文档内容
10.3 实际问题与二元一次方程组（11 大类型提分练）
类型一、和差倍问题..........................................................................................................................................1
类型二、方案问题..............................................................................................................................................1
类型三、行程问题..............................................................................................................................................2
类型四、工程问题..............................................................................................................................................2
类型五、数字问题..............................................................................................................................................3
类型六、年龄问题..............................................................................................................................................4
类型七、配套问题..............................................................................................................................................4
类型八、销售问题..............................................................................................................................................4
类型九、几何问题..............................................................................................................................................5
类型十、图表信息问题......................................................................................................................................6
类型十一、古数学问题......................................................................................................................................8
类型一、和差倍问题
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）甲、乙两水池现共贮水40 t，如果甲池进水4 t，乙池进水8 t，那么
甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是（ ）
A．甲22 t，乙18 t B．甲23 t，乙17 t
C．甲21 t，乙19 t D．甲24 t，乙16 t
2．（23-24七年级下·全国·假期作业）在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108
个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（ ）
A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8
3．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）在《哪吒2》的剧情中，哪吒和敖丙一起炼制A，B两种丹药．已知
炼制一颗A丹药需要3份火莲精华和2份龙鳞粉末，炼制一颗B丹药需要5份火莲精华和4份龙鳞粉末．经
过合作，哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末，且炼制完丹药时这些材料刚好用完．求
炼制A丹药与B丹药各多少颗？
4．（2025·山西运城·模拟预测）2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运
载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九
号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，
已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进
3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货
单价.
类型二、方案问题
5．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某班有15名女同学参加夏令营活动，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
6．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某小组分若干本书，若每人分一本，则余一本，若每人分给2本，
则缺3本，那么共有图书（ ）
A．6本 B．5本 C．4本 D．3本
7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知，用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1
辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有27吨货物，计划同时租用A型车a辆，
B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆车B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你直接写出该公司的租车方案．
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）8名同学去郊游，途中计划用20元购买汽水和奶茶，其中汽水每杯
是2元，奶茶每杯是3元．
(1)有几种购买方案？每种方案可买汽水和奶茶各多少杯？
(2)当奶茶至少买2杯，每人至少有1杯饮料时，有几种购买方案？
类型三、行程问题
9．（23-24七年级下·全国·课后作业）A，B两地相距3km，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行
到A地，两人同时出发，20min后相遇，又经过10min后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，则甲、乙二
人的速度分别是（ ）
A．4km/h和5km/h B．3km/h和4km/h C．2km/h和4km/hD．2km/h和3km/h
10．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙两船相距42nmile，相向而行，2h后相遇；同向而行，甲
14h后追上乙．水流速度忽略不计，甲，乙两船的速度分别为（ ）
A．11nmile/h,10nmile/h B．13nmile／h,12nmile／h
C．14nmile／h,11nmile／h D．12nmile/h,9nmile/h
11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲、乙两人都以不变的速度在400米的环形路上跑步．如
果同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．
已知甲比乙跑得快．(1)甲、乙两人速度分别是多少米每分钟？
(2)甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？
12．（24-25七年级下·全国·课后作业）兄弟二人骑车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行4千
1 1
米，后一半路程每小时行6千米．哥哥按时间分段行驶，前 时间每小时行4千米，中间 时间每小时行5
3 3
1
千米，后 时间每小时行6千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟．甲乙两地相距多少千米？
3
类型四、工程问题
13．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区
人和镇的A工程、B工程，甲工程队晴天需要14天完成，雨天工作效率下降30%；乙工程队晴天需15天完
成，雨天工作效率下降20%，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（ ）天．
A．15 B．16 C．17 D．18
14．（23-24七年级下·全国·课后作业）某工人原计划在限定的时间内加工一批零件，如果每小时加工15
个零件，就可以超额完成3个；如果每小时加工18个零件，就可以提前1h完成．这批零件有 个，
按原计划需 h完成．
15．（24-25七年级下·全国·课后作业）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此
项工程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项
工程需要的天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项
工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
4
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的 ．
5
16．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了
一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米．按此施工
进度，能够比原来少用多少天完成任务？
类型五、数字问题
17．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这个两位数减去
36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（ ）
A．86 B．68 C．94 D．73
18．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方
——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相
等．如图是一个未完成的幻方，则x−y的值是（ ）
x 6 20
22 y
A．6 B．7 C．8 D．9
19．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有一个两位数，设它的十位上的数字为x，个位上的数字
