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第 3 讲 利用导数研究函数的单调性、极值、最值
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：导数的几何意义
突破二：利用导数研究函数的单调性
角度1：利用导数求函数的单调区间（不含参）
角度2：已知函数 在区间 上单调
角度3：已知函数 在区间 上存在单调区间
角度4：已知函数 在区间 上不单调
角度5：已知函数 有三个单调区间
突破三：利用导数研究函数的极值与最值
角度1：求已知函数的极值（点）、最值
角度2：根据函数的极值（点）、最值，求参数
突破四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
角度2:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
角度3:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、导数的几何意义函数 在点 处的导数的几何意义，就是曲线 在点 处的切线的斜率 ，即
，相应的切线方程为 .
（1）在型求切线方程
已知：函数 的解析式.计算：函数 在 或者 处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标 （方法：把 代入原函数 中），切点 .
第二步：计算切线斜率 .
第三步：计算切线方程.切线过切点 ，切线斜率 。
根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
（2）过型求切线方程
已知：函数 的解析式.计算：过点 （无论该点是否在 上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；计算切线斜率 ；
第三步：令： ，解出 ，代入 求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
2、利用导数研究函数的单调性
（1）求已知函数（不含参）的单调区间
①求 的定义域
②求
③令 ，解不等式，求单调增区间
④令 ，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令 （或 ）不跟等号.
（2）已知函数 在区间 上单调
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.
②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（3）已知函数 在区间 上存在单调区间
①已知 在区间 上存在单调增区间 ， 有解.②已知 在区间 上存在单调减区间 ， 有解.
（4）已知函数 在区间 上不单调 ，使得 （ 是变号零点）
3、函数的极值
一般地，对于函数 ，
（1）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极小值点， 叫做函数 的极小值.
（2）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极大值点， 叫做函数 的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
4、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小
值.
设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求 在 内的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
5、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
（2）在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个
（或者没有）；
（3）函数 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：重难点题型突破
突破一：导数的几何意义
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，则过点 可作曲线 的切线的条数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知 是奇函数，则过点 向曲线
可作的切线条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知过点 作曲线 的切线有且仅有 条，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知 ，过原点作曲线 的切线，则切
点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））若直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则 __________.
6．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知直线 是曲线 的切线，则
___________.
7．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数 ，若存在一条直线同时与两个函数
图象相切，则实数a的取值范围__________．
8．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数 ，函数在 处的切线方程为
____________．若该切线与 的图象有三个公共点，则 的取值范围是____________．
突破二：利用导数研究函数的单调性
角度1：利用导数求函数的单调区间（不含参）
1．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数 ，则 的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）下列区间中能使函数 单调递增的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁省实验中学东戴河分校高三阶段练习）已知函数 ，则 的单调减区间
为______.
4．（2022·全国·高二单元测试）已知函数 的单调减区间为 ，若 ，
则 的最大值为______．角度2：已知函数 在区间 上单调
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在 上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 在 上为增函数，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二学业考试）函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数 在 上单调递增,则实数 的取
值范围是_____.
5．（2022·江苏·常熟外国语学校高二阶段练习）若函数 的单调减区间是 ,则实数
的值为__________．
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是______
角度3：已知函数 在区间 上存在单调区间
1．（2022·河南信阳·高二期中（理））已知函数 ，在其定义域内的子区间
上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数 在区间 存在
单调递减区间,则 的取值范围是
A． B． C． D．角度4：已知函数 在区间 上不单调
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上不是单调函数，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2022·全国·高二单元测试）已知函数 ，则 在 上不单调的一个
充分不必要条件有（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）函数 在 上不单调，则实数a
的取值范围是_____．
角度5：已知函数 有三个单调区间
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 存在三个单调区间，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数 在定义域 上恰有三个单调区间，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
突破三：利用导数研究函数的极值与最值
角度1：求已知函数的极值（点）、最值
1．（2022·广西河池·模拟预测（理））已知函数 有两个极值点 ，且
，则 的极大值为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））设函数 ，则下列不是函
数 极大值点的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西南昌·一模（理））已知函数 ，若不等式 的解集
为 ，且 ，则函数 的极大值为（ ）
A． B． C．0 D．
4．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））已知函数 的零点为 ，
零点为 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知函数 ，方程 恰有两
个不同的实数根 、 ，则 的最小值与最大值的和（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知函数 存在两个极值点 .
