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10.1 二元一次方程组的概念（八大类型提分练）
类型一、二元一次方程的定义
1．（2024秋•怀化期末）下列选项是二元一次方程的是（ ）
x+1
A．x﹣3y B．xy+y＝﹣1 C．x+y＝z﹣2 D． −y=1
2
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且
未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
【详解】解：A．x﹣3y，不是等式，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．xy+y＝﹣1中含未知数项的次数是2，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．x+y＝z﹣2含3个未知数，故不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
x+1
D． −y=1是二元一次方程，故本选项符合题意；
2
故选：D．
2
2．（2024 秋•达州期末）下列方程：① x+y＝1；②2x− =1；③ x2+2x＝﹣1；④ 5xy＝1；⑤
y
1
x− y=2，是二元一次方程的是（ ）
3
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
【答案】A
【分析】含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1的整式方程叫二元一次方程，据此逐一判断即可
求解．
1
【详解】解：方程是二元一次方程的是①x+y＝1；⑤x− y=2，
3
故选：A．
3．（2024秋•兰州期末）下列式子中，是二元一次方程的是（ ）
A．x+y＝1 B．2x﹣1＝x C．x2+y2＝4 D．y＝2x2
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的定义即可求解．
【详解】解：A．x+y＝1，是二元一次方程，故该选项符合题意；
B．2x﹣1＝x，只有1个未知数，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C．x2+y2＝4，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
D．y＝2x2，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意．
故选：A．
类型二、利用二元一次方程的定义求字母或代数式的值4．（2024秋•大东区期末）若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义，得出a+b＝1，3a+2b﹣4＝1，解出a、b的值，然后把a、b的值代
入a+b，计算即可得出结果．
【详解】解：∵4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，
{ a+b=1 )
∴ ，
3a+2b−4=1
{ a=3 )
解得： ，
b=−2
当a＝3，b＝﹣2时，a+b＝3﹣2＝1．
故选：D．
5．（2024秋•威宁县期末）若3xm+1+2y2n﹣3＝﹣5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m＝0，n＝2 B．m＝0，n＝﹣2 C．m＝2，n＝﹣2 D．m＝﹣2，n＝1
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义解答即可．
【详解】解：根据题意得m+1＝1，2n﹣3＝1，
解得m＝0，n＝2，
故选：A．
6．（2024春•绿园区期末）已知关于x、y的方程xa﹣2﹣2ya﹣b+3＝1是二元一次方程，求（a﹣b）3的值．
【答案】﹣8．
【分析】根据二元一次方程的定义，可列方程组求解，再代入代数式求值．
{ a−2=1 )
【详解】解：依题意，得 ，
a−b+3=1
{a=3)
解得 ，
b=5
故（a﹣b）3＝（﹣2）3＝﹣8．
7．（2024春•廊坊月考）已知5x2a+b﹣6ya﹣b+5＝9是二元一次方程，求❑√3a+4b的值．
【答案】3．
【分析】根据二元一次方程的定义求得a，b的值后代入❑√3a+4b中计算即可．
【详解】解：∵5x2a+b﹣6ya﹣b+5＝9是二元一次方程
{ 2a+b=1 )
∴ ，
a−b+5=1
{a=−1)
解得： ，
b=3
则❑√3a+4b=❑√−3+12=3．类型三、二元一次方程的解
8．（2024秋•永安市期末）下列4组数值中，不是二元一次方程3x﹣y＝6的解的是（ ）
