模拟预测）记函数 在区间 的极值点分别为 ，
，函数 的极值点分别为 ， ，则（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
4．（2023·重庆万州·模拟预测）若函数 ， ，满足对
均有 ，则 的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．9
三、填空题
5．（2022·河南·模拟预测）已知 的定义域为R，若函数满足 ，则称 为
的一个不动点，有下列结论：① 的不动点是3；② 存在不动点；
③若函数 为奇函数，则其存在奇数个不动点；若 为偶函数，则其存在偶数个不动
点；④若 为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若 存在不动点，则 也
存在不动点，以上结论正确的序号是 .
6．（2021·河南郑州·模拟预测）已知函数 ， ，若 ，
则 的最小值为 .
四、解答题
7．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： .
8．（2023·甘肃酒泉·三模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求 的取
值范围．
参考答案：
学科网（北京）股份有限公司题号 1 2 3 4
答案 A A ABD AB
1．A
【分析】构造 ，根据导函数可得 在 上单调递减，进而可得出 .
构造 ，根据导函数单调性，结合中间值1即可得出 ，即可得出答案.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 恒成立，
所以 ，即 在R上单调递增.
又 ，
所以，当 时， 恒成立，
所以， 在 上单调递减.
又 ， ，所以 ，
即， ，即 ，即 ，所以 .
令 ，则 ，导函数单调递增，
且 所以存在 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，所以 ，
又 ，所以 ；
综上可得， .
故选：A.
2．A
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意得 ，构造函数 求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，令 ，
所以 ，故 在 上单调递增，由已知得 ，
故 ，因为 ， 都是正整数，即 .
故选：A.
3．ABD
【分析】选项A：根据导数可得 ， 为方程 的两个根，进而可得；
选项B： ，根据换元设 得 ，与
解析式相同，进而可判断；
选项C：由 可判断；
选项D：根据先求出 ， 根据不等式的性质进而可得.
【详解】选项A： ， ，
故由题意可知 ， 为方程 的两个根，故 ，A正确；
选项B：
，
设 ，因 ，则 ，
此时函数y=f (x)可化为 ，
由题意此函数的极值点分别为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司当 时，函数 单调递增，故 ， ，
故 ， ，故B正确；
选项C：由 解得 ，
，
由题意函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，故 ，故C错误；
选项D：由A可知， ， ，
因 ，故 ，即 ，
故 ，故D正确，
故选：ABD
4．AB
【分析】将问题转化为两个函数的零点重合，得出 转化单变量的函数最值问题，
求导计算即可.
【详解】条件对 均有 恒成立，等价于 ，
易知 ， 与 均在定义域内单调递增，
且由 ，故 时 ，
若要满足题意，只需两函数的零点相同即可，则
学科网（北京）股份有限公司令 ，即 ，
则 ，令 ，则 ， ，
即 在 上单调递减， 上单调递增，
，显然A、B不可能，C、D可能
故选：AB
5．①⑤
【分析】①直接求解即可判断；②利用导数证 ；③④取特殊函数 进行判断；
⑤根据定义可得： ．
【详解】① 则 ，①正确；
②构建 则
令 则
∴ 在 上递减，在 上递增，则
∴ 即 不存在不动点，②不正确；
③ 为偶函数，显然 只有一个不动点；③不正确；( 为奇函数, 显然
有无数个不动点)
④ 为周期函数，显然 只有一个不动点；④不正确；
⑤若 存在不动点，设为 ，即
∴ ，则 也存在不动点，⑤正确．
故答案为：①⑤．
6．
【分析】设 ，可得 ， ，从而 ，进而构造
学科网（北京）股份有限公司函数 ，求出 的最小值即可.
【详解】设 ，即 ， ，解得 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
7．(1)答案见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）求导可得 ，分 和 两种情况，结合导函数的符号判
断原函数单调性；
（2）构建 ， ，根据单调性以及零点存在性
定理分析h(x)的零点和符号，进而可得F(x)的单调性和最值，结合零点代换分析证明.
