文档内容
第7讲 导数与不等式的证明（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................13
【考点一】导数与不等式的证明....................................................................................................13
【专题精练】...............................................................................................................................31
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交
汇命题是高考的热点和难点.
2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大．
真题自测
一、解答题
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
2．（2023·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线y=f (x)在 处的切线斜率；
(2)求证：当 时， ；
(3)证明： ．
3．（2021·全国·高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
4．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．
5．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
6．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
参考答案：
1．（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.
【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调
性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令 ，命题转换为证明： ，然后构造对称
差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
【详解】(1)f(x)的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故f(x)在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由 得 ，即 ．
由 ，得 ．
由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ，
①令 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
当 时， ，g(x)在区间 内为减函数， ，
从而 ，所以 ，
由（1）得 即 ．①
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 内为增函数， ，
从而 ，所以 ．
又由 ，可得 ，
所以 ．②
由①②得 ．
[方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ．
令 ．则上式变为 ，
于是命题转换为证明： ．
令 ，则有 ，不妨设 ．
由（1）知 ，先证 ．
要证：
．
令 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
在区间 内单调递增，所以 ，即 ．
再证 ．
因为 ，所以需证 ．
令 ，
所以 ，故 在区间 内单调递增．
所以 ．故 ，即 ．
综合可知 ．
[方法三]：比值代换
证明 同证法2．以下证明 ．
不妨设 ，则 ，
由 得 ， ，
要证 ，只需证 ，两边取对数得 ，
即 ，
即证 ．
记 ，则 .
记 ，则 ，
所以， 在区间 内单调递减． ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在区间 内单调递减．
由 得 ，所以 ，
即 ．
[方法四]：构造函数法
由已知得 ，令 ，
不妨设 ，所以 ．
由（Ⅰ）知， ，只需证 ．
证明 同证法2．
再证明 ．令 ．
令 ，则 ．
所以 ， 在区间 内单调递增．
因为 ，所以 ，即
又因为 ，所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
综上，有 结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，
这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
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学科网（北京）股份有限公司题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于 的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
2．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；
（2）问题化为 时 ，构造 ，利用导数研究单调性，即可证结论；
（3）构造 ， ，作差法研究函数单调性可得 ，再构造
且 ，应用导数研究其单调性得到 恒成立，对
作放缩处理，结合累加得到 ，即可证结论.
【详解】（1） ，则 ，
所以 ，故 处的切线斜率为 ；
（2）要证 时 ，即证 ，
令 且 ，则 ，
所以 在 上递增，则 ，即 .
所以 时 .
（3）设 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
由（2）知： ，则 ，
所以 ，故 在 上递减，故 ；
下证 ，
令 且 ，则 ，
当 时 ， 递增，当 时 ， 递减，
所以 ，故在x∈(0,+∞)上 恒成立，
则 ，
所以 ， ，…， ，
累加得： ，而 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，故 ；
综上， ，即 .
【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究 单调性证右侧不等关系，再构造
且 ，导数研究其函数符号得 恒成立，结合放缩、累加得到
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学科网（北京）股份有限公司为关键.
3．（1） ；（2）证明见详解
【分析】（1）由题意求出 ，由极值点处导数为0即可求解出参数 ；
（2）由（1）得 ， 且 ，分类讨论 和 ，可等价转化为要证
，即证 在 和 上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】（1）由 ， ，
又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知， ，其定义域为 ．
要证 ，即证 ，即证 ．
（ⅰ）当 时， ， ，即证 ．令 ，因为
，所以 在区间 内为增函数，所以 ．
（ⅱ）当 时， ， ，即证 ，由（ⅰ）分析知 在区间
内为减函数，所以 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）有 ．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得 ， ， 且 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，要证 ， ， ，即证
，化简得 ；
同理，当 时，要证 ， ， ，即证
，化简得 ；
令 ，再令 ，则 ， ，
令 ， ，
当 时， ， 单减，故 ；
当 时， ， 单增，故 ；
综上所述， 在 恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令 ，因为 ，所以 在区间 内是增函数，在区间 内是减
函数，所以 ，即 （当且仅当 时取等号）．故当 且 时， 且
， ，即 ，所以 ．
（ⅰ）当 时， ，所以 ，即 ，所以 ．
（ⅱ）当 时， ，同理可证得 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当 且 时， ，即 ．
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学科网（北京）股份有限公司【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当 时，转化为证明
，当 时，转化为证明 ，然后构造函数，利用导数研究单调性，进
而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当 时， 成
立和当 时， 成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，
运算简洁，为最优解；方法三先构造函数 ，利用导数分析单调性，证得常见常用结论
（当且仅当 时取等号）．然后换元得到 ，分类讨论，利用不等式的基本性质
证得要证得不等式，有一定的巧合性.