{x=0) {x=2)
A． B．
y=6 y=0
{x=4) { x=−3 )
C． D．
y=6 y=−15
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的解的定义逐项计算判断即可．
{x=0)
【详解】解：A、把 代入方程的左边，左边＝3×0﹣6＝﹣6，右边＝6，左边≠右边，所以
y=6
{x=0)
不是方程3x﹣y＝6的解，故此选项符合题意；
y=6
{x=2) {x=2)
B、把 代入方程的左边，左边＝3×2﹣0＝6，右边＝6，左边＝右边，所以 是方程3x﹣y＝
y=0 y=0
6的解，故此选项不符合题意；
{x=4) {x=4)
C、把 代入方程的左边，左边＝3×4﹣6＝6，右边＝6，左边＝右边，所以 是方程3x﹣y＝
y=6 y=6
6的解，故此选项不符合题意；
{ x=−3 )
D、把 代入方程的左边，左边＝3×（﹣3）﹣（﹣15）＝6，右边＝6，左边＝右边，所以
y=−15
{ x=−3 )
是方程3x﹣y＝6的解，故此选项不符合题意；
y=−15
故选：A．
9．（2024秋•双流区期末）下面是二元一次方程2x﹣y＝5的解的是（ ）
{x=1) {x=2) {x=4) {x=5)
A． B． C． D．
y=3 y=1 y=3 y=4
【答案】C
【分析】把每个选项中x、y的值代入方程，是方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，由此判
断即可．
{x=1)
【详解】解：A、把 代入方程的左边，左边＝2×1﹣3＝﹣1，右边＝5，左边≠右边，所以
y=3
{x=1)
不是二元一次方程2x﹣y＝5的解，故此选项不符合题意；
y=3
{x=2) {x=2)
B、把 代入方程的左边，左边＝2×2﹣1＝3，右边＝5，左边≠右边，所以 不是二元一次
y=1 y=1
方程2x﹣y＝5的解，故此选项不符合题意；{x=4) {x=4)
C、把 代入方程的左边，左边＝2×4﹣3＝5，右边＝5，左边＝右边，所以 是二元一次方
y=3 y=3
程2x﹣y＝5的解，故此选项符合题意；
{x=5) {x=5)
D、把 代入方程的左边，左边＝2×5﹣4＝6，右边＝5，左边≠右边，所以 不是二元一次
y=4 y=4
方程2x﹣y＝5的解，故此选项不符合题意；
故选：C．
10．（2024秋•乌当区期末）下列4组数值中，是二元一次方程x﹣y＝0的解的是（ ）
{x=1) {x=2) {x=1) { x=1 )
A． B． C． D．
y=1 y=0 y=2 y=−1
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的解的定义逐项计算即可作出判断．
{x=1) {x=1)
【详解】解：A、把 代入x﹣y＝0中，左边＝1﹣1＝0，右边＝0，左边＝右边，所以 是二
y=1 y=1
元一次方程x﹣y＝0的解，故此选项符合题意；
{x=2) {x=2)
B、把 代入x﹣y＝0中，左边＝2﹣0＝2，右边＝0，左边≠右边，所以 不是二元一次方程
y=0 y=0
x﹣y＝0的解，故此选项不符合题意；
{x=1) {x=1)
C、把 代入x﹣y＝0中，左边＝1﹣2＝﹣1，右边＝0，左边≠右边，所以 不是二元一次方
y=2 y=2
程x﹣y＝0的解，故此选项不符合题意；
{ x=1 ) { x=1 )
D、把 代入x﹣y＝0中，左边＝1﹣（﹣1）＝2，右边＝0，左边≠右边，所以 不是二
y=−1 y=−1
元一次方程x﹣y＝0的解，故此选项不符合题意；
故选：A．
类型四、已知二元一次方程的解求字母的值
{x=2)
11．（2024秋•榆林期末）若 是关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1的解，则a的值为（ ）
y=1
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】B
{x=2)
【分析】将 代入关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1，可得关于a的一元一次方程，求解即可获
y=1
得答案．
{x=2)
【详解】解：将 代入关于x，y的二元一次方程ax﹣y＝1，
y=1
可得2a﹣1＝1，
解得a＝1．故选：B．
{ x=4 )
12．（2025•子洲县校级开学）若 是关于x和y的二元一次方程kx﹣2y＝6的解，则k的值是（
y=−1
）
8
A．1 B．− C．﹣1 D．5
3
【答案】A
【分析】将方程的解代入方程kx﹣2y＝6即可求出k．
{ x=4 )
【详解】解：∵ 是关于x和y的二元一次方程kx﹣2y＝6的解，
y=−1
∴4k﹣2×（﹣1）＝6，
解得：k＝1，
故选：A．
{ x=3 )