【详解】（1）由题意可得： 的定义域为(0,+∞)， ，
当 时，则 在(0,+∞)上恒成立，
可知 在(0,+∞)上单调递减；
学科网（北京）股份有限公司当 时，令f'(x)>0，解得 ；令f'(x)<0，解得 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在(0,+∞)上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）构建 ，
则 ，
由 可知 ，
构建 ，
因为 在(0,+∞)上单调递增，则h(x)在(0,+∞)上单调递增，
且 ，
可知h(x)在(0,+∞)上存在唯一零点 ，
当 ，则h(x)<0，即 ；
当 ，则h(x)>0，即 ；
可知F(x)在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
又因为 ，则 ， ，
可得 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，所以 .
8．(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可得出结果；
（2）求出 ，可得 ，化简
，构造函数 ，利用
单调性即可求得答案.
【详解】（1） ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2） ，
则函数 的定义域为 ，
若函数 有两个极值点 ，且 ．
则方程 的判别式 ，且 ，
．
学科网（北京）股份有限公司．
设 ，
则 在 上恒成立．
故 在 单调递减，从而 ．
因此， 的取值范围是 ．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2021·全国·模拟预测）已知 且 且 且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若实数 满足 ，则
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2024·浙江温州·模拟预测）已知 ， ，且 则以下
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·广东茂名·二模）若对任意的 ， ，且 ，都有
，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．1
三、填空题
6．（2021·湖北武汉·三模）当x≠0时，函数f(x)满足 ，写出一个满足条件的
函数解析式f(x)= ．
7．（20-21高二·全国·课后作业）已知 ， ，
， ，使得 成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
8．（2024·北京石景山·一模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值；
学科网（北京）股份有限公司(3)当 时，求证： ．
9．（2022·广东广州·一模）已知函数 ， 为 的导数.
(1)证明：当 时， ；
(2)设 ，证明： 有且仅有2个零点.
10．（2025·全国·模拟预测）设函数
(1)分析 的单调性和极值；
(2)设 ，若对任意的 ，都有 成立，求实数m的取值范围；
(3)若 ，且满足 时，证明： .
11．（2023·河南郑州·三模）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5
答案 D D A ABD BCD
1．D
【解析】令 ，利用导数研究其单调性后可得 的大小.
【详解】因为 ，故 ，同理 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司故 在 为减函数，在 为增函数，
因为 ，故 ，即 ，而 ，
故 ，同理 ， ， ，
因为 ，故 ，
所以 .
故选：D．
【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再
利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．
2．D
【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.
【详解】设 ， ，
时， ， 为减函数，
时， ， 为增函数，所以 ，
，即 .
设 ， ，
时， ， 为增函数，
时， ， 为减函数，
所以 ， ，即 ，所以 .
设 ， ，
为增函数，所以 ，所以 ，即 .
故选：D
学科网（北京）股份有限公司3．A
【分析】根据题意将原不等式化简为 ，令
，可知原不等式等价于 ，再令
，则原不等式等价于 ；再利用导数求出函数g(x)单调性，
进而可得 ，由此可知只有当 时，即 时才满足
，据此即可求出 的值，进而求出结果.
【详解】∵
∴ ，
即
∴ ，
设 ，则有 ，即 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴当 时， ，g(x)单调递增；
当 时， ，g(x)单调递减；
∴ ，即 ，
要使 成立等价于 成立，
学科网（北京）股份有限公司只有当 时，即 时才满足，
∴
∴ ，∴ .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对原不等式的变形，将其变形成
，再进行换元、构造辅助函数，借助函数的最值和唯一性求
解.
4．ABD
【分析】首先利用因式分解法得 ，再通过证明 ，可知只
有一解即： ，然后把选项中的 代换为 并进行化简可得A正确，C错误，而BD则
需要构造为关于 的函数，利用求导法来判断单调性和最值，从而得证．
【详解】由 因式分解可得： ，
又因为 ，可知 ，即 ，
又由函数 ，求导 ，
当 时， ，可知 在 上递减，
当 时， ，可知 在 上递增，
所以 在 时取到最小值为0，有
即不等式 成立，所以 ，
由 可得： ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司对于选项A， ，所以选项A的正确的；
对于选项B， ，构造函数 ，求导 ，
由 时， ，所以 在 上递增，
即 ，因为 ，所以 ，所以选项B是正确的；
对于选项C， 与 不可能等价，所以选项C是错误的；
对于选项D， ，构造函数 ，求导 ，
由 时， ，所以 在 上递增，
由 时， ，所以 在 上递减，
所以 的最大值是 ，即 ，所以选项D是正确的；
故选：ABD.