4．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当 时， 即可.
【详解】（1） 定义域为 ，
当 时， ，故 在 上单调递减；
当 时， 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
综上所述，当 时， 的单调递减区间为 ；
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学科网（北京）股份有限公司时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） ，且 时， ，
令 ，下证 即可.
，再令 ，则 ，
显然 在 上递增，则 ，
即 在 上递增，
故 ，即 在 上单调递增，
故 ，问题得证
5．(1)
(2) 在 上单调递增.
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令 ， ，即证 ，由第二问结论可知 在[0,+∞）上单调递增，
即得证.
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增.
（3）解：原不等式等价于 ，
令 ， ，
即证 ，
∵ ，
，
由（2）知 在 上单调递增，
∴ ，
∴
∴ 在 上单调递增，又因为 ，
∴ ，所以命题得证.
6．（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建 ， ，求导，利用导数判断原函
数的单调性，进而可得结果；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究 在 上的单调性，求导，分类讨论 和
，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
构建 ，
则 ，
构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
即 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
综上所述： .
（2）令 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
若 ，则 ，
因为 在定义域内单调递减， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 是 的极小值点，不合题意，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司当 时，令
因为 ，
且 ，
所以函数 在定义域内为偶函数，
由题意可得： ，
（i）当 时，取 ， ，则 ，
由（1）可得 ，
且 ，
所以 ，
即当 时， ，则 在 上单调递增，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递减，
所以 是 的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当 时，取 ，则 ，
由（1）可得 ，
构建 ，
则 ，
且 ，则 对 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司可知 在 上单调递增，且 ，
所以 在 内存在唯一的零点 ，
当 时，则 ，且 ，
则 ，
即当 时， ，则 在 上单调递减，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递增，
所以 是 的极大值点，符合题意；
综上所述： ，即 ，解得 或 ，
故a的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：
1.当 时，利用 ，换元放缩；
2.当 时，利用 ，换元放缩.
考点突破
【考点一】导数与不等式的证明
一、单选题
1．（2024·江西·一模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西南昌·一模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）设 ， ， ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
4．（22-23高三下·山东·开学考试）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2023·辽宁·一模）已知实数a，b满足 ，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·湖北·二模）已知 ，则下列不等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数 ，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数 的极小值点为
B．
C．若函数 有4个零点，则
D．若 ，则
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的单调递减区间为
B．
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学科网（北京）股份有限公司C．若方程 有6个不等实数根，则
D．对任意正实数 ，且 ，若 ，则
三、填空题
9．（2023·海南·模拟预测）已知函数 ， ，若对任意 ，
恒成立，则实数 的取值范围是 .
10．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知 ， ， ，其中 为自然对
数的底数，则 ， ， 由大到小依次为 ．
11．（22-23高二下·四川成都·期末）已知 和 是函数 的两个不相等的零点，则
的范围是 ．
12．（23-24高二上·山西·期末）若存在实数 使得 ，则 的值为 .
四、解答题
13．（2024·广东深圳·二模）已知函数 ， 是 的导函数，且 ．
(1)若曲线 在 处的切线为 ，求k，b的值；
(2)在（1）的条件下，证明： ．
14．（2024·河南·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .
15．（2023·天津河西·二模）已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的最小值及取得最小值时的 值；
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学科网（北京）股份有限公司(2)求证： ；
(3)若函数 对 恒成立，求实数a的取值范围．
16．（22-23高三上·广东河源·期末）已知函数 ，其中 为自然对数的底数，
.
