10.2 事件的关系和运算
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：事件的关系................................................................... 2
考点二：事件的运算................................................................... 2
考点三：互斥事件与对立事件....................................................... 2
考点四：事件的关系或运算的含义及符号表示...................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：事件的关系................................................................... 3
题型二：互斥事件与对立事件....................................................... 3
题型三：事件的运算................................................................... 4
模块三：综合巩固.........................................................................6
10.2 事件的关系和运算
模块一：基础知识
考点一：事件的关系
1.包含关系
一般地，若事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A (或事件A 包含于事件B )，
记作：B
A
(或A
B
)如下1 图
2.相等关系
如果事件B 包含事件A ，事件A 也包含事件B ，即B
A
且A
B
，则称事件A 与事件B 相等，
记作：A
B
；如上2 图
考点二：事件的运算
1.并事件(或和事件)
一般地，事件A 与事件B 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A 中，或者在事件B 中，
我们称这个事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)，
记作：A
B
(或A
B
).如下1 图
2.交事件(或积事件)
一般地，事件A 与事件B 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A 中，也在事件B 中，我们称
这样的一个事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)，
记作：A
B
(或AB ).如上2 图
考点三：互斥事件与对立事件
1.互斥事件
一般地，如果事件A 与事件B 不能同时发生，也就是说A
B
是一个不可能事件，即A
B
，则称事
件A 与事件B 互斥(或互不相容)，符号表示：A
B
.如下1 图
2.对立事件
如果事件A 和事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A
B
，且A
B
，那么称事件A
与事件B 互为对立，事件A 的对立事件记为A ，符号表示：A
B
，且A
B
.如上2 图
考点四：事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A 发生导致B 发生
A
B
并事件(和事件)
A 与B 至少一个发生
A
B
或A
B
交事件(积事件)
A 与B 同时发生
A
B
或AB
互斥(互不相容)
A 与B 不能同时发生
A
B
互为对立
A 与B 有且仅有一个发生
A
B
，A
B
模块二：题型分类
题型一：事件的关系
1.同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A ，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B ，则有(
)
A．A
B
B．A
B
C．A
B
D．A 与B 之间没有关系
2.从装有2 个红球和2 个白球的口袋内任取2 个球，与事件“至少有1 个白球”相等的事件是（
）
A．全是红球
B．至少有1 个红球
C．至多有1 个红球
D．1 个红球，1 个白球
3.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，
C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（
）
A．A
D
B．B
D
C．A
C
D
D．A
B
B
D
4.同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（
）
A．M
N
B．M
N
C．M
N
=
D．M
N
5.某小组有3 名男生和2 名女生，从中任选2 名参加演讲比赛，设A ={2 名全是男生}，B {2 名全是女生}，
C {恰有一名男生}，D ={至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（
）
A．A
D
B．B
D
C．A
C
D
D．A
B
B
D
6.抛掷相同硬币3 次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两
次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3 次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A 与事件B，C，E 的关系；
(2)试求AD，B+C 所包含的样本点，并判断AD 与B+C 的关系.
题型二：互斥事件与对立事件
1.一个射手进行一次射击，事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5，则（
）
A．A 与B 是互斥事件
B．A 与B 是对立事件
C．A⊆B
D．A⊇B
2.某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A 为“只订甲报纸”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C
为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报纸”，事件E 为“一种报纸也不订”.试判断下列每对事件是不是互
斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件.
（1）A 与C；（2）B 与E；（3）B 与D；（4）B 与C.
