文档内容
第8讲 恒成立问题与能成立问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】恒成立问题与能成立问题..............................................................................................3
【专题精练】.................................................................................................................................5
1 / 9
学科网（北京）股份有限公司真题自测
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
4．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
5．（2024·天津·高考真题）设函数 ．
(1)求 图象上点 处的切线方程；
2 / 9
学科网（北京）股份有限公司(2)若 在 时恒成立，求 的值；
(3)若 ，证明 ．
6．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
考点突破
【考点一】恒成立问题与能成立问题
一、单选题
1．（21-22高三上·安徽·开学考试）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的最大值为
（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 没有极值点，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西西安·三模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 （其中 为自然对数的底
数），则下列结论正确的是（ ）
A． 为函数 的导函数，则方程 有3个不等的实数解
3 / 9
学科网（北京）股份有限公司B．
C．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为-1
D．若 ，则 的最大值为
5．（2023·山东淄博·一模）已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 在 有最小值1
B．当 时， 图象关于点 中心对称
C．当 时， 对任意 恒成立
D． 至少有一个零点的充要条件是
6．（2023·湖北·二模）已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数a的最小值为
C．若 有两个零点 ， ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
三、填空题
7．（2023·湖南·模拟预测）已知不等式 恒成立，则实数 的最大值为 .
8．（2023·福建·模拟预测）已知函数 .若 ，则a的取值范围是
.
4 / 9
学科网（北京）股份有限公司9．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知关于 的不等式 恰有3个不同的正整数解，
则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
10．（2024·江苏南通·二模）已知函数 ， ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 且 恒成立，求 的最小值.
11．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 （其中 为自然对数的底数）.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程，
(2)当 时，判断 是否存在极值，并说明理由；
(3) ，求实数 的取值范围.
12．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设a为实数，函数 ．
(1)求 的极值；
(2)对于 ，都有 ，试求实数a的取值范围．
规律方法：
(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．
②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x) 或a