(1)当 时，函数 有极小值 ，求 ；
(2)证明： 恒成立；
(3)证明： .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B A ABD ACD AC BCD
1．D
【分析】利用正弦函数的单调性可得 ，利用导数可证不等式 成立，故可判断 ，
故可得三者大小关系.
【详解】 ，
设 ，则 ，
故 在 上为减函数，故 即 ，
所以 ，故 ，
故选：D.
2．A
【分析】化简得 ，构造函数 ，通过导数可证得 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司而 ，从而可得答案．
【详解】 .
设 ，则有 ， 单调递减，
从而 ，所以 ，故 ，即 ，
而 ，故有 ．
故选：A．
3．B
【分析】令 ，利用导数说明函数的单调性，即可得到当 时 ，从而说明 ，
再比较 与 的大小关系，即可得解.
【详解】解：令 ，则 ，所以 在定义域上单调递减，
所以当 时， ，即 ，所以 ，
又 ， ，且 ， ，
所以 ；
故选：B
4．A
【分析】利用导数证明不等式当 时， ，进而得 ，再讨论
与 的关系即可判断.
【详解】解：令 ， ，则 在 上恒成立，
所以，函数 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司所以，当 时， ，即 ， ；
令 ， ，则 ，
所以，函数 在 上单调递减，
所以，当 时， ，即 ， ，
所以，当 时，
所以， ，
因为 ，
所以
所以， ，即
，即
所以，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用 时， ，结合二倍角公式，比较
与 的关系判断.
5．ABD
【分析】根据题意可得 ，对A：根据不等式性质分析运算；对B：
利用基本不等式分析运算；对C：换元结合二次函数分析运算；对D：构建 ，利用导数结
合基本不等式判断原函数的单调性，即可得结果.
【详解】由 ，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，
对A：∵ ，则 ，
故 ，A正确；
对B：由选项A可得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 ，B正确；
对C： ，
令 ，则 ，C错误；
对D： ，等价于 ，
构建 ，则 当 时恒成立，
则 在 上单调递增，
由选项A可知： ，则 ，
故 ，D正确；
故选：ABD.
6．ACD
【分析】对于A，构造函数 ，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即可；
对于C，构造函数 ，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数
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学科网（北京）股份有限公司，利用导数判断函数单调性，即可比较.
【详解】设 ，则 ， 在(0,+∞)单调递增，
所以 ，即 ，即 ，A正确；
令 ， ，则 ，而 ，所以 ，B不正确；
设 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
则 在 时取得最小值 ，即 ，C正确；
设 ，则 ，所以 在(0,+∞)上是增函数，
所以由 得 ，即 ，D正确.
故选：ACD
7．AC
【分析】求导，利用导数判断 的单调性和最值，可得 的图象，进而可以判断A；对于B：根据
的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当 时， 与
有2个交点，结合 的图象分析求解；对于D：构建 ，结合导数可得
，结合极值点偏移分析证明.
【详解】由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，且当 趋近于0或 时， 趋近于 ，
可得函数 的图象，如图所示：
对于选项A：可知函数 的极小值点为 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，且 在 内单调递增，
所以 ，故B错误；
对于选项C：令 ，可得 ，
可知函数 有4个零点，即 与 有4个交点，
且 的定义域为 ，且 ，
可知 为偶函数，且当 时，
原题意等价于当 时， 与 有2个交点，
由题意可知： ，故C正确；
对于选项D：设 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
可知 在 内单调递增，则 ，
即 ，
若 ，不妨设 ，
则 ，
且 ，且 在 内单调递增，
则 ，所以 ，故D错误；
故选：AC.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数 ；
（3）利用导数研究 的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
8．BCD
【分析】对于A，分析导函数即得递减区间，不能用“并”连接；对于B，由推理得 ，利用函
数单调性比较即得；对于C，分析函数的奇偶性，分段讨论函数的单调性和图象趋势，得图象简图，结合
图象判断两函数交点个数即得；对于D，设函数 ，构造函数 并判断其单调性，
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学科网（北京）股份有限公司利用单调性得出 即可.
