文档内容
第5讲 导数中函数的构造问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................9
【考点一】导数型构造函数............................................................................................................9
【考点二】构造函数比较大小.......................................................................................................18
【专题精练】...............................................................................................................................25
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特
征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．
真题自测
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
3．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；
(3)设 ，证明： ．
4．（2021·全国·高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
参考答案：
题号 1 2
答案 C A
1．C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
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学科网（北京）股份有限公司令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
2．A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ;构造函数 ,利用导数可
得 ,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故 ，故 ，所以 ；
设 ，
，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当 ，
取 得： ，故
，其中 ，且
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，及
此时 ，
故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
[方法四]：构造函数
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则 ,
所以 ，所以 ,所以 ，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当
，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
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学科网（北京）股份有限公司法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
3．(1)f(x)的减区间为 ，增区间为 .
(2)
(3)见解析
【分析】（1）求出 ，讨论其符号后可得 的单调性.
（2）设 ，求出 ，先讨论 时题设中的不等式不成立，再就 结合放缩
法讨论 符号，最后就 结合放缩法讨论 的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得 对任意的 恒成立，从而可得 对任意的 恒成
立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
（2）设 ，则 ，
又 ，设 ，
则 ，
若 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 为连续不间断函数，
故存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.
若 ，则 ，
下证：对任意 ，总有 成立，
证明：设 ，故 ，
故 在 上为减函数，故 即 成立.
由上述不等式有 ，
故 总成立，即 在 上为减函数，
所以 .
当 时，有 ，
所以 在 上为减函数，所以 .
综上， .
（3）取 ，则 ，总有 成立，
令 ，则 ，
故 即 对任意的 恒成立.
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学科网（北京）股份有限公司所以对任意的 ，有 ，
整理得到： ，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处
导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
4．（1） ；（2）证明见详解
【分析】（1）由题意求出 ，由极值点处导数为0即可求解出参数 ；
（2）由（1）得 ， 且 ，分类讨论 和 ，可等价转化为要证
，即证 在 和 上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】（1）由 ， ，
又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知， ，其定义域为 ．
要证 ，即证 ，即证 ．
（ⅰ）当 时， ， ，即证 ．令 ，因为
，所以 在区间 内为增函数，所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司（ⅱ）当 时， ， ，即证 ，由（ⅰ）分析知 在区间
内为减函数，所以 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）有 ．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得 ， ， 且 ，
当 时，要证 ， ， ，即证
，化简得 ；
同理，当 时，要证 ， ， ，即证
，化简得 ；
令 ，再令 ，则 ， ，
令 ， ，
当 时， ， 单减，故 ；
当 时， ， 单增，故 ；
综上所述， 在 恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令 ，因为 ，所以 在区间 内是增函数，在区间 内是减
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学科网（北京）股份有限公司函数，所以 ，即 （当且仅当 时取等号）．故当 且 时， 且
， ，即 ，所以 ．
（ⅰ）当 时， ，所以 ，即 ，所以 ．
（ⅱ）当 时， ，同理可证得 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当 且 时， ，即 ．
【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当 时，转化为证明
，当 时，转化为证明 ，然后构造函数，利用导数研究单调性，进
而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当 时， 成
立和当 时， 成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，
运算简洁，为最优解；方法三先构造函数 ，利用导数分析单调性，证得常见常用结论
（当且仅当 时取等号）．然后换元得到 ，分类讨论，利用不等式的基本性质
证得要证得不等式，有一定的巧合性.
考点突破
【考点一】导数型构造函数
一、单选题
1．（2023·河北唐山·一模）已知函数 ,则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
2．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在 上的函数 的导数为 ， ，且对任意的
满足 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·江苏南通·模拟预测）已知O为坐标原点，曲线 在点 处的切线与曲线 相切
于点 ，则（ ）
A． B．
C． 的最大值为0 D．当 时，
4．（2023·湖北·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2023·山东威海·一模）若不等式 对任意 成立,则实数a的取值范围为
.