5．BCD
【分析】将 转化为 ，构造函数 ，利用
导数求其单调递减区间即可.
【详解】 ，且 ，
则 ，整理得
设 ，则只需要 在 上单调递减即可，
，
令 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以BCD符合，
故选：BCD.
6．
【分析】先列举一个满足条件的函数解析式，再证明.
【详解】设 ，
所以 ，
所以 在(0,+∞)单调递增，在 单调递减，
所以 所以 ；
设 ，
所以 ；
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于这种开放性试题，一般先要根据已知条件，找到一个满足已知条
件的函数解析式，再进行证明.
7．
【分析】可转化为在 上， ，求导可得 的单调性，将
的最小值代入，即得解
【详解】 ， ，使得 成立等价于在 上，
．
易得 ，当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∴函数 在区间 上的最小值为 ．易知 在 上单调递增，
∴函数 在区间 上的最小值为 ，
∴ ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为：
8．(1)
(2)见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先求函数的导数，再讨论 和 两种情况求函数的单调性，求函数的最值；
（3）首先根据不等式构造函数 ，再利用导数求函数的最小值，即可
证明.
【详解】（1） ， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2） ，
当 时， 在区间 上恒成立， 在区间 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ，最大值为 ，
当 时， ，得 ，
在区间 小于0，函数 单调递减，
在区间 大于0，函数 单调递增，
学科网（北京）股份有限公司所以函数 的最小值为 ，
， ，显然 ，所以函数 的最大值为 ，
综上可知，当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ，
当 时，函数 的最小值为 ，最大值为 ；
（3）当 时， ，即证明不等式 ，
设 ， ， ，
设 ， ， ，
所以 在 单调递增，并且 ， ，
所以函数 在 上存在唯一零点 ，使 ，
即 ，则在区间 ， ， 单调递减，
在区间 ， ， 单调递增，
所以 的最小值为 ，
由 ，得 ，且 ，
所以 ，
所以 ，即 .
9．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）令 ，利用导数判断 的单调性，并求出其最小值即
学科网（北京）股份有限公司可证明；
（2）由（1）可知， 在 上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上
有一个零点，通过构造函数即可证明 在 上单调递减，同理利用零点存在性定理
可证明在这个区间上有一个零点，即可得证.
【详解】（1）由 ，
设 ，则 ，
当 时，设 ， ，
∵ ， ，
∴ 和 在 上单调递增，
∴ ， ，
∴当 时， ， ，
则 ，
∴函数 在 上单调递增，
∴ ，
即当 时， ;
（2）由已知得 ，
①当 时，
∵ ，
∴ 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司又∵ ， ，
∴由零点存在性定理可知 在 上仅有一个零点，
②当 时，
设 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 上单调递减，
又∵ ， ，
∴由零点存在性定理可知 在 上仅有一个零点，
综上所述， 有且仅有2个零点.
10．(1) 在 单调递减，在 单调递增， 的极小值为 ，无极大值.
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导研究函数单调性，求出极值；
（2）构造函数 ，求导后注意到 ，进而得到 ，
，再验证充分性；
（3）构造函数利用导函数研究其单调性，从而证明不等式.
【详解】（1）函数 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，解得： ，且当 时， ， 时， ，
因此： 在 单调递减，在 单调递增，
故 的极小值为 ，无极大值.