【详解】函数 的定义域为 ， ，
对于A，由 可得 或 ，由 可得 ，
即函数 的单调递减区间为 和 ，故A错误；
对于B，由A得，函数 在 上单调递增，
因 ， ，
故 ，即B正确；
对于C，易知 为偶函数，当 时， ，
由A项知，函数 的单调减区间为 和 ，增区间为 .
又当 时， ，当 时， ，
当 时， ， 时， ，
当 时， ，当 时， ， 时， ，
故函数 的图象如图所示.
由图可得，直线 与函数 有6个不同交点，等价于 ，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，由图，不妨设 ，由 可得 ，
即 ，不妨取 ，
设 ，
则 ，
则当 时， ，故 ， 在 上单调递增，
又 ，又 ， ，即 .
因 ，则 ，当 时， ， 在 上单调递减，
因 ，故得 ，即 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的零点和单调性应用,属于难题.
解决该题的关键，在于对函数的图象性质的探求，通过奇偶性单调性判断，作出简图，利用函数零点与方
程的根、两函数的图象交点的关系转化解决；同时要根据待证不等式特征，设法构造对应的函数，利用该
函数的单调性实现相关量的比较即得.
9．
【分析】利用导数证明 ，将圆不等式转化为 对 恒成立，
设 ，只需函数 在 上单调递增，由 可得 ，即可求解.
【详解】设 ，则 （ ），
令 ，令 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
得 ，即 ，即 .
由题意， 对 恒成立，
转化为 对 恒成立，
设 ，则 对 恒成立，
只需函数 在 上单调递增，
即 在 上恒成立，
有 在 上恒成立，得 ，
即实数a的取值范围为 .
故答案为： .
10．a，c，b
【分析】构造函数 ， ， ，利用导数研究函数单调性
得 ；再构造函数 ， ， ，结合导数得 ，
成立，进而得 ，再综合即可得答案.
【详解】解：令 ， ，
令 ，
，
因为当 时， ， 单调递增，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，又 ，
所以 在 成立，所以 ，
令 ， ，
所以，当 时， ，
所以 在 为减函数，
所以 ，即 ，
令 ， ，则 在 恒成立，
所以， 在 为减函数，
所以 ，即 ，
所以 ， 成立，
令 ，则上式变为 ，
所以
所以 ，
所以 ．
故答案为：a，c，b
11．
【分析】根据零点确定两个方程，用比值换元法转化为单变量，从而利用求导和二次求导即可.
【详解】 和 是函数 两个不相等的零点，
不妨设 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司两式相减得 ，
令
，
，
，
令 ，
所以 ，
令
恒成立，
在 是单调递增，
恒成立，
在 是单调递增，
恒成立，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考察导数双变量和构造函数证明不等式的方法.
12．
【分析】利用同构法将不等式转化为 ，再利用导数证得 ，进而得到
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学科网（北京）股份有限公司，从而求得 的值，由此得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
所以 ，可得 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
又 ，所以 ，
故 ，此时 的值为 .
故答案为： .
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1） ；（2） .
13．(1) ， ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，求导可得 的值，再由导数意义可求切线，得到答案；
（2）设函数 ，利用导数研究函数 的单调性从而求出最小值大于0，可得证.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
则曲线 在点 处的切线斜率为 ．
又因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即得 ， ．
（2）设函数 ， ，
则 ，
设 ，则 ，
所以，当 时， ， 单调递增．
又因为 ，
所以， 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减．
又当 时， ，
综上 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
即 ，
所以，当 时， ．
14．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数 的导数，分类讨论求解导函数为正为负的不等式解集即得.
（2）由（1）中信息，求出函数 的最小值，再构造函数，结合不等式性质推理即得.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
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学科网（北京）股份有限公司求导得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时，由 ，得 ，函数 在 上单调递减，
由 ，得 ，函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减， 在 上单调递增.
（2）证明：由（1）知，函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，
则 ，
令函数 ，求导得 ，当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，则 ，
于是 ，有 ，当 时，则 ，
因此 ，
所以 .
15．(1) 时， ；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据导数研究函数单调性求解函数最值即可；
（2）结合（1）将问题转化为证明 ，进而构造函数证明即可；
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学科网（北京）股份有限公司（3）由题知 对 恒成立，进而构造函数 ，结合函
数性质，分当 ， ， 时三种情况讨论求解即可.