13．（2024秋•汉台区期末）已知关于x、y的二元一次方程6x+5y＝a的一组解为 ，求﹣4a的平
y=−5
方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x，y的值代入原方程，可求出a的值，再求﹣4a的平方根即可．
{ x=3 )
【详解】解：将 代入原方程，得6×3+5×（﹣5）＝a，
y=−5
∴a＝﹣7，
∴﹣4a＝﹣4×（﹣7）＝28，
∴﹣4a的平方根是±2❑√7．
{m=2)
14．（2024秋•兰州期末）已知 是关于m，n的二元一次方程3m+an＝18的一组解．
n=3
（1）求a的值；
（2）请用含有m的代数式表示n．
【答案】（1）4；
18−3m
（2）n= ．
4
{m=2)
【分析】（1）将 代入3m+an＝18，得出关于a方程，解关于a的方程即可；
n=3
（2）把a＝4代入3m+an＝18得3m+4n＝18，将n看作未知数，m看作已知数，解方程即可．
{m=2)
【详解】解：（1）将 代入3m+an＝18，得
n=3
3×2+3a＝18，
解得a＝4．（2）∵a＝4，
∴原方程可变为3m+4n＝18，
∴4n＝18﹣3m，
18−3m
∴n= ．
4
类型五、由实际问题抽象出二元一次方程
15．（2024秋•潍坊期末）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正
五边形，白皮为正六边形．已知黑皮和白皮共有 32块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3
块黑皮．若缝制这样一个足球需要白皮x块，由题意可列方程为（ ）
A．5x＝3（32﹣x） B．5（32﹣x）＝3x
C．x＝3（32﹣x） D．5x＝32﹣x
【答案】B
【分析】设足球需要白皮x块，则黑皮（32﹣x）块，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑
皮，列方程组即可．
【详解】解：设足球需要白皮x块，则黑皮（32﹣x）块，
由题意得，5（32﹣x）＝3x，
故选：B．
16．（2024春•海淀区校级期中）将一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为了一个正方形，设这个
长方形的长为x cm，宽为y cm，则下列方程中正确的是（ ）
A．x+5＝2 y B．x+5＝y+2 C．x﹣5＝2y D．x﹣5＝y+2
【答案】D
【分析】根据长减少5cm，宽增加2cm后长和宽相等列方程即可．
【详解】解：设这个长方形的长为x cm，宽为y cm，
由题意得，x﹣5＝y+2，
故选：D．
17．（2024春•双阳区月考）设甲数为x，乙数为y，则甲数的一半与乙数的2倍的和为100，请列出二元
1
一次方程 x+2y=100 ．
2
1
【答案】 x+2y=100．
2
【分析】注意代数式的正确书写．由甲数的一半与乙数的2倍的和为100，列出方程即可．
【详解】解：由题可得，1
x+2y=100，
2
1
故答案为： x+2y=100．
2
18．（2024春•萨尔图区校级月考）小敏在商店买了 12支铅笔和5本练习本，其中铅笔每支x元，练习本
每本y元，共花了11元．
（1）列出关于x，y的二元一次方程；
（2）已知再买同样的6支铅笔和同样的2本练习本，还需要5元，列出关于x，y的二元一次方程．
【答案】（1）12x+5y＝11；
（2）6x+2y＝5．
【分析】（1）等量关系为：12支铅笔总价钱+5本练习本总价钱＝4.9，把相关数值代入即可求得所求
的方程；
（2）等量关系为：6支铅笔总价钱+2本练习本总价钱＝2.2，把相关数值代入即可求得所求的方程．
【详解】解：（1）铅笔每支x元，练习本每本y元，那么12支铅笔的总价钱为12x元，5本练习本的总
价钱为5y，可列方程为：12x+5y＝11；
（2）铅笔每支x元，练习本每本y元，那么6支铅笔的总价钱为6x元，2本练习本的总价钱为2y，可
列方程为：6x+2y＝5．
类型六、二元一次方程组的定义
19．（2024秋•张家口期末）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
{4x−y=−1)
{1
−1= y)
A． B． x
y=2x+3
3x+ y=0
{x−y=1) {x2−x−2=0)
C． D．
xy=2 y=x+1
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做
二元一次方程组．
【详解】解：A．是二元一次方程组，故此选项符合题意；
B．有一个方程含有分式，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
C．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