（2）对任意的 ，都有 成立，
即对任意的 ， 恒成立，
令 ，则 ，
注意到： ，若要 ，必须要求 ，即 ，亦即 ，
另一方面：当 时，因为 单调递增，
则当 时， 恒成立，
所以 在 时单调递增，故 ；故实数 的取值范围为： ；
（3）记 ，则 ，
记 ， ， ，
当x∈(0,1)时， ， 为增函数，
当x∈(1,+∞)时， ， 为减函数，
所以 ，即 ，
所以函数 在(0,+∞)单调递减，
则 为 ，注意到 ，不妨 ，
要证 ，只需证 ，即证： ，
学科网（北京）股份有限公司即证： ，即证： ，
记 ，
则 ，记 ，
则 ，所以 在(0,1)单调递增，所以 ，
即 ，所以 在(0,1)单调递减，所以 ，
所以 ，所以 ，得证.
11．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，再根据判别式讨论函数的单调区间；
（2）根据（1）的结果，可知， ， ， ，这样可将所证明不等式
进行变形，从而构造函数 ，利用导数即可证明.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
设 ，令 ， ，
当 时，即 ， 在 单调递减，
当 时，即， ，令 ，得 ， ，
若 ， ， ，由 即 ，得出 .
由 即 ，得出 .
当 时， ，由 即 ，得出 .
学科网（北京）股份有限公司由 即 ，得出 .
综上所述：当 时，函数 在 上单调递减，
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，函数 在 上单调递减，
在 上单调递增；在 上单调递减.
（2）由（1）可知：当 时，
， 是函数 两个极值点，
有 ， ，此时 ，
要证明 ，只要证明
设 ，
令 ，
当 时， ，
所以当 时， ， 单调递减，
学科网（北京）股份有限公司所以有 ，即证
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数性质的综合应用问题，本题第二问处理
双变量问题，关键是 ， ， ，从而为后面的消参，构造函数创造
条件.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2022·江苏·二模）已知实数 ，且 ， 为自然对数
的底数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建福州·模拟预测） ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·山西晋中·模拟预测）已知函数 ， ，若存在 ，
，使得 成立，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·模拟预测）已知a， ，满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北沧州·一模）已知函数 与函数 的图象相交于
两点，且 ，则（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
6．（2024·海南海口·模拟预测）设函数 ，则（ ）
A．
B．函数 有最大值
C．若 ，则
D．若 ，且 ，则
三、填空题
7．（2023·浙江温州·二模）已知函数 ，则 的最小值是
；若关于 的方程 有 个实数解，则实数 的取值范围是 .
8．（2024·北京西城·三模）已知函数 ，下面命题正确的是 .
①存在 ，使得 ；
②存在 ，使得 ；
③存在常数 ，使得 恒成立；
④存在 ，使得直线 与曲线 有无穷多个公共点.
9．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知函数 ，若存在 ，使得
，则 的最小值为 .
四、解答题
10．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
学科网（北京）股份有限公司（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足
.
(注： 是自然对数的底数)
11．（2023·山东潍坊·一模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
12．（2024·广东佛山·二模）已知 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ， ，证明： .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D D A ABD AC ACD
1．D
【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式
【详解】因为 ，所以 ，
函数 在 上单调递增，且 ，因为
所以 ，所以 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，所以 ，即 ，综上，
.
故选：D
2．D
【分析】令 ，利用导数研究函数的单调性可得到 ，
即可判断 、 的大小关系；构造函数 判断 与0.1的大小，构造
函数 判断0.1与 大小，从而可判断b、c大小．
【详解】令 ， ，则 ，
所以当 时 ，即 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ，即 ，
令 ，则 ，
在 时， ，则 为减函数，
∴ ，即 ；
令 ， ，则 ，
故 在 为减函数，
∴ ，即 ；
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
令 ，则 ，即 ，∴ ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】结论点睛：常用的不等式： ， ，
， ， ， .
3．A
【分析】先得到 ，再由 的单调性得 ，进而得到 ，由
导数求出 的最大值，即可求解.
【详解】 ， ，易得在 上
，则 在 上单调递增，
又 ，所以 即 ， ，所以 ，则 ，令
，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
则 ，即 时， 取得最大值 ．
故选：A
4．ABD
学科网（北京）股份有限公司【分析】A、D利用基本不等式即可判断，注意等号成立条件；B由 ，构造
且 ，利用导数证明不等式；C根据A、B的分析，应用特殊值法判断.