【详解】（1）解：当 时， ，定义域为 ，
所以 ，令 得 ，
所以，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以，函数 在 处取得最小值， .
（2）解：由（1）知，当 时， ，即 ，
所以，要证 成立，只需证 ，
令 ，则 ，
所以，当 时， 恒成立，
所以，函数 为单调递增函数，
所以， ，即 ，
所以 ，
所以 成立
（3）解：因为函数 对 恒成立
所以 对 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以，由 可得 ，即满足 对 恒成立；
34 / 62
学科网（北京）股份有限公司当 时，则 ， ， 在 上单调递增，
因为当 趋近于 时， 趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；
当 时，令 得
令 ， 恒成立，故 在 上单调递增，
因为当 趋近于正无穷时， 趋近于正无穷，当 趋近于 时， 趋近于负无穷，
所以 ，使得 ， ，
所以，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以，只需 即可；
所以， ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以， ，
综上，实数a的取值范围为
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于讨论当 时，结合函数 的性质得
，使得 ， ，进而转化为解 .
16．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，求极值点，讨论函数单调性，找到极小值即可解决问题；
（2）不等式 恒成立，即 恒成立，
35 / 62
学科网（北京）股份有限公司设 ，构造新函数求导利用函数导数单调性进行分析即可证明结论.
（2）由（2）知， ，令 ，则
从而有 ，由 的不同值，分别写出不等式，然后累加，结合等比数列求和进行放缩，分析得
到结论.
【详解】（1） ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 有极小值 ，
所以 ，即 .
（2）证明：不等式 恒成立，即 恒成立，
设 ，则 ，
易知 是定义域上的增函数，又 ，
则 在 上有一个根 ，即
当 时， ，当 时，
此时 在 单调递减，在 单调递增，
的最小值为 ，
，
36 / 62
学科网（北京）股份有限公司，
，
恒成立，故结论成立.
（3）证明：由（2）知， ，令 ，
则 .
由此可知，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
，
当 时， ，
累加得：
，
又 ，
所以 .
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，
难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
37 / 62
学科网（北京）股份有限公司2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，
在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
规律方法：
利用导数证明不等式问题的方法
(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造
辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论．
(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数．
专题精练
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·一模）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高三上·江苏南通·期末）设 , , ,则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·上海奉贤·二模）设 是一个无穷数列 的前 项和,若一个数列满足对任意的正整数 ,不等式
恒成立,则称数列 为和谐数列,有下列3个命题:
①若对任意的正整数 均有 ,则 为和谐数列;
②若等差数列 是和谐数列,则 一定存在最小值;
38 / 62
学科网（北京）股份有限公司③若 的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有( )个
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022·山东临沂·三模）已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时
，则不等式 在 上的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高三上·浙江·期末）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高三上·浙江杭州·阶段练习）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23高二下·湖南株洲·开学考试） ， ， ，则 的大小关系为（ ）.
A． B．
C． D．
8．（23-24高三上·广东·期末）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（21-22高二下·湖南·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23高二上·湖南张家界·期末）已知 ，且 ，下列不等式恒成立的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
11．（2023·山东潍坊·三模）已知函数 ，实数 满足不等式 ，
则 的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、填空题
12．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知 ，若函数 的值域为 ，则实数
的取值范围是 ．
13．（22-23高三上·湖北·阶段练习）请写出一个满足以下条件的函数 的解析式 .
① 为偶函数；②当 时， .
14．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数 ， ，若有且仅有一个
正整数 ，使得不等式 成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
15．（22-23高二下·河南·期末）已知函数 ， ．
(1)当 时，证明： 在 上恒成立；
(2)若 有2个零点，求a的取值范围．
16．（2024·北京平谷·模拟预测）设函数 ，曲线 在点 处的切线
斜率为1．
(1)求a的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
40 / 62
学科网（北京）股份有限公司(3)求证： ．
17．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明：当 时，
18．（2024·云南贵州·二模）已知函数 .
(1)若 ，求证：当 时，
(2)若 有两个不同的极值点 且 .
（i）求 的取值范围；
（ii）求证： .