3.掷一枚骰子，设事件�：落地时向上的点数是奇数；�：落地时向上的点数是3 的倍数；�：落地时向上
的点数是2；�：落地时向上的点数是2 的倍数，则下列说法中，错误的是（
）
A．�和�有可能同时发生
B．�和�是对立事件
C．�和�是对立事件
D．�和�是互斥事件
4.从一批产品中取出三件产品，设A “三件产品全不是次品”，B “三件产品全是次品”，C “三件产品不
全是次品”，则下列结论不正确的是（
）
A．A 与B 互斥且为对立事件
B．B 与C 互斥且为对立事件
C．A 与C 存在有包含关系
D．A 与C 不是对立事件
5.（多选）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2 个，一次任意取出2 个小球，则
与事件“2 个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（
）
A．2 个小球都为蓝球
B．2 个小球恰有1 个红球
C．2 个小球至少有1 个红球
D．2 个小球不全为红球
6.（多选）从装有大小和形状完全相同的3 个红球和3 个白球的口袋内任取3 个球，那么下列各对事件中，
互斥而不互为对立的是（
）
A．至少有1 个红球与都是红球
B．恰有1 个红球与恰有2 个红球
C．至少有1 个红球与至少有1 个白球
D．至多有1 个红球与恰有2 个红球
7.（多选）从一批既有正品也有次品的产品中取出三件产品，记事件A：全不是次品，事件B：全是次品，
事件C：有次品，但不全是次品，则下列结论中正确的是（
）
A．A 与C 互斥
B．B 与C 互斥
C．任何两个都互斥
D．A 与B 对立
题型三：事件的运算
1.抛掷两枚骰子，一枚是红色的，一枚是蓝色的．设A “红骰子的点数是2”，B “蓝骰子的点数是3”．
(1)写出样本空间，并用样本点表示事件A，B；
(2)计算A
B
；
(3)计算A
B
．
2.设某随机试验的样本空间
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
，事件
{2,3,4}
A=
，
{3,4,5}
B
，
{5,6,7}
C
，求下
列事件：
(1) A
B
；
(2) A
B
；
(3) A
B
；
(4)
(
)
A
B
C
．
3.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：
i
C =“点数为i”，其中
1,2,3,4,5,6
i
；
1
D =“点数不大于2”，
2
D =“点数大于2”，
3
D =“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
（1）
1
C 与
2
C 互斥；（2）
2
C ，
3
C 为对立事件；（3）
3
2
C
D
；（4）
3
2
D
D
；（5）
1
2
D
D
，
1
2
D D ；
（6）
3
5
6
D
C
C
；（7）
1
3
5
E
C
C
C
；（8）E，F 为对立事件；（9）
2
3
2
D
D
D
；（10）
2
3
3
D
D
D
4.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A 表示事件“点数大于3”，B 表示事件“点数为偶数”，则事
件“点数为5”可以表示为（
）
A．A
B
B．A
B
C．A
B
D．A
B
5.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件E “向上的点数为1”，事件F “向上的点数为5”，事件G “向上的点
数为1 或5”，则有（
）
A．E
F
B．G
F
C．E
F
G
D．E
F
G
6.甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（
）
A．EF
B．EF
C．EF
D．E
F
7.打靶3 次，事件
iA 表示“击中i 发”，其中
0
i
、1、2 、3 .那么
1
2
3
A
A
A
A
表示（
）
A．全部击中
B．至少击中1发
C．至少击中2 发
D．以上均不正确
8.设A，B，C 表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C 表示出来．
(1)三个事件都发生；
(2)三个事件至少有一个发生；
(3)A 发生，B，C 不发生；
(4)A，B，C 中恰好有两个发生．
9.连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A {两次出现的点数相同}，事件B {两次出现的点数之
和为4}，事件C {两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D ={两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件C
D
，A
B
；
(2)若事件
1,3 , 1,5 , 2,2 , 2,6 , 3,1 , 5,1 , 6,2
E
，则事件E 与已知事件是什么运算关系？
模块三：综合巩固
1.抛掷3 枚质地均匀的硬币，记事件A {至少1 枚正面朝上}，B {至多2 枚正面朝上}，事件C {没有硬
币正面朝上}，则下列正确的是（
）
A．C
A
B
B．C
A
B
C．C
A
D．C
B
2.（多选）对于一个随机试验，设Ω 是样本空间，A 是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（
）
A．
Ω
A
B．
Ω
A
C．
Ω
D．
Ω
3.掷一枚骰子，设事件A ：落地时向上的点数是奇数；B ：落地时向上的点数是3 的倍数；C ：落地时向
上的点数是2；D ：落地时向上的点数是2 的倍数，则下列说法中，错误的是（
）
A．A 和B 有可能同时发生
B．A 和D 是对立事件
C．B 和C 是对立事件
D．A 和C 是互斥事件
4.（多选）某人打靶时连续射击两次，记事件A 为“第一次中靶”，事件B 为“至少一次中靶”，事件C 为“至
多一次中靶”，事件D 为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（
）
A．A
B
A
B．B 与C 是互斥事件
C．C
D
D．B 与D 是互斥事件，且是对立事件
5.（多选）已知事件M 表示“3 粒种子全部发芽”，事件N 表示“3 粒种子都不发芽”，则M 和N （
）
A．是对立事件
B．不是互斥事件
C．互斥但不是对立事件
D．是不可能事件
6.抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E “点数为奇数”，F “点数为偶数”，G “点数大于2”，H “点
数不大于2”，R “点数为1”.则下列结论不正确的是（
）
A．E，F 为对立事件
B．G，H 为互斥不对立事件
C．E，G 不是互斥事件
D．G，R 是互斥事件
7.（多选）某小组有3 名男生和2 名女生，从中任选2 名同学去参加演讲比赛，事件“至少1 名女生”与事
件“全是男生”（
）
A．是互斥事件
B．不是互斥事件
C．是对立事件
D．不是对立事件
8.盒中有标号1~3 的同样白球各1 个，标号1~2 的同样黑球各1 个，从中倒出3 个，观察结果，写出样本
空间.