6．（2022高三·全国·专题练习）已知函数 ，若对任意正数 ，当 时，都
有 成立，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
7．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数 ．若函数 有两个不相等的零
点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求a的取值范围；
(2)证明： ．
8．（2023·湖北武汉·二模）已知函数 ，其中 ．
(1)证明： 恒有唯一零点；
(2)记（1）中的零点为 ，当 时，证明： 图像上存在关于点 对称的两点．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B A AB BC
1．B
【分析】化简 ，得到 ，令 ，令
，求得 ，得到 在 上单调递增，且函数 为偶函数，进而得
到 上单调递减，把不等式 转化为 ，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数 ，
所以 ，令 ，
可得
令 且 ，
可得 在 上恒成立，所以 ，
所以 在 上单调递增，
又由 ，
所以函数 为偶函数，则在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司又由 ，即 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
故选：B.
2．A
【分析】构建 ，根据题意分析可知 在 上单调递减，结合函数单调性解不等式.
【详解】构建 ，则 ，
因为 ，则 ，即 ，
可知 在 上单调递减，且 ，
由 可得 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：A．
【点睛】关键点点睛：根据 构建 ，进而利用导数判断函数单调性，结合
单调性解不等式.
3．AB
【分析】先利用导数几何意义求出切线方程，利用切线斜率和截距相等建立方程，然后利用指对互化判断
A、B，由数量积坐标运算化简 ，判断函数值符号即可判断C，构造函数，利用导数
法研究函数的单调性，判断D
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
切线： ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
切线： ，即 ，
由题意切线重合，所以 ，所以 ，即 ，A正确；
当 时，两切线不重合，不合题意，
所以 ， ， ，
所以 ， ，B正确；
，
当 时， ， ，则 ，当 时， ， ，
则 ， ，所以 ，C错误；
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
所以 ，∴ ，
记 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，则 ，所以 ，D错误.
故选：AB
【点睛】关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，在代换过程中要尽量
去消去指数或对数，朝目标化简.
4．BC
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学科网（北京）股份有限公司【分析】通过多次构造函数，结合函数的性质、选项及 进行求解.
【详解】设 ， ，当 时， ， 为减函数；当 时，
， 为增函数；所以 的最大值为 ，即 .
因为 ，所以 .
设 ， ，所以当 时， 为减函数；
因为 ， ，所以 .
由 可得 ，所以 ，故B正确.
设 ， ，当 时， ， 为减函数；当 时， ，
为增函数；所以 的最大值为 ，所以 ，即 .
.
设 ，易知 为增函数，由 可得 ，故C正确.
因为 为单调递减函数， 在 上是增函数，在 上是减函数，且
的图象经过 图象的最高点，所以当 时， 的大小无法得出，故A不正确.
令 ，则 ，得 ，易知 在 为增函数，所以 ，
所以 不成立，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的常用方法：
（1）作差比较法：作差，构造函数，结合函数最值进行比较；
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学科网（北京）股份有限公司（2）作商比较法：作商，构造函数，结合函数最值进行比较；
（3）数形结合法：构造函数，结合函数图象，进行比较；
（4）放缩法：结合常见不等式进行放缩比较大小，比如， 等.
5．
【分析】将不等式变形为 的形式,构造 ,求导判断单调性后可知,只
需 即可,即 成立,只需 ,构造新函数,求导求单调性,求出最值解出
a的取值范围即可.
【详解】解:因为 对任意 成立,
不等式可变形为: ,
即 ,
即 对任意 成立,
记 ,所以 ,
所以 在 上单调递增,
则 可写为: ,
根据 单调性可知,只需 对任意 成立即可,
即 成立,记 ,即只需 ,
因为 ,故在 上, , 单调递增,
在 上, , 单调递减,
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学科网（北京）股份有限公司所以 ,
所以只需 即可,解得: .
