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微专题12 导数解答题之证明不等式问题
【秒杀总结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【典型例题】
例1．（河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中质量评估理科数学试题）已知函数 ，
.
(1)若 恒成立，求实数m的取值范围；
(2)求证：当 时， .
例2．（2023届高三数学一轮复习）已知函数 ，且函数 与 有相同的极
值点.
（1）求实数 的值；
（2）若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证： .例3．（云南省昆明市2023届高三摸底考试数学试题）已知函数 ， ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： ．
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 ，判断函数 的单调性；
(2)证明： .
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 是 的极值点，求a；
(2)当 时，证明： ．
例6．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设 ， ，．
(1)求 的单调区间；
(2)证明：当 时， ．
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，证明： ．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
【过关测试】
1．（2023秋·山东德州·高三统考期末）设函数 ， 其中 为
自然对数的底数．(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)若直线 是函数 的切线，求实数 的值；
(3)当 时，证明： ．
2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知函数 ．
(1)讨论函数的单调性及极值，并判断方程 的实根个数；
(2)证明： ．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)证明：当 时，都有 .
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 在区间 上的单调性；(2)当 时，证明： ．
5．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知函数 ．
(1)若 在 上恒成立，求实数a的值；
(2)证明：当 时， ．
6．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)当 时，证明 恒成立.
7．（2023·四川成都·统考一模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)当 时，证明： ．8．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数 ， ．
(1)判断函数 的单调性；
(2)证明： ．
9．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数 （其中 是自然对数底数）.
(1)求 的最小值；
(2)若过点 可作曲线 的两条切线，求证： .（参考数据：
）
10．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明： ．11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)判断0是否为 的极小值点，并说明理由；
(2)证明： .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)当 时，证明： .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若 存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若 是 的零点，求证：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时，证明： ；15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 最小值为0，求 的值；
(2) ，若 ，证明 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 极值点的个数；
(2)若 ，求证： ．
17．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数 ，若
，其中 为偶函数， 为奇函数.
(1)当 时，求出函数 的表达式并讨论函数 的单调性；
(2)设 是 的导数. 当 ， 时，记函数 的最大值为 ，函数 的最大值
为 .求证： .18．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 .
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝e，证明：当x>0时， .
