文档文本内容
第8讲 恒成立问题与能成立问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】恒成立问题与能成立问题..............................................................................................3
【专题精练】.................................................................................................................................5
1 / 9
学科网（北京）股份有限公司真题自测
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
4．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
5．（2024·天津·高考真题）设函数 ．
(1)求 图象上点 处的切线方程；
2 / 9
学科网（北京）股份有限公司(2)若 在 时恒成立，求 的值；
(3)若 ，证明 ．
6．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
考点突破
【考点一】恒成立问题与能成立问题
一、单选题
1．（21-22高三上·安徽·开学考试）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的最大值为
（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 没有极值点，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西西安·三模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 （其中 为自然对数的底
数），则下列结论正确的是（ ）
A． 为函数 的导函数，则方程 有3个不等的实数解
3 / 9
学科网（北京）股份有限公司B．
C．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为-1
D．若 ，则 的最大值为
5．（2023·山东淄博·一模）已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 在 有最小值1
B．当 时， 图象关于点 中心对称
C．当 时， 对任意 恒成立
D． 至少有一个零点的充要条件是
6．（2023·湖北·二模）已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数a的最小值为
C．若 有两个零点 ， ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
三、填空题
7．（2023·湖南·模拟预测）已知不等式 恒成立，则实数 的最大值为 .
8．（2023·福建·模拟预测）已知函数 .若 ，则a的取值范围是
.
4 / 9
学科网（北京）股份有限公司9．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知关于 的不等式 恰有3个不同的正整数解，
则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
10．（2024·江苏南通·二模）已知函数 ， ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 且 恒成立，求 的最小值.
11．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 （其中 为自然对数的底数）.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程，
(2)当 时，判断 是否存在极值，并说明理由；
(3) ，求实数 的取值范围.
12．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设a为实数，函数 ．
(1)求 的极值；
(2)对于 ，都有 ，试求实数a的取值范围．
规律方法：
(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．
②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x) 或a<f(x) 的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，
max min
即得参数的范围．
(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．
专题精练
一、单选题
1．（2025·安徽·一模）已知函数 ，若不等式 的解集中恰有两个不同的正整数
5 / 9
学科网（北京）股份有限公司解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·辽宁·一模）已知函数 ，若 时，恒有 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西榆林·一模）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，对于存在的 ，存在
，使 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）对于实数 ，不等式 恒成立，则
实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南开封·模拟预测）若关于 的不等式 对 恒成立，则实数 的取值
范围为（ ）
6 / 9
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．（2023·广东佛山·一模）已知函数 （ 且 ），若对任意 ，
，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·江苏·模拟预测）已知 ， ，对于 ， 恒成立，则
的最小值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
二、多选题
9．（2023·辽宁锦州·二模）已知函数 是定义在 上的可导函数，当 时， ，若
且对任意 ，不等式 成立，则实数 的取值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．（2023·安徽马鞍山·一模）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的可能的值
为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＞0时，函数 的图象在点 处的切线的斜率为
7 / 9
学科网（北京）股份有限公司B．当m＝l时，函数 在 上单调递减
C．当m＝l时，函数 的最小值为1
D．若 对 恒成立，则
三、填空题
12．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知定义在 上的函数 关于 轴对称，其导函数为 ，当
时，不等式 ．若对 ，不等式 恒成立，则 的取值范
围是 .
13．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 ，若 对 恒成立，
则实数a的取值范围是 ．
14．（22-23高二下·辽宁·阶段练习）已知 是定义在 上的函数，且在区间 内单调递增，
对 ， ，都有 .若 ，使得不等式
成立，则实数 的最大值为 .
四、解答题
15．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设函数 ，若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围.
16．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求 .
8 / 9
学科网（北京）股份有限公司17．（2023·内蒙古阿拉善盟·一模）已知函数 ， ．
(1)当 ，求 的单调递减区间；
(2)若 在 恒成立，求实数a的取值范围．
18．（2023·广东·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)当 时， ，求实数 的取值范围.
19．（2023·湖北·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
9 / 9
学科网（北京）股份有限公司