故答案为:
【点睛】思路点睛:本题考查不等式恒成立问题，属于难题，关于恒成立问题的思路如下:
(1)若 ， 恒成立，则只需 ;
(2) 若 ， 恒成立，则只需 ;
(3) 若 ， 恒成立，则只需 ;
(4) 若 ， 恒成立，则只需 ;
(5) 若 ， 恒成立，则只需 ;
(6) 若 ， 恒成立，则只需 ;
(7) 若 ， 恒成立，则只需 ;
(8) 若 ， 恒成立，则只需 .
6．
【分析】令 ，进而原题等价于 在 单调递增，从而转化为 ，
在 上恒成立，参变分离即可求出结果.
【详解】由 得，
令 ，∴
∴ 在 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司又∵
∴ ，在 上恒成立，即
令 ，则
∴ 在 单调递减，又因为 ，
∴ ．
故答案为： .
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成
立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
(最)值问题处理．
7．(1) ；
(2)证明见详解.
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可；
（2）构造函数 ，利用导数研究其单调性与最值即可证明.
【详解】（1）由题意可知： ，
若 ，则 恒成立，即 单调递增，不存在两个不等零点，
故 ，
显然当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以若要符合题意，需 ，
此时有 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，
而 ，
即 在 上递减，故 ，
所以 ，
又 ，
故在区间 和 上函数 存在各一个零点，符合题意，
综上 ；
（2）结合（1），不妨令 ，
构造函数 ，
则 ，
即 单调递减，所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
由（1）知 在 上单调递增，所以由 ，
故 .
8．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）令 ，对函数求导利用函数导数单调性进行证明即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）将问题转化，构造新函数，对函数求导，利用函数导数单调性进行证明即可.
【详解】（1） ，又 ，
令 ，则 ， 递增，
令 ，则 ， 递减，
而 时，g(x)<0， 时g(x)>0，
有 ， ，
可得 恒有唯一零点．
（2）因为 ，故 ，
要证 图像上存在关于点 对称的两点，
即证方程 有解；
，
令 ，
，
令 ，
则 ，
令
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学科网（北京）股份有限公司，
当 时， ，则 ， 递增，
当 时， ，则 ， 递减，
故 ，因为 ，故 ，
又 时， ， 时， ，
故 先负后正再负，则 先减再增再减，
又 ，且 时， ， 时， ，
故 先正后负再正再负，则h(x)先增再减再增再减，
又 时， ， 时， ，而 ，
故h(x)在区间 存在两个零点，则原题得证！
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，
难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，
在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
规律方法：
(1)出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝.
(3)出现f′(x)＋nf(x)的形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
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学科网（北京）股份有限公司(4)出现f′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝.
【考点二】构造函数比较大小
一、单选题
1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知 ，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·广东·二模）已知 ， ， ，则（参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高二下·福建莆田·开学考试）已知 为函数 的导函数，当 时，有
恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·重庆·一模）已知m，n关于x方程 的两个根，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2022·福建龙岩·模拟预测）设 ，则 的大小关系为 .（从小到
大顺序排）
6．（2023·山西·模拟预测）已知定义在R上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且
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学科网（北京）股份有限公司， ，则不等式 的解集是 ．
四、解答题
7．（2023高三·全国·专题练习）已知 ，函数 有两个零点，记为 ， ．
(1)证明： ．
(2)对于 ，若存在 ，使得 ，试比较 与 的大小．
8．（2023高三·全国·专题练习）设函数 的两个零点是 ，求证：
．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D B BD ACD
1．D
【分析】根据式子结构，构造函数 ，利用导数判断出 的单调性，进而得到a，b，c
的大小关系.
【详解】根据式子结构，构造函数 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，得 ，
因此 在 单调递增，在 单调递减，
而 ， ， ，
因为 ，所以 ，即 .
故选：D
2．B
【分析】由 ， 考虑构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，利用单
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学科网（北京）股份有限公司调性比较大小即可.
【详解】因为 ， ，
考虑构造函数 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，故 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的
单调性比较大小.
3．BD
【分析】构造函数 ，其中 ，利用导数分析函数 在 上的单调性，结合单调性
逐项判断即可.