D．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
故选：A．
20．（2024秋•南海区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
{x+ y=5)
{x−2y=4
)
A． B． 1 1
xy=6 + =5
x y{x−y=1
)
{2x+ y=3)
C． D．
x+3 y=4 x+z=4
【答案】C
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整
式方程．
【详解】解：A、第二个方程中的xy是二次的，故该选项错误；
B、该方程组中的第二个方程是分式方程，故该选项错误；
C、该方程组符合二元一次方程组的定义；
D、该方程组中有三个未知数，故该选项错误．
故选：C．
21．（2021春•饶平县校级期中）判断下列方程组是否是二元一次方程组
{ x−2y=1 ) { y=1 ) {x=1) {x−7 y=3) { x− 2 =5 )
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） y
3x+5 y=12 x−3 y=5 y=2 3 y+5z=1
3x+8 y=12
．
【答案】见试题解答内容
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整
式方程．
{ x−2y=1 )
【详解】解：（1） 是二元一次方程组；
3x+5 y=12
{ y=1 )
（2） 是二元一次方程组；
x−3 y=5
{x=1)
（3） 是二元一次方程组；
y=2
{x−7 y=3)
（4） 是三元一次方程组；
3 y+5z=1
{ x− 2 =5 )
（5） y 是分式方程，故（5）错误．
3x+8 y=12
类型七、二元一次方程组的解
{x=2)
22．（2024秋•长安区期末）数学课堂上，老师要求写出一个以 为解的二元一次方程组，下面方程
y=3
组中符合条件的方程组是（ ）
{3x+ y=2
)
{3x−y=3)
A． B．
4x−y=11 2x+ y=1
{x+ y=−1) {x−y=−1)
C． D．
2x−y=11 2x−y=1
【答案】D【分析】根据二元一次方程组的解的定义逐项判断即可．
{x=2) {3x+ y=2
)
【详解】解：A、把 代入方程组 中，两个方程都不成立，故不是方程组的解，故此
y=3 4x−y=11
选项不符合题意；
{x=2) {3x−y=3)
B、把 代入方程组 中，两个方程都不成立，故不是方程组的解，故此选项不符合题
y=3 2x+ y=1
意；
{x=2) {x+ y=−1)
C、把 代入方程组 中，两个方程都不成立，故不是方程组的解，故此选项不符合题
y=3 2x−y=11
意；
{x=2) {x−y=−1)
D、把 代入方程组 中，两个方程都成立，故是方程组的解，故此选项符合题意；
y=3 2x−y=1
故选：D．
{ x+ y=8 )
23．（2024秋•平远县期末）下面四组数值中，哪一个是二元一次方程组 的解？（ ）
5x+3 y=34
{x=−4) {x=−1) {x=5) {x=1)
A． B． C． D．
y=3 y=9 y=3 y=7
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的解的定义逐项判断即可．
{x=−4) { x+ y=8 ) {x=−4)
【详解】解：A、把 代入方程组 ，每一个方程都不成立，所以 不是方
y=3 5x+3 y=34 y=3
{ x+ y=8 )
程组 的解，故此选项不符合题意；
5x+3 y=34
{x=−1) { x+ y=8 ) {x=−1)
B、把 代入方程组 ，第一个方程成立，第二个方程不成立，所以 不是
y=9 5x+3 y=34 y=9
{ x+ y=8 )
方程组 的解，故此选项不符合题意；
5x+3 y=34
{x=5) { x+ y=8 ) {x=5) { x+ y=8 )
C、把 代入方程组 ，两个方程都成立，所以 是方程组 的解，
y=3 5x+3 y=34 y=3 5x+3 y=34
故此选项符合题意；
{x=1) { x+ y=8 ) {x=1)
D、把 代入方程组 ，第一个方程成立，第二个方程不成立，所以 不是方程
y=7 5x+3 y=34 y=7
{ x+ y=8 )
组 的解，故此选项不符合题意；
5x+3 y=34
故选：C．
类型八、由实际问题抽象出二元一次方程组
24．（2024秋•岚皋县校级期末）在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电