【详解】A：由 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
正确；
B：由 ，则 且 ，
令 且 ，则 ， 递减，
所以 ， ，即 成立，正确；
C： 当 时， ，错误；
D：由 ，当且仅当 时等号成立，正确.
故选：ABD
5．AC
【分析】构造函数利用奇偶性和单调性得出 ，结合选项逐项验证即可.
【详解】由题意 有两个不等的实数根， ， ，
令 ，则 ，即 为奇函数；
当 时， ， 为增函数；
若 ，则 ，又 ，所以 .
对于A， ，正确.
对于B，若 成立，则有 ，与 矛盾，所以B不正确.
对于C，由指数均值不等式 可得 ，所以 ，C正确.
学科网（北京）股份有限公司对于D，令 ， ，当 时， ， 为增函数，
所以 ，即 ，D不正确.
故选：AC.
【点睛】结论点睛：均值不等式的拓展：（1）对数型均值不等式：
，
其中 ， ；（2）指数型均值不等式： ，其中
.
6．ACD
【分析】根据f (x)的解析式直接求解 可对A判断；利用导数求最值方法可对B判断；
结合给出的已知条件并利用A、B中的结论可对C、D判断求解.
【详解】对A，由题意知 ，所以
，故A正确；
对B，由题意知f (x)的定义域为 ，
，
当 ， ，当 ， ，所以f (x)在 上单调递减，在
上单调递增，
所以当 时，f (x)取到极小值也是最小值 ，故B错误；
学科网（北京）股份有限公司对C，当 时，可得 ，由A知 ，
所以 ，
由B知 恒成立，所以 ，故C正确；
对D，当 时，得 ，又因为 ，所以 ，
由B知f (x)在 上单调递增，所以 ，又由A知 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：灵活运用已知条件 ， ，并结合f (x)的对称性和单调
性进行求解.
7．
【分析】第一空，由题意可知 ，故设 ，
作出其图象，数形结合，可得 的最小值；第二空，利用导数的几何意义求出直线
与曲线 相切时的 的值，将关于 的方程 有 个实数解
问题转化为直线 与曲线 的交点问题，数形结合，可得答案.
【详解】根据 与 大小关系（比较 与 大小的推理见后附），
可知 ，
设 ，注意到曲线 与曲线 恰好交于点 ，
学科网（北京）股份有限公司显然， ，作出 的大致图象如图，
可得 的最小值是1，从而 的最小值是 ．
由 ，得 ．
设直线 与曲线 切于点 ，
，直线 过定点 ，则 ，
解得 ，从而 ．
由图象可知，若关于 的方程 有 个实数解，
则直线 与曲线 有 个交点，则 或 ，
即所求实数 的取值范围是 ，
故答案为： ；
附：当 时，设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，从而 ，此时 ；
当 时，设 ， 在区间 上单调递减，
所以当 时， ，即 ；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键所在：（1）明确 的含义，即
；（2）数形结合思想，作出函数 的图象；
（3）将关于 的方程 有 个实数解，转化为直线 与曲线 的交点
问题.
8．①③
【分析】①函数求导，用 ，令 ， 与 同正
负.研究 正负即可，用 来研究 即可得出答案.；② ，即两点间
的斜率正负问题，也就是转化研究 内的单调性.求导即可.③用三角函数的有界性可
解.④借助函数单调性,数形结合可解.
【详解】函数 ，定义域 .
由于 知其为偶函数.
， 令 ， 与 同正负.
.
对于①，当 ， ，则 单调递增，
学科网（北京）股份有限公司则 ，故存在 ， ，
即存在 ，使得 .故①正确.
对于②，与①同理，当 ， ，则 单调递减，
则 ，故 ， ，即 ， 单调递减.
任意 ， ，故②错误.
对于③，由于 为偶函数，根据对称性，我们只需要考虑 即可.
令 ，则 ，即 在 上单调递减，
故 ，即 ，故 ，
故存在常数 ，使得 ，故③正确.
对于④，将 代入 ，得 ，由于 为偶函数，根据对称
性，我们只需要考虑 即可.
由①②知， ，单调递减， ，单调递减， ，单调递增.一直往复
下去. 图象如下.
则 与 不能有无数个交点，
即 与 不能有无穷多个公共点.故④错误.