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，
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学科网（北京）股份有限公司对于AB选项， ，即 ，可得 ，A错B对；
对于CD选项， ，即 ，D对，C无法判断.
故选：BD.
4．ACD
【分析】根据函数的图象可得 ，结合条件可得 ， ，利用对勾函数的性质可判
断A，构造函数 ，根据函数的单调性可判断B，构造函数 ，利用导数研究函数
的性质结合条件可判断CD.
【详解】画出函数 与 的大致图象，
由题可知 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以 ，可得 ， ，
由对勾函数的性质可知 ，故A正确；
设函数 ，因为函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单
调递增，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
所以 ， ，即 ，故B错误；
设函数 ，则 ，
由 ，可得 单调递增，
由 ，可得 单调递减，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，故C正确；
又 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：
本题关键点是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据不等式的“形状”变换函数“形
状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
5．
【分析】方法一：构造函数 和 ，求导确定单调性，利用单调性即可比较大
小.
【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法
记 ，则 ，当 时， ，故 在 上单调递增，故
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学科网（北京）股份有限公司，故 ，
记 ，则 ，当 时， ，故 在 单调递减，故
，故 ，因此 ．
故答案为：
[方法二]：泰勒公式放缩
，由函数切线放缩 得 ，因此 .
故答案为：
【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，
也是最优解；
方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．
6．
【分析】利用构造法，构造函数，由其导数可得新函数的单调性，根据函数的对称性，可得新函数的函数
值，进而可得答案.
【详解】设 ，∴ ，∴ 在R上单调递减．
∵ ，∴ 的图象关于直线 对称，∴ ，
∴ ．∵ ，∴ ，即 ，∴ 2，
故不等式 的解集是 ．
故答案为： .
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）问题化为方程 有两个根，构造 研究单调性，结合 得到
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学科网（北京）股份有限公司，即可证结论；
（2）由已知 ，结合 作差，再构造 研
究其函数值符号比较 大小，根据 单调性即可证结论.
【详解】（1）函数 有两个零点，即方程 有两个根．
令 ，则 ，故 上 ， 上 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 处取得最大值 ，
∴ ，即 ，且 ，
又 ，且 ， ，
结合函数 的单调性得 ，
∴ ．
（2）由 得：
．
而 ，
∴ ．
设 ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
∴ 在 上是增函数，因此 ，故 ．
又 ， ，即 ，
∴ ，从而 ，即 ．
又 在 上是增函数，
∴ ，即 ．
8．证明见解析
【分析】先利用函数有两个零点推得 ，再运用对数均值不等式将其转化成
，接着将 代入导函数，换元后利用函数单调性即得.
【详解】先证对数均值不等式： ，
因要证 ，不妨设 ，
则只需证： , .
构造函数 ，则 ．
因为 时， ，所以函数 在 上单调递增，
故 ，从而 , 得证,即有： ， .
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学科网（北京）股份有限公司下证不等式 .
由题意得 ，（ 且 ）
两式相减得 ，
，则 （*），
则 ，且由对数均值不等式可得： ，
故由（*）可得：
．
由 求导得： ，
于是 ，
设 ，则 ， ，
因 在 上递减，故有： ，
即： .
规律方法：
构造函数比较大小的常见类型
(1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小；
(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小．
专题精练
一、单选题
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学科网（北京）股份有限公司1．（2022·广东汕头·一模）已知 ， ， ，则以下不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西萍乡·二模）已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高三上·福建厦门·期末）已知定义在 上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足
且 为偶函数. 为奇函数，若 ，则不等式 的解集为（
）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知 ， ， ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当 时， ，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高三下·江西南昌·阶段练习）已知定义在 上的函数 满足 ，
为 的导函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
7．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知 是函数 的导函数， ，且对于任意的
有 ．则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，若对任意
有 ， ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 ，若 ，则下列选项正确的是
（ ）
A．
B．
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学科网（北京）股份有限公司C．当 时，
D．若方程 有一个根，则
10．（22-23高二下·重庆沙坪坝·开学考试）若函数 的定义域为 ，其导函数为 ，满足
恒成立，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）若两曲线 与 存在公切线，则正实数a的取值
可以是（ ）
A．1 B．e C．e2 D．3e
三、填空题
12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）定义在 上的函数 满足 ，其中 为
的导函数，若 ，则 的解集为 .