池，小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”小丽说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”．如果他们说的都是真的，设小明收集了x节废电池，小丽收集了y节废电池，则可列
方程组为（ ）
{ x−y=7， ) { x−y=7， )
A． B．
x−8=2(y+8) 2(x−8)= y+8
{x−y=7，) { y−x=7， )
C． D．
2(x−8)= y x+8=2(y−8)
【答案】B
【分析】根据小明说：“我比你多收集了7节废电池啊！”可以得到x﹣y＝7，根据小丽说：“如果你
给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”，可以得到2（x﹣8）＝y+8，从而可以得到相应的方
程组，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
{ x−y=7 )
，
2(x−8)= y+8
故选：B．
25．（2024秋•金沙县期末）A、B两地相距420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从A、B两地相向开出，
经过2小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/时
和y千米/时，则下列方程组正确的是（ ）
{ x+ y=70 )
A．
2x+2y=420
{ x−y=70 )
B．
2x+2y=420
{ x+ y=70 )
C．
2x−2y=420
{2x+2y=420)
D．
2x−2y=70
【答案】D
【分析】根据题意列出方程组即可．
【详解】解：设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/时和y千米/时，
{2x+2y=420)
根据题意得： ，
2x−2y=70
故选：D．
26．（2024秋•田阳区期末）《九章算术》中的问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（古代1斤＝16两），
雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少两？”设每只雀重 x两，每只
{ 5x+6 y=16 )
燕重y两，可列方程组为 ．
4x+ y=5 y+x
{ 5x+6 y=16 )
【答案】 ．
4x+ y=5 y+x【分析】根据“五只雀，六只燕，共重1斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，此题得解．
{ 5x+6 y=16 )
【详解】解：依题意得： ．
4x+ y=5 y+x
{ 5x+6 y=16 )
故答案为： ．
4x+ y=5 y+x
27．（2024秋•碑林区校级期末）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天 25元，两人间每
人每天35元．一个79人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去
住宿费2315元．设该旅游团租住三人间客房x间，两人间客房y间，请列出满足题意的方程组
{ 3x+2y=79 )
．
3×25x+2×35 y=2315
{ 3x+2y=79 )
【答案】 ．
3×25x+2×35 y=2315
【分析】设租住三人间x间，租住两人间y间，就可以得出3x+2y＝79，3×25x+2×35y＝2315，由这两个
方程构成方程组．
【详解】解：设租住三人间x间，租住两人间y间，由题意，得
{ 3x+2y=79 )
，
3×25x+2×35 y=2315
{ 3x+2y=79 )
故答案为： ．
3×25x+2×35 y=2315
28．（2024秋•市南区校级期末）某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为
225吨，其中玉米减产5%，小麦超产15%，设该农场去年实际生产玉米x吨、小麦y吨，可列方程组为：
{
x+ y=225
)
x y ．
+ =200
95% 115%
{
x+ y=225
)
【答案】 x y ．
+ =200
95% 115%
【分析】根据去年计划生产玉米和小麦共 200吨，采用新技术后，实际产量为 225吨，其中玉米减产
5%，小麦超产15%，即可列出相应的方程组．
【详解】解：由题意可得，
{
x+ y=225
)
x y ，
+ =200
1−5% 1+15%
{
x+ y=225
)
即 x y ，
+ =200
95% 115%{
x+ y=225
)
故答案为： x y ．
+ =200
95% 115%
一．选择题（共8小题）
