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微专题13 导数解答题之双变量问题
【秒杀总结】
1、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为
含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果；
四是主元法.
【典型例题】
例1．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 ，其
中 为自然对数的底数，约为 .
(1)求函数 的极小值；
(2)若实数 满足 且 ，证明： .
例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)当 ，求函数 的最大值；
(3)若函数 在定义域内有两个不相等的零点 ，证明： .
例3．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知函数
．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明：当 时， ．例4．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知 ，记 的导
函数为 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有三个零点 ，且 ，证明： ．
例5．（2023·浙江·高三校联考期末）已知函数 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)证明： ．
例6．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知直线l与曲线 相切于点
．证明：
(1)l与曲线 恰存在两个公共点 ；
(2) ．
例7．（2023·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)若 为方程 的两个不相等的实根，证明：（i） ；
（ii） .
例8．（2023·河北邯郸·高三统考期末）已知函数 （其中e为自然对数的底
数）.
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)已知 是 的极大值点，若 ，且 .证明：
.
例9．（2023·江苏无锡·高三统考期末）已知函数 ．
(1)若 有两个零点，求a的取值范围；
(2)若方程 有两个实数根 ，且 ，证明： ．
【过关测试】
1．（2023·浙江绍兴·高三期末）已知函数 ．
(1)若 ，记 的最小值为m，求证： ．
(2)方程 有两个不同的实根 ，且 ，求证： ．2．（2023·浙江·高三期末）已知函数 ．
(1)证明：函数 在区间 上有2个零点；
(2)若函数 有两个极值点： ，且 ．求证：
（其中 为自然对数的底数）.
3．（2023·河南三门峡·高三统考期末）已知函数 与函数
有相同的极值点与极值.
(1)求a，b；
(2)若方程 与 分别有两个解p，q（ ）和r，s（ ）.
①分别用p，q表示出r，s；
②求证： .
4．（2023·河北石家庄·高三统考期末）已知函数 .
(1)设 ，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 ，若存在正实数 ，满足 ，证
明： .
5．（2023·河北唐山·高三统考期末）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)若 ，证明:函数 有两个零点 ，且 .6．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数 ， ．
(1)若 的最值和 的最值相等，求m的值；
(2)证明：若函数 有两个零点 ， ，则 ．
7．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数
， 为函数 的导函数
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，若 ， ，且 ，证明：
.
8．（2023·江西吉安·高三统考期末）已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ， 是 的两个不同零点，证明： .
9．（2023·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知函数 ．
(1)若实数 ，求函数 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)设 ，若 且 ，使得 ，证明：
．10．（2023·江西·高三校联考期末）已知函数 （ 是自然对数
的底数）有两个零点.
(1)求实数 的取值范围：
(2)若 的两个零点分别为 ，证明：
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调区间；
(2)当 时，证明 ．
12．（2023·山东菏泽·高三统考期末）已知函数 ， ．
(1)证明： 存在唯一零点；
(2)设 ，若存在 ，使得 ，证明：
．
13．（2023·全国·高三专题练习）设 ， .
(1)设 ，讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 有两个零点 ， ，证明： .14．（2023·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 是两个不相等的正数，且 ，证明： .
15．（2023·安徽马鞍山·统考一模）设函数 .
(1)若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)已知方程 有两个不同的根 、 ，求证： ，其中
为自然对数的底数.
16．（2023·江苏·高三统考期末）已知函数
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个零点 ，求 的范围，并证明
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，设曲线
在点 处的切线方程为 .
(1)证明：对定义域内任意 ，都有 ；
(2)当 时，关于 的方程 有两个不等的实数根 ，证明：
.18．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，证明：对任意 ， ， ．
19．（2023·四川·校联考一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，证明： .
20．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）设函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2) 时， 若 ， 求证： .
21．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)记 的零点为 （ ）， 的极值点为 ，证明： .22．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知函数 ，
为常数 ，
(1)若函数 在原点的切线与函数 的图象也相切，求b；
(2)当 时， ，使 成立，求M的最大值；
(3)若函数 的图象与x轴有两个不同的交点 ，且 ，证明：
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 单调递增，求a的取值范围；
(2)若 有两个极值点 ，其中 ，求证： ．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，曲线 在点
处的切线与直线 垂直.
(1)试比较 与 的大小，并说明理由；
(2)若函数 有两个不同的零点 ，证明： .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知 为自然对
数的底数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个不同零点 ，求证： .26．（2023·四川·校联考模拟预测）设m为实数，函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，直线 是曲线 的切线，求 的最小值；
(3)若方程 有两个实数根， ，证明： ．
27．（2023·全国·高三专题练习）设函数 （ 为常数）.
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 有两个不相同的零点 ， 证明: .
28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有两个不同的零点 ，
.
(1)当 时，求证： ；
(2)求实数a的取值范围；
(3)求证： .
29．（2023·山西·高三校联考期末）已知函数 ，其中 为非零实
数.(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个极值点 ，且 ，证明： .
