文档内容
第7讲 导数与不等式的证明（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】导数与不等式的证明.....................................................................................................3
【专题精练】.................................................................................................................................5
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交
汇命题是高考的热点和难点.
2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大．
真题自测
一、解答题
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
2．（2023·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线y=f (x)在 处的切线斜率；
(2)求证：当 时， ；
(3)证明： ．
3．（2021·全国·高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
4．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．
5．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
6．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
考点突破
【考点一】导数与不等式的证明
一、单选题
1．（2024·江西·一模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西南昌·一模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高三下·山东·开学考试）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2023·辽宁·一模）已知实数a，b满足 ，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司6．（2024·湖北·二模）已知 ，则下列不等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数 ，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数 的极小值点为
B．
C．若函数 有4个零点，则
D．若 ，则
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的单调递减区间为
B．
C．若方程 有6个不等实数根，则
D．对任意正实数 ，且 ，若 ，则
三、填空题
9．（2023·海南·模拟预测）已知函数 ， ，若对任意 ，
恒成立，则实数 的取值范围是 .
10．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知 ， ， ，其中 为自然对
数的底数，则 ， ， 由大到小依次为 ．
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学科网（北京）股份有限公司11．（22-23高二下·四川成都·期末）已知 和 是函数 的两个不相等的零点，则
的范围是 ．
12．（23-24高二上·山西·期末）若存在实数 使得 ，则 的值为 .
四、解答题
13．（2024·广东深圳·二模）已知函数 ， 是 的导函数，且 ．
(1)若曲线 在 处的切线为 ，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明： ．
14．（2024·河南·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
15．（2023·天津河西·二模）已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的最小值及取得最小值时的 值；
(2)求证： ；
(3)若函数 对 恒成立，求实数a的取值范围．
16．（22-23高三上·广东河源·期末）已知函数 ，其中 为自然对数的底数，
.
(1)当 时，函数 有极小值 ，求 ；
(2)证明： 恒成立；
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学科网（北京）股份有限公司(3)证明： .
规律方法：
利用导数证明不等式问题的方法
(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造
辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论．
(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数．
专题精练
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·一模）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高三上·江苏南通·期末）设 , , ,则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·上海奉贤·二模）设 是一个无穷数列 的前 项和,若一个数列满足对任意的正整数 ,不等式
恒成立,则称数列 为和谐数列,有下列3个命题:
①若对任意的正整数 均有 ,则 为和谐数列;
②若等差数列 是和谐数列,则 一定存在最小值;
③若 的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有( )个
A．0 B．1 C．2 D．3
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学科网（北京）股份有限公司4．（2022·山东临沂·三模）已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时
，则不等式 在 上的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高三上·浙江·期末）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高三上·浙江杭州·阶段练习）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23高二下·湖南株洲·开学考试） ， ， ，则 的大小关系为（ ）.
A． B．
C． D．
8．（23-24高三上·广东·期末）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（21-22高二下·湖南·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23高二上·湖南张家界·期末）已知 ，且 ，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司11．（2023·山东潍坊·三模）已知函数 ，实数 满足不等式 ，
则 的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、填空题
12．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知 ，若函数 的值域为 ，则实数
的取值范围是 ．
13．（22-23高三上·湖北·阶段练习）请写出一个满足以下条件的函数 的解析式 .
① 为偶函数；②当 时， .
14．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数 ， ，若有且仅有一个
正整数 ，使得不等式 成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
15．（22-23高二下·河南·期末）已知函数 ， ．
(1)当 时，证明： 在 上恒成立；
(2)若 有2个零点，求a的取值范围．
16．（2024·北京平谷·模拟预测）设函数 ，曲线 在点 处的切线
斜率为1．
(1)求a的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求证： ．
17．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
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学科网（北京）股份有限公司(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明：当 时，
18．（2024·云南贵州·二模）已知函数 .
(1)若 ，求证：当 时，
(2)若 有两个不同的极值点 且 .
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： .
19．（2024·辽宁大连·一模）已知函数 ．
(1)若 恒成立，求a的取值范围；
(2)当 时，证明： ．
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