1．（2024春•柳州期中）若6xa﹣1+3yb＝2是二元一次方程，则a+b的值为（ ）
2 3
A．3 B． C．2 D．
3 2
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义解答即可．
【详解】解：若6xa﹣1+3yb＝2是二元一次方程，
则a﹣1＝1，b＝1，
解得a＝2，
所以a+b＝2+1＝3，
故选：A．
2．（2024春•任泽区期中）若方程x+□y＝1是二元一次方程，则“□”可以表示为（ ）
1 1
A．0 B． C．x D．
4 x
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义：两个未知数，含未知数的项的次数为1次的整式方程即可得出结果．
【详解】解：∵方程x+□y＝1是二元一次方程，
1
∴□可以表示为 ，
4
故选：B．
{x=2)
3．（2024 秋•渭城区期末）若关于 x，y 的二元一次方程 mx+y＝5 的一个解是 ，则 m 的值为
y=1
（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【答案】A
{x=2)
【分析】依据题意，将 代入mx+y＝5，得2m+1＝5，进而计算可以得解．
y=1
{x=2)
【详解】解：由题意，∵ 是方程mx+y＝5的一个解，
y=1
∴2m+1＝5．∴m＝2．
故选：A．
4．（2024秋•三水区期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
{3x+4 y=6) {x+ y=2)
A． B．
5z−6 y=4 x−y=4
{ x+ y=2 ) {
x+ y=2
)
C． D． 1 1 1
x2−y2=8 − =
x y 2
【答案】B
【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：A、该方程组中含有3个未知数，属于三元一次方程组，故本选项不符合题意．
B、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意．
C、该方程组属于二元二次方程组，故本选项不符合题意．
D、该方程组中含有分式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
{ x=2y )
5．（2024秋•高陵区期末）若二元一次方程组 的解也是二元一次方程x﹣y＝4的解，则k的值
x+ y=k
为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】A
{ x=2y )
【分析】根据题意得到方程组 ，求出方程组的解，再代入x+y＝k即可．
x−y=4
{ x=2y ) {x=8)
【详解】解：方程组 的解为 ，
x−y=4 y=4
{x=8)
把 代入x+y＝k得，k＝8+4＝12，
y=4
故选：A．
6．（2024秋•重庆期末）七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰
好一样重，设每件甲商品重x千克，每件乙商品重y千克，根据题意可列方程组为（ ）
{ 7x+8 y=48 )
A．
6x+ y=7 y+x
{ 8x+7 y=48 )
B．
6x−y=7 y−x
{ 7x+ y=48 )
C．
7x−y=8 y−x
{ 7x+8 y=48 )
D．
7x+ y=8 y+x【答案】A
【分析】设每件甲商品重x千克，每件乙商品重y千克，根据七件甲商品和八件乙商品共重48千克可得
方程7x+8y＝48，根据甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰好一样重可得方程6x+y＝7y+x，据此列出
方程组即可．
【详解】解：设每件甲商品重x千克，每件乙商品重y千克，根据七件甲商品和八件乙商品共重48千克
可得方程7x+8y＝48，根据甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰好一样重可得方程6x+y＝7y+x，
{ 7x+8 y=48 )
∴ ，
6x+ y=7 y+x
故选：A．
7．（2024秋•湖北期末）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知
银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”（注：这里1斤＝16两，半斤＝8两）其题意为：客人一起
分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为x人，银子为y两，可列方程组
（ ）
{7x+4= y) {7x+4= y)
A． B．
9x−8= y 9x+8= y