(1)求 的取值范围；
(2)求 的最小值.
7．（2022·四川成都·模拟预测（理）） ( 且 )．
(1)当 时，求经过 且与曲线 相切的直线；
(2)记 的极小值为 ，求 的最大值．8．（2022·湖南省临澧县第一中学二模）已知函数 .
(1)当 时，若 在 上存在最大值，求m的取值范围；
(2)讨论 极值点的个数.
9．（2022·全国·模拟预测）设函数 ， .
(1)当 时，证明： 在 上无极值；
(2)设 ， ，证明： 在 上只有一个极大值点.
角度2：根据函数的极值（点）、最值，求参数
1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数 有三个极值点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江西赣州·高三期中（理））已知函数 存在唯一的极值点，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．3．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））等比数列 中的项 ， 是函数 的
极值点，则 （ ）
A．3 B． C． D．
4．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））已知函数 在 上的最小值为
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津市瑞景中学高三期中）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
6．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 ， ．
(1)求 在 上的极小值点；
(2)若 的最大值大于 的最大值，求 的取值范围．
7．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 在区间 上存在极值点，求实数a的取值范围.
8．（2022·北京海淀·高三期中）已知函数 ．
①当 时， 的极值点个数为__________；
②若 恰有两个极值点，则 的取值范围是__________．突破四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知函数
(1)请讨论函数 的单调性
2．（2022·河南河南·一模（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
3．（2022·吉林·长春市实验中学二模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校模拟预测（文））已知函数
(1)若 ，求 的极小值(2)讨论函数 的单调性；
角度2:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1．（2022·四川绵阳·一模（理））已知函数 （ ）．
(1)讨论函数 的单调性；
2．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数 ， 为函数 的导函
数．
(1)讨论 的单调性；
3．（2022·天津·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；(2)求函数 的单调区间；
角度3:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
1．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数
(1)讨论 的单调性；
2．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数 ，
(1)讨论 的单调性；
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题1．（2022·全国·高二专题练习） ， 在 处切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·福建·高三阶段练习）已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的
最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
3．（2022·河南·濮阳油田实验学校高三阶段练习（文））“过点 可以作两条与曲线 相切的直
线”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海市行知中学高三阶段练习）“ ”是“函数 在 上是严格
增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）若函数 在 上单调递减，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）已知函数 ，若 在区间上 单
调递增，则实数的a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数 在 处有极值，则
的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．4
8．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））函数 ， 的极值点为
，则 的值为（ ）A． B． C． D．
9．（2022·贵州·盘州市聚道高中有限责任公司高三阶段练习（文））已知函数 ，若对
任意的 ，都有 ，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数 是定义域为 的奇函数，且当
时， ．若函数 在 上的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
11．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数 有两个极值点 与 ，且 ，则下列结
论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A．直线 与曲线 相切
B．函数 只有极大值，无极小值
C．若 与 互为相反数，则 的极值与 的极值互为相反数
D．若 与 互为倒数，则 的极值与 的极值互为倒数
三、填空题
13．（2022·上海·上外附中高三阶段练习） ，若 在 上存在单调递增
区间，则 的取值范围是_______
14．（2022·四川省高县中学校高三阶段练习（文））已知函数
，若函数 在区间 上不单调，则 的取值范围为_____________.
15．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））若函数 在 上存在单调递增区
间，则实数 的取值范围是__________.
四、解答题16．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数 在 及 时取得极值．
(1)求 的值；
(2)若对于任意的 ，都有 成立，求 的取值范围．
17．（2022·山东·潍坊瀚声学校高三期中）已知函数
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间.
18．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（文）） ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在 上为单调递减，求 的取值范围．
19．（2022·陕西咸阳中学高三阶段练习（理））已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，求 .20．（2022·四川·石室中学高三阶段练习（文））已知函数 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)当 时， ， 的取值范围．