13．（2022高三·全国·专题练习）如果 ，那么 的取值范围是
．
14．（23-24高三上·河南焦作·开学考试）已知定义在R上的函数 及其导函数 满足
，若 ，则满足不等式 的x的取值范围是 ．
四、解答题
15．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数 ， .
(1)若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个零点 ，求证： .
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学科网（北京）股份有限公司16．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)当 时， ，不等式 是否恒成立？并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C A C A B BC AC
题号 11
答案 AB
1．C
【分析】由于 ，所以构造函数 ，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单
调性比较大小即可
【详解】 ， ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
因为 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以
故选：C
2．C
【分析】令 ，利用导数可知 在 上单调递增，在 上单调递减，结合 ，
可得答案.
【详解】令 ，令 得 ，令 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，
且 ，
则 ，即 .
故选：C.
3．A
【分析】先证明出 为周期为8的周期函数，把 转化为 .记 ，利用导
数判断出 在 上单调递减，把原不等式转化为 ，即可求解.
【详解】因为 为偶函数， 为奇函数，
所以 ， .
所以 ， ，所以 .
令 ，则 .
令上式中 取 ，则 ，所以 .
令 取 ，则 ，所以 .
所以 为周期为8的周期函数.
因为 为奇函数，所以 ，
令 ，得： ，所以 ，所以 ，即为 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司记 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减.
不等式 可化为 ，即为 .
所以 .
故选： .
4．C
【分析】根据给定条件，构造函数 ，利用导数判断单调性即可得解.
【详解】令函数 ，求导得 ，
因此函数 在 上单调递增，则 ， ，
所以 .
故选：C
5．A
【分析】根据题意构造函数 ，通过导数研究函数 的单调性和奇偶性，将不等式等价转
化为 ，分情况讨论并求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
构造函数 ，当 时， ，
所以函数 在区间 内单调递增，且 ，
又 是定义在R上的偶函数，所以 是定义在R上的偶函数，
所以 在区间 内单调递减，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司不等式 整理可得： ，
即 ，当 时， ，则 ，解得 ；当 时，
，则 ，
解得 ，又 ，所以 ．
综上，不等式 的解集为 ．
故选：A．
6．C
【分析】由题意设 ，结合题意可得 ，即函数 是定义在 上的奇函数，又
当 ， 时， ，则 ，可得 在 ， 上单调递增，在 ， 上单
调递增，利用单调性，即可得出答案．
【详解】令 ，
则 ，即 ，
故函数 是定义在 上的奇函数，
当 , 时， ，则 ，
故 在 , 上单调递增，在 , 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，
则不等式 ，即 ，
故 ，解得 ．
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
7．A
【分析】设 ， ，根据已知条件，利用导数得到 为增函数，由 可推出
A正确；由 可推出B不正确；由 可推出C不正确；由 可推出D不正确.
【详解】因为对于任意的 有 ．又 ， ，
所以 ，
设 ， ，则 ，
因为当 时， ，所以 ，
所以 在 上为增函数，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以
，故A正确；
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
故B不正确；
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故
C不正确；
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故
D不正确；
故选：A
8．B
【分析】构造 ，确定函数 在 上单调递增，计算 ， ，转化得到
，根据单调性得到答案.
【详解】设 ，则 恒成立，故函数 在 上单调递增.
，则 ，即 ，故 .
，即 ，即 ，故 ，解得 .
故选：B.
9．BC
【分析】构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，可判断A选项；由函数
的单调性可判断B选项；利用函数 在区间 上的单调性可判断C选项；取特例可
判断D选项.