{7 y+4=x) {7 y−4=x)
C． D．
9 y−8=x 9 y+8=x
【答案】A
【分析】设客人为x人，银子为y两，根据银两相同，且银两，人数，余两之间的关系解即可．
【详解】解：根据银两相同，且银两，人数，余两之间的关系得：
{7x+4= y)
，
9x−8= y
故选：A．
8．（2024秋•宁阳县期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．
若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方
案（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，设购买了n个篮球，购买了m个足球，根据题意，列出方程，分类讨论即可．
【详解】解：根据题意，设购买了n个篮球，购买了m个足球，
∴120n+150m＝2400，
整理得：4n+5m＝80且n，m为正整数，
80−4×5
当n＝5时，m= =12；
5
80−4×10
当n＝10时，m= =8；
5
80−4×15
当n＝15时，m= =4；
5综上所述，该社团共有3种购买方案．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋•城关区校级期末）（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，
即可求得m的值．
【详解】解：∵（m﹣3）x+2y|m﹣2|+6＝0是关于x，y的二元一次方程，
∴|m﹣2|＝1且m﹣3≠0，
解得m＝1，
故答案为：1．
10．（2024秋•沙坪坝区校级期末）若关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，则n的值为
﹣ 1 ．
【答案】﹣1．
【分析】由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，据此可列出方程，并求解．
【详解】解：∵关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，
∴|n|＝1且n﹣1≠0，
解得n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
{x=1)
11．（2024秋•新邵县期末）若 是关于x，y的二元一次方程2x+ay＝8的一个解，则a的值为 3
y=2
．
【答案】3．
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
{x=1)
【详解】解：把 代入方程得：2+2a＝8，
y=2
解得：a＝3．
故答案为：3．
{ x=3 )
12．（2024秋•新田县期末）若 是二元一次方程ax+by＝﹣2的一个解，则3a﹣2b+2026的值为
y=−2
2024 ．
【答案】2024．
【分析】把x＝3，y＝﹣2代入方程ax+by＝﹣2中得3a﹣2b＝﹣2，再整体代入代数式求值即可．
【详解】解：根据题意可得3a﹣2b＝﹣2，
∴3a﹣2b+2026＝﹣2+2026＝2024．
故答案为：2024．13．（2024春•衡阳月考）甲岁数的5倍比乙岁数的3倍少2，设甲为x岁，乙为y岁，列出相应的二元一
次方程为 5 x ＝ 3 y ﹣ 2 ．
【答案】5x＝3y﹣2．
【分析】设甲为x岁，乙为y岁，根据甲岁数的5倍比乙岁数的3倍少2，列出方程即可．
【详解】解：设甲为x岁，乙为y岁，
由题意得，5x＝3y﹣2，
故答案为：5x＝3y﹣2．
14．（2023秋•越城区校级期末）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土5m3或
运土3m3．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配x人挖土，y人运土．
为求x，y，小聪正确地列出了其中一个方程x+y＝96，你所列的另一个方程为 5 x ＝ 3 y ．
【答案】5x＝3y．
【分析】等量关系式：挖土量＝运土量，据此列方程，即可求解．
【详解】解：由题意得：
5x＝3y；
故答案为：5x＝3y．
15．（2024秋•海州区期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有
木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译成白话文：“现有一
根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比
木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设木头的长度为x尺，绳子的长度为y尺．则可列出方程为：