19．（2024·辽宁大连·一模）已知函数 ．
(1)若 恒成立，求a的取值范围；
(2)当 时，证明： ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A D C B A ACD ABD
题号 11
答案 CD
1．D
【分析】转化为比较比较 的大小，构造函数 ，先证明 ， ，
中 最大，设 ，先证明 ，再证明
，即得解.
41 / 62
学科网（北京）股份有限公司【详解】要比较 ， ， 等价于比较 的大小,
等价于比较 ,
即比较 ,
构造函数 , ,
令 得 ,令 得 ,
所以 在 单调递增, 单调递减.
所以 ,
因为 ，
所以 最大，即 ， ， 中 最大，
设 ，
结合 的单调性得， ，
先证明 ，其中 ，
即证 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
所以，函数 在 上为增函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
42 / 62
学科网（北京）股份有限公司则有 ，
由 可知 ，
所以 ，
因为 ，所以 即 ，
因为 ， 在 单调递增，
所以 ，即 ，
因为 所以 所以 ，
即 ，
因为 ， 在 单调递减.
所以 ，
即 ，即 ，
综上， .
故选：D
【点睛】关键点睛：应用对数平均不等式 （需证明）证明极值点偏移：①由题
中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到 ；③利用对数平均不等式来证明相应
的问题.
2．D
【分析】三个数中有指数和对数,用到放缩,即 ,则 ,即可得 ,根据
,可得 ,取 可得 ,选出选项即可.
43 / 62
学科网（北京）股份有限公司【详解】解:由题知,记 , ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,在 时成立,
所以 ,
即 ,
即 ,
记 , ,
所以 ,
所以在 上, , 单调递减,
在 上, , 单调递增,
所以 ,
所以 ,
则 ,
即 ,
即 ,
,
即有 ,
因为 ,
44 / 62
学科网（北京）股份有限公司所以 ,
综上: .
故选:D
3．D
【分析】先得出 的等价条件 ,然后再进行判断,对于③可以取一个公比为负数的等比数列
说明其存在性即可.
【详解】对于①, ，
若 ,则 ,所以①正确;
对于②,设等差数列 的公差为 ，
则 ,所以 ，
即 为公差为 的等差数列,
若 为和谐数列,即 ,则 ，
所以关于 的二次函数 ,开口向上，
所以在 上一定存在最小值,所以②正确;
对于③,取 ,
则 ,
,
45 / 62
学科网（北京）股份有限公司下面证明 ,即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列,
即证 ,
即证 ,
即证 ,
当 ,上式左边为负数,显然成立,
当 ,时,即证 ,即证 ，（*）
设 ,
所以 ,即（*）式成立,所以③正确.
故选：D
4．A
【分析】先得出 的周期以及对称轴，再证明 在 上恒成立，通过对称性画出函数
和 在 上的简图，由图象得出解集.
【详解】由题意可得 ， ，即 是周期为 的函数，且图像
关于 对称.
令
时， ， 时，
函数 在[0,1]上单调递增
当 时， ，即
46 / 62
学科网（北京）股份有限公司设 ，
即函数 在 上单调递减，则 ，即
故 在 上恒成立
结合对称性可画出函数 和 在 上的简图，如下图所示
由图象可知，不等式 在 上的解集为
故选：A
5．D
【分析】对已知等式化简可以得到 ，结合导数的性质逐一判断即可.
【详解】 ，展开得
，
对A项： ，
令 单调递增，所以 ，
所以 不成立，故A错误；
对B项： ，
因为 ，所以 不一定成立，故B错误；
对C项： ，这与 矛盾，故C错误；
对D项： ，显然成立，故D正确．
故选：D.
【点睛】关键点睛：由已知等式得到 是解题的关键.
6．C
47 / 62
学科网（北京）股份有限公司【分析】构造函数，求出导数，利用导数性质判断函数的单调性，由此能求出结果．
【详解】解：令 ，所以 ，
当 时 ，当 时 ，
即函数f (x)在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号，令 ，可得 ，
令 ， ，则在 时， ，
在 上单调递增，
， 时， ． ，
令 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
所以当 ，可得 ，所以 最小，
设 ，则 ，
在 上单调递增， ，
，
，
综上可得 ；
故选：C
48 / 62
学科网（北京）股份有限公司7．B
【分析】分别构造函数证明 与 ，利用这两个不等式可判断 ；构造函数
，可证得 ，即可判断 ，从而得出答案.