综上所得，只有①③正确.
故答案为：①③.
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查函数很多性质，如奇偶性、单调性、零点与方程，有界性等.综合性
较强，有一定难度，关键是借助导数来研究性质，需要冷静分析，认真计算 .
9．
【分析】根据分段函数解析式画出函数 的简图，设 ，根据图像确定
的取值范围，将 化成只含有一个变量 的二次函数，由定区间内二次函数的性质，
从而确定 的最小值.
【详解】当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
即当 时， 取得极小值为 .
当 时， 为增函数，且 ，
函数 的图像如图：
设 ，由题可知 ，由 得 ，则 ，
则 ，
，所以当 时， 取得最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题重点是根据函数解析式做出函数图像，然后根据换元的思想，把双变量问题
学科网（北京）股份有限公司转化为单变量问题，然后就可以轻松求解.
10．(1)见解析
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可
确定实数a的取值范围；
(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成
立.
【详解】(1) ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可得， 时， 的单调递增区间为 ,无减区间；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 .
(2) 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解，
令 ，则 ，
记 ，
记 ，
又 ，所以 时， 时， ，
学科网（北京）股份有限公司则 在 单调递减， 单调递增， ，
.
即实数 的取值范围是 .
(3)[方法一]【最优解】：
有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ，
，
注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，又由 知 ，
，
要证 ，只需 ，
且关于 的函数 在 上单调递增，
所以只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
，只需证 在 时为正，
由于 ，故函数 单调递增，
学科网（北京）股份有限公司又 ，故 在 时为正，
从而题中的不等式得证.
[方法二]：分析+放缩法
有2个不同零点 ，不妨设 ，由 得
（其中 ）．
且 ．
要证 ，只需证 ，即证 ，只需证
．
又 ，所以 ，即 ．
所以只需证 ．而 ，所以 ，
又 ，所以只需证 ．
所以 ，原命题得证．
[方法三]：
若 且 ，则满足 且 ，由（Ⅱ）知 有两个零点 且
．
又 ，故进一步有 ．
由 可得 且 ，从而
．．
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，
故只需证 ．
又因为 在区间 内单调递增，故只需证 ，即
，注意 时有 ，故不等式成立．
【整体点评】本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，
涉及到三种不同的处理方法，
方法一：直接分析零点 ，将要证明的不等式消元，代换为关于 的函数，再利用零
点反代法，换为关于 的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.
方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！
方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为
与0比较大小，代入函数放缩得到结论.
11．(1)函数 在 上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出答案；
（2）当 时， ，即证 在 上恒成立，利用导数求出函
数 的单调区间，再利用导数比较在 时， 和 的大小，即可得证.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
学科网（北京）股份有限公司，
记 ，则 ，
所以当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递增；
（2）原不等式为 ，即 ，
即证 在 上恒成立，
设 ，则 ，
所以，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，
令 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ，
且在 上有 ，所以可得到 ，即 ，
所以在 时，有 成立.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及利用导数证明不等式问题，考查了转化
学科网（北京）股份有限公司思想及逻辑推理能力，有一定的难度.
12．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；
（2）借助换元法，令 ， ， ，可得 、 是方程 的两个正根，
借助韦达定理可得 ， ，即可用 、 表示 ，进而用
表示 ，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.
【详解】（1）当 时， ，
，
则当 ，即 时，f'(x)<0，
当 ，即 时，f'(x)>0，
故 的单调递减区间为 、 ，单调递增区间为 ；
（2） ，令 ，即 ，
令 ， ，则 、 是方程 的两个正根，
则 ，即 ，
有 ， ，即 ，
则
学科网（北京）股份有限公司，
要证 ，即证 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
则 在(0,4)上单调递减，
又 ， ，
故存在 ，使 ，即 ，
则当x∈(0,x )时， ，当 时， ，
0
故 在 上单调递增， 在 上单调递减，
则 ，
又 ，则 ，故 ，
即g(x)<0，即 .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令 ， ， ，从而可结
合韦达定理得 、 的关系，即可用 表示 ，构造相关函数后借助导
数研究其最大值即可得.
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