{y−x=4.5
)
y ．
x− =1
2
{y−x=4.5
)
【答案】 y ．
x− =1
2
y
【分析】由绳子比木头长4.5尺得：y﹣x＝4.5；由绳子对折后比木头短1尺得：x− =1；组成方程组
2
即可．
{y−x=4.5
)
【详解】解：由题意得： y ；
x− =1
2
{y−x=4.5
)
故答案为： y ．
x− =1
2
16．（2024秋•府谷县期末）某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突
出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本 3元，碳素笔每支2元，共
花费28元，则共有 4 种购买方案．
【答案】见试题解答内容【分析】设购买x支笔记本，y个碳素笔，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，
再结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【详解】解：笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，设购买x支笔记本，y个碳素笔，
依题意得：3x+2y＝28，
3
∴y=14− x．
2
又∵x，y均为正整数，
{x=2
)
{x=4) {x=6) {x=8)
∴ 或 或 或 ，
y=11 y=8 y=5 y=2
∴共有4种不同的购买方案．
故答案为：4．
三．解答题（共4小题）
17．（2023春•朝阳区期末）已知关于x、y的方程xa﹣2﹣2ya﹣b+5＝1是二元一次方程，求a、b的值．
【答案】a＝3，b＝7．
【分析】根据二元一次方程的定义得出a﹣2＝1且a﹣b+5＝1，再求出a、b即可．
【详解】解：∵关于x、y的方程xa﹣2﹣2ya﹣b+5＝1是二元一次方程，
∴a﹣2＝1且a﹣b+5＝1，
解得：a＝3，b＝7．
18．（2024•秦都区校级一模）为增强学生体质，舒缓学习压力，培养团队意识，增进班级凝聚力．某校
初三年级组织了一场拔河比赛，并为获得一等奖和二等奖共8个班级购买奖品，共花费600元，其中一
等奖奖品每班100元，二等奖奖品每班60元，求获得一等奖和二等奖的班级分别有多少个？根据题意
列方程组．
{ x+ y=8 )
【答案】 ．
100x+60 y=600
【分析】设获得一等奖和二等奖的班级分别有x个和y个，根据共8个班级和共花费600元，，可列出
关于x，y的二元一次方程组．
【详解】解：设获得一等奖和二等奖的班级分别有x个和y个，
{ x+ y=8 )
根据题意得： ．
100x+60 y=600
{x=1)
19．（2024春•南昌县期末）已知 是二元一次方程2x+y＝a的一个解．
y=2
（1）a＝ 4 ；
（2）完成下表，并在所给的直角坐标系中描出表示这些解的点（x，y），如果过其中任意两点作直线，
你有什么发现？
x 0 1 3
﹣ 1 2y 6 2 0
4 ﹣ 2
【答案】见试题解答内容
{x=1)
【分析】（1）将 代入2x+y＝a，即可得；
y=2
（2）由（1）中所得方程2x+y＝4逐一计算可得，再描点、连线即可得出结论．
{x=1)
【详解】解：（1）将 代入2x+y＝a，得：a＝4，
y=2
故答案为：4；
（2）完成表格如下：
x ﹣1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 ﹣2
描点、连线如下：由图可知，如果过其中任意两点作直线，其他点也在这条直线上．
20．（2024秋•渭城区期末）刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，某装饰材料商场出
售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每箱50块，小包装每箱30块，若大、小包装均不拆开零售，
可以只购买一种．刘老师共有哪几种购买方案．
【答案】方案一：购买大包装0箱瓷砖，购买小包装16箱瓷砖
方案二：购买大包装3箱瓷砖；购买小包装；
方案三：购买大小包装各6箱瓷砖；
方案四：购买大包装9箱瓷砖，购买小包装1箱瓷砖．
【分析】设购买大包装x箱，小包装y箱，根据题意列出方程，然后利用x、y为非负整数得到方程的解
即可．
【详解】解：设购买大包装x箱，小包装y箱，
50x+30y＝480．
5x+3y＝48，
{ x=0 ) {x=3 ) {x=6) {x=9)
由题意可得： ，或 ，或 ，或 ．
y=16 y=11 y=6 y=1
共有四种购买方案，
方案一：购买大包装0箱瓷砖，购买小包装16箱瓷砖
方案二：购买大包装3箱瓷砖；购买小包装；
方案三：购买大小包装各6箱瓷砖；
方案四：购买大包装9箱瓷砖，购买小包装1箱瓷砖．