为y，已知十位上的数字与个位上的数字之和为11，把十位上的数字和个位上的数字互换位置后得到一个
新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．
(1)原来的两位数为__________，新的两位数为__________（用含有x、y的代数式表示）
(2)根据题意，求原来的两位数．
20．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和
个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45．
(1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数；(2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组（无需求解），并
检验（1）中求得的结果是否满足所列的方程组．
类型六、年龄问题
21．（23-24七年级下·全国·假期作业）小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时
你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为 岁，小明年龄为 岁．
22．（23-24七年级上·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年
的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为
岁， 乙的年龄为 岁．
23．（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的5倍，6年后父亲的年龄是玲玲的3倍，今
年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？
24．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才
2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．
类型七、配套问题
25．（23-24七年级下·全国·课后作业）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底25个，一个盒
身与两个盒底配成一套罐头盒．现有110张白铁皮，用 张制盒身可以正好制成整套罐头盒．
26．（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有m名工人，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型
零件，其中某产品每套由4个A型零件和3个B型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种
零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则m的值为 ．
27．（24-25七年级下·天津和平·期中）春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的
身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2:5，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们
利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是
最合理的？（请同学们注意单位换算）
28．（23-24七年级下·全国·课后作业）某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙
（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬
纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两
种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？
类型八、销售问题
29．（2025七年级下·全国·专题练习）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任
务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门
票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花
费2030元．则成人票每张原价为 元，儿童票每张原价 元．
30．（24-25七年级下·全国·课后作业）小锦和小丽购买了一些中性笔和笔芯．小锦买了20支中性笔和2盒
笔芯，用了64元；小丽买了2支中性笔和3盒笔芯，用了40元．每支中性笔的价格为 元，每盒笔芯
的价格为 元．
31．（23-24七年级下·全国·课后作业）某灯饰商场计划购进甲、乙两种型号的台灯1000盏，这两种型号
台灯的进价、售价如下表．
台灯类 每盏台灯的进 每盏台灯的售
型 价/元 价/元
甲种 45 60乙种 60 80
(1)如果商场的进货款为54000元，那么可购进甲、乙两种型号的台灯各多少盏？
(2)某图书馆在该商场购买甲、乙两种型号的台灯各若干盏，已知商场获利200元，图书馆可能有哪些购买
方案？（直接写出答案）
32．（24-25七年级下·浙江·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表所示：
类型 进价/（元/个） 售价/（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进4个A款足球和11个B款足球需980元；购进2个A款足球和3个B款足球需340元．
(1)求m和n的值．
(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3 000元，那么该商场可获利多少元？
(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款
足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售
A，B两款足球各多少个（每款都有销售）？
类型九、几何问题
33．（24-25七年级下·河南开封·期中）如图，大长方形是由正方形A、B和长方形①、②、③组成，若长
方形①的周长为25，长方形②的周长为13，则正方形A、B的边长之比是（ ）
A．4:3 B．5:3 C．5:4 D．6:5
34．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图
所示的方式摆放，若小长方形的长为 x，宽为 y，则x−y的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
35．（23-24七年级下·全国·课后作业）学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张
大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案：
(1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长；
(2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积．
36．（24-25七年级下·全国·课后作业）[教材探究2变式]甲、乙两种作物单位面积产量的比是7:8．现要把
一块长150m，宽为100m的长方形土地，如图分为两块小长方形土地，左边长方形种甲种作物，右边长方
形种乙种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量相等？
类型十、图表信息问题
37．（2025·广东深圳·一模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数
学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相
等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（ ）
A．−2 B．2 C．4 D．−4
38．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）如图，在3×3的方格中做填字游戏，要求每行、每列及对角线上三
个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值分别为（ ）
4x
−3 −y
2 3 2y
A．1，−1 B．−1，1 C．2，−1 D．−2，139．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某
文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示：
请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
40．（23-24七年级下·河南新乡·期中）某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中
学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐
款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名
七年级 4000 2 4
八年级 4200 3 3
九年级 4000
(1)求a，b的值；
(2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款
总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款
总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案．
类型十一、古数学问题
41．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔
同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．设鸡有x只，兔有y只，可列二元一次方程组为
（ ）
{ x+ y=35 ) { x+ y=35 ) { x=35+ y )
A． B． C． D．
2x+4 y=94 4x+2y=94 2x+4 y=94
{ y=35+x )
2x=94+ y
42．（2025·湖北孝感·一模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒
头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大小和尚各有几人？设大和
尚x人，小和尚y人，可列方程组为（ ）
{
x+ y=100
) {
x+ y=100
)
A． 1 B． 1
3x+ y=100 x+ y=100
3 3
{ x+ y=100 ) {
x+ y=100
)
C． D． 1
3x+ y=100 x+ y=100
3
43．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，
《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几
何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方
程组解答）
44．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：
“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名
客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子
各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题．