【详解】对于A选项，构造函数 ，定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， ．
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
当 时， ，即 ，A选项错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于B选项， ，由于函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，所以 ，B选项正确；
对于C选项，函数 ，定义域为 ，
令 ，则 ；令 ，可得
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
当 时， ，则 ，
即 ，C选项正确；
对于D选项，当 时，若方程 也只有一个根 ，D选项错误.
故选：BC
10．AC
【分析】构造函数 ，利用导数研究 的单调性，由此求得正确答案.
【详解】构造函数 ，
，
所以 在 上单调递增， ，
所以 ，则 ，A选项正确，
，所以 ，B选项错误，
，所以 ，C选项正确，
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学科网（北京）股份有限公司，所以 ，D选项错误.
故选：AC
11．AB
【分析】设两个切点分别为 ， ，可得两函数的切线方程，从而可得 ，
令 ，利用导数求出 ，可得 的取值范围，从而得答案.
【详解】解：设两曲线 与 的两个切点分别为 ， ，
由 可得 ；由 可得 ，
则过两切点的切线方程分别为 ， ，
化简得 ， ．
因为两条切线为同一条，所以 ，
解得 ．
令 ， ，
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．
故选：AB.
12．
【分析】根据 的结构特征结合 ，可设 ，求导后即可判
断其正负，从而判断 的单调性，进而将 转化为 ，利用函数的单调性即可求得不
等式的解集.
【详解】由题意知 ，故 ，
设 ，则 ，
即 在R上单调递增，
由 ，可得 ，
故 即 ，即 ，则 ，
故 ，即 的解集为 ，
故答案为：
13．
【分析】将不等式化简，构造函数根据单调性求解
【详解】 ，
即 ，
令 ，
在 上单调递减，
则 可化为 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ．
故答案为：
14．
【分析】由条件 ，构造函数 ，由 得 在 上单调递增，再利用单
调性解不等式即可.
【详解】由题意，对任意 ，都有 成立，
即 ．
构造函数 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增．
不等式 即 ，即 ．
因为 ，所以 ．
故由 ，得 .
所以不等式 的解集为 ，
故答案为： .
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）通过转化构造函数 ，利用导数求出该函数的最小值即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）通过利用极值点偏移的知识，令 ， ，利用导数相关知识转化为证明
即可.
【详解】（1）结合题意：对于任意 ，都有 ，所以 ，
因为 ，所以只需 ，
，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以只需 ；
（2） 等价于 ，
设函数 ， ，易知 在区间 上单调递增； 上单调递减，
由 知 且 ， ，
设函数 ，其中 ，
知 ，
知 在区间 上单调递增，即 时 ，
即 时， ，
即 ，
又由已知由 且 ，
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学科网（北京）股份有限公司有 且 ，由 在 上单调递减，
所以 ，即 .
16．(1) ；
(2)恒成立，理由见解析.
【分析】（1）通过多次求导，得出函数的单调性，即可根据单调性证明结论；
（2）由（1）可推得 .原题可转化为 ，不等式 恒成立．构
x2
造g(x)=ex- -x-1，通过导函数证明得到 ，然后根据 时， 即可得出答案.
2
【详解】（1）由题意 .
令 ，则 .
令 ，则 ．
∵ ，
∴ 即 在 上单调递增，则有 ．
从而 ，即 在 上单调递增，
∴ ．
要使 在 上单调递增，只需 ，则 ，所以 ．
（2）由（1）可知，当 时， ，且 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
因此，要使 ，不等式 恒成立，
只需 ，不等式 恒成立，
即 ，不等式 恒成立．
先证当 时，上述不等式恒成立．
x2
令g(x)=ex- -x-1，则 ， ．
2
当 时， ，∴ 在 上单调递增，故 ，从而 在 上单
调递增，因此 ，即 ．
∴当 时， ．
故当 时， ，不等式 恒成立．
【点睛】方法点睛：利用导数证明函数不等式恒成立问题，常构造函数，根据导函数得到函数的单调性，
进而得到函数的最值，即可证明.
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