【详解】令 ，则 ，
则 在 上单调递增，故 ，则 ．
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，故 ，则 ．
所以 ，即 ；
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，故 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
易知 ，所以 ，则 ，即 ；
综上： .
故选：B.
8．A
【分析】由题意可得 ，构造函数 ，利用导数求出函数 的最值，作
出函数 的图象，结合图象即可得解.
【详解】由 ，
可得 ，所以 ，故 ，
所以 ，
49 / 62
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
当 时，f'(x)>0，当 时，f'(x)<0，
所以 在 上单调递增，在(0,1)上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
如图，作出函数 的图象，
由图可知，可知 .
故选：A.
9．ACD
【分析】令 ，根据导数可得到 在 上单调递增，通过对数运算和 的单调性
即可判断每个选项
【详解】设 ， ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
因为 单调递增，所以 ，A项正确；
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
50 / 62
学科网（北京）股份有限公司因为 单调递增，所以 ，B项错误；
因为 ，所以 ，D项正确；
因为 单调递增， ，
所以 ，所以 ，C项正确，
故选：ACD
10．ABD
【分析】分别构造函数 ， ， ， 利用导
函数讨论单调性和最值即可一一证明.
【详解】设函数 恒成立，
所以 在 单调递增，所以 ，
所以 对 恒成立，
所以 恒成立，A正确；
设函数 ， ，
令 解得 ，所以 在 单调递增，
所以 ，
即 对 恒成立，
所以 恒成立，B正确；
设函数 ， ，
令 解得 ，
令 解得 ，
51 / 62
学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 有增有减，
所以 时， 的大小关系不一定，
即 不恒成立，
也即 不恒成立，C错误；
因为 ，所以令 ，
设 ，
因为 ，所以 恒成立，所以 单调递增，
所以 ，即 ，
即 即 ，
也即 ，D正确，
故选:ABD.
11．CD
【分析】根据函数解析式判断出函数对称性，根据函数导数判断函数单调性，根据函数单调性将外函数的
大小比较转化为内函数大小比较即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 关于 对称，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
又因 ，所以 恒成立，则 是增函数，
52 / 62
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
则 .
故选：CD.
12．
【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解即可.
【详解】由对数函数的定义和单调性可知 ，且当 时， ，
当 时因为一元二次函数 的对称轴为 ，
所以当 时， ，
若函数 的值域为 ，则 解得 ；
当 时， ，
若函数 的值域为 ，则 ，
令 ，所以 ，
令 ， 表示对称轴为 ，开口向下的抛物线，
因为 ， ，所以存在 使得 ，
所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
又因为 ， ，所以由 解得 ，
综上 ，
故答案为：
13． （答案不唯一）
53 / 62
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，结合函数的性质写出一个符合题意的函数即可.
【详解】记 ，则 .
所以当 时，有 ，函数g(x)单调递减；当 时，有 ，函数g(x)单调递增，
所以 ，即 .
所以 恒成立.
所以当 时，可取 满足 .
因为 为偶函数，所以可以找到一个符合题意的函数：
故答案为： （答案不唯一）.
14．
【分析】根据函数解析式，分情况作图，利用图象可得 的取值，建立不等式，可得答案.
【详解】 函数 ， ，
当 时，可得作图如下：
54 / 62
学科网（北京）股份有限公司由题意，若 ，则 ，化简可得 ，解得 ，
当 时， ， ，此时不符合题意，
当 时，令 ， ，
令 ，且函数图象的对称轴为直线 ，
由 ，则 或 ，所以函数 在 上单调递减，
可得 ，则 ， 在 上单调递减，
，则 在 上恒成立，所以此时不符合题意；
当 时，可作图如下：
显然不存在符合题意的 .
综上所述， 的取值范围为 .
故答案为： .
15．(1)证明见解析
(2)
55 / 62
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）设 ，对函数 求导得 ，根据指数函数和幂
函数的性质知函数 在 上单调递增且 ，结合导数研究函数 的单调性求出
即可；
（2）函数 有2个零点等价于函数 与 的图象有2个交点，利用导数讨论函数 的单
调性，结合图形即可求解.
