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微专题09 导数解答题之恒成立与能成立问题
【秒杀总结】
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， .
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集.
【典型例题】
例1．（2023春·浙江·高三开学考试）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
例2．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知函数
(1)若 ，求f(x)在（ ，0）上的极值；
(2)若 在 上恒成立，求实数a的取值范围
例3．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）已知函数 .
(1)若 的导函数为 ，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
例4．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 为正整数， ，
.
(1)求 的最大值；
(2)若 恒成立，求正整数 的取值的集合.（参考数据： ）
例5．（2023·全国·高三专题练习）设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，记 ，是否存在整数t，使得关于x的不等式 有解?若存在，请求
出t的最小值；若不存在，请说明理由.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 设 .
(1)若 在 上单调递增,求实数 的取值范围;
(2)求证: ;对 ,使得 总成立.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，当 时，对任意 ，存在 ，使 ，求实
数m的取值范围．例8．（2023·全国·高三专题练习）函数 ， ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)对 ， ，使 成立，求实数 的取值范围．
【过关测试】
1．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）已知函数 .
(1)若 在 处的切线与 轴垂直，求 的极值；
(2)若 有两个不同的极值点 ，且 恒成立，求 的取值范围.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)证明：存在 ，使得 恒成立，且方程 有唯一的实根．3．（2023秋·湖北·高三统考期末）设函数 .
(1)当 时，求 在 上的最值；
(2)对 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求函数 的最值；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
5．（2023·浙江·统考一模）设函数 , ．
(1)当 时,证明: ;
(2)若 ,求a的取值范围．
6．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数 ．
(1)求 的最小值；(2)已知 ，证明： ；
(3)若 恒成立，求 的取值范围．
7．（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知 ， ， ， 为 的导函
数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在 使得 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
8．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在 上的函数 .
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 ，且当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
9．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；(2)若 ，证明：对于任意 ， 恒成立.（参考数据： ）
10．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知函数 ，其中 是非零实数.
(1)讨论函数 在定义域上的单调性;
(2)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.
11．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数 .（注： …是自然对数的
底数）
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 只有一个极值点，求实数m的取值范围；
(3)若存在 ，对与任意的 ，使得 恒成立，求 的最小值.
12．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数 ，其中 为
自然对数的底， .
(1)求证： ；(2)是否存在实数 ，使得 恒成立？若存在，求 的取值集合，若不存在请说明理由.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知当 ，总有 ，当且仅当 时，“=”成立．设
．
(1)当 时，总有 ，求实数m的取值范围；
(2)当 时，证明：存在 ，使得 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，其中 ，
．
(1)试讨论函数 的极值；
(2)当 时，若对任意的 ， ，总有 成立，试求b的最大值．
15．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数 ．
(1)若函数 图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数 的极值；(2)若不等式 有解，求 的取值范围．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)曲线 上是否存在不同两点 、 ，使得直线AB与曲线 在点
处的切线平行？若存在，求出A、B坐标，若不存在，请说明理由．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