【详解】（1）当 时，设 ，
则 ，设 ，
由函数 和 在 上单调递增，
知函数 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增，
所以
即 在 上恒成立；
（2）由 ，得 ，令 ，
则 有2个零点，等价于函数 与 的图象有2个交点，
令 ，得 ，
当 时 ，当 时 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
56 / 62
学科网（北京）股份有限公司故 ，且当 时， ，
当 趋向于正无穷时， 趋向于正无穷的速率远远比 大，故 趋向于0，
作出函数 的大致图象如下：
结合图象可知，当 时， 与 的图象有2个交点，
故a的取值范围是 ．
16．(1)
(2)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）求出 的导数，判断导数的正负，即可求得单调区间；
（3）结合（2），可得 在 为增函数，结合函数值的正负，即可证明结论.
【详解】（1）由题意得 的定义域为 ， ，
因为 ．所以 ，解得 .
（2）因为 ， 的定义域为 ，
，
令 ，得 ，
57 / 62
学科网（北京）股份有限公司与 在区间(0,+∞)上的情况如下：
x 0 (0,+∞)
- 0 +
递减 极小 递增
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为(0,+∞)；
（3）证明：由（2）得，在 时， 取得最小值1，所以f'(x)>0恒成立，
所以 在 为增函数，又因为 ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
当x=0时， ，
综上， .
17．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求导可得f'(x)，然后分 与 讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）可得 的最小值为 ，构造函数 ，转化为
的最小值大于等于零，即可证明.
【详解】（1）依题意 ， ，
当 时，f'(x)<0，
当 时，由f'(x)>0得 ，由f'(x)<0得 ，
58 / 62
学科网（北京）股份有限公司即当 时函数 在(0,+∞)是减函数；
当 时 在 是减函数， 在 是增函数；
（2）由（1）知当 时， 的最小值为 ，
，
设 ，
则 ，
∴函数 在(0,1)是减函数，在(1,+∞)是增函数，
即 的最小值为 ，即 ，
∴ ，即 的最小值 ，
∴ ．
18．(1)见解析
(2)（i） （ii）证明见解析
【分析】（1）求导判断函数的单调性即可求解最值证明，
（2）根据极值点可得韦达定理，根据一元二次方程根的分布即可求解 的范围，利用 ，消去 ，
进而看做关于 的函数，构造 ，利用导数求解函数的单调性，即可求解最值判断，
结合对数与指数的单调性即可求解.
【详解】（1） 时，
则 ，故 在 单调递减，
59 / 62
学科网（北京）股份有限公司故 ，故 时， ，
（2）（i） ，
由于 有两个不同的极值点 且 ，
故 是 的两个不相等的正实数根，
故 ，解得 ，
故
（ii）由于 ，所以 ，故 ，
由于 ，故 ，
，
令 ，
故 ，
当 时， ，故 在 单调递增，
故 ，
由于 故 ，
因此 ，
60 / 62
学科网（北京）股份有限公司故 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）参变分离，构造函数，求导得到函数的单调性，从而求出最值，得到答案；
（2）法一：在（1）的基础上得到 ， ，再构造函数得到 ，得到
，从而得到结论；
法二：即证 ，构造函数 ，求导后再对分子求导，从而得到函数的单调性，得到
，证明出结论.
【详解】（1）由已知得， 在(0,+∞)上恒成立，
设
，解得 ， ，解得 ，
在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，
，即 ，
；
（2）法一：由（1）知 时， 恒成立，
取 ，得 成立，x=1时取等号．
61 / 62
学科网（北京）股份有限公司所以当 时， ，
设 ，故 时，h'(x)>0，
在(1,+∞)上为增函数，
，
．
所以 时， ，即 ．
由此可证，当 时， ，结论得证．
法二：当 时，若证 成立．即证 ，
设 ， ，
设 ，
当 时， 在(1,+∞)上为增函数．
，
在(1,+∞)上为增函数， ，
由此可证，当 时， 成立．
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式
一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条
件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个
函数图像确定条件.
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