(1)用集合A 表示事件“3 个都是白球”；
(2)用集合B 表示事件“至少2 个白球”；
(3)用集合C 表示事件“至少1 个白球”；
(4)计算A
B
，A
B
，
\
A B ，
\
C B（其中
\
A B 表示属于集合A ，且不属于集合B ），并解释它们的含义.
9.某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A 表示随机事件“两次都投中”，事件B 表示随机事
件“两次都未投中”，事件C 表示随机事件“恰有一次投中”，事件D 表示随机事件“至少有一次投中”，则下
列关系不正确的是（
）
A．A
D
B．B
D
C．A
B
B
D
D．A
C
D
10.一副扑克牌（含大王、小王）共54 张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K 各4 张，从该副
扑克牌中随机取出两张，事件A “取出的牌有两张6”，事件B “取出的牌至少有一张黑桃”，事件C “取
出的牌有一张大王”，事件D =“取出的牌有一张红桃6”，则（
）
A．事件A 与事件D 互斥
B．事件B 与事件C 互斥
C．事件B 与事件D 互斥
D．事件A 与事件C 互斥
11.将一枚均匀硬币连续抛掷两次，下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是（
）
A．至多一次正面向上
B．两次正面都向上
C．只有一次正面向上
D．两次都没有正面向上
12.袋中装有红球3 个、白球2 个、黑球1 个，从中任取2 个，则互斥而不对立的两个事件是（
）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个
D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
13.掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A 表示事件“点数大于3”，B 表示事件“点数为偶数”，则
事件“点数为5”可以表示为（
）
A．A
B
B．A
B
C．A
B
D．A
B
14.从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件A ，则
下列推断正确的是（
）
A．事件A 发生的概率等于1
4
B．事件A 发生的概率等于1
5
C．事件A 是不可能事件
D．事件A 是必然事件
15.对满足A
B
的非空集合A 、B ，有下列四个命题：
①“若任取x
A
，则x
B
”是必然事件；
②“若x
A
，则x
B
”是不可能事件；
③“若任取x
B
，则x
A
”是随机事件；
④“若x
B
，则x
A
”是必然事件.
其中正确命题的个数为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
16.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件M ：向上的点数为奇数；事件N ：向上的点数是6，则事件M
与事件N （
）
A．既互斥又对立
B．互斥但不对立
C．对立但不互斥
D．既不互斥也不对立
17.（多选）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件A “记下的点数为3”，事
件B “记下的点数为偶数”，事件C “记下的点数小于3”，事件D =“记下的点数大于2”，则（
）
A．事件A 与B 互斥
B．事件A 与C 互斥
C．事件B 与D 对立
D．事件C 与D 对立
18.（多选）下列四个命题中，是真命题的是（
）
A．若事件
,
A B 是互斥事件，则
,
A B 是对立事件
B．若事件
,
A B 是对立事件，则
,
A B 是互斥事件
C．若事件A 是必然事件，则
1
P A
D．若事件
,
A B 是互斥事件，则
1
P A
B
19.从一副扑克牌（去掉大、小王，共52 张）中随机选取1 张，记录它的花色．事件A 表示随机事件“抽出
的牌是黑桃”，事件B 表示随机事件“抽出的牌是红心”，事件C 表示随机事件“抽出的牌是方片”，事件D
表示随机事件“抽出的牌是草花”，下列说法中正确的序号是
．
（1）A，B，C，D 彼此互斥；
（2）A 与D，B 与C 是对立事件；
（3）A 的对立事件是B
C
D
；
（4）A
B
的对立事件为C
D
；
（5）A
C
U
与B
D
为互斥事件，但不是对立事件．
20.电路如图所示.用A 表示事件“电灯变亮”，用B，C，D 依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，
则A＝
.(用B，C，D 间的运算关系式表示)
21.已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配
的分层随机抽样方法，从中抽取7 名同学去敬老院参加献爱心活动．
(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)抽出的7 名同学分别用A，B，C，D，E，F，G 表示，现从该7 名同学中随机抽取2 名同学承担敬老院
卫生打扫工作．设7 名同学中来自高一的3 人分别为A，B，C，记事件M “抽取的两名同学中至少有一
名来自高一年级”，试用所给字母写出事件M 包含的样本点；
22.箱子里有3 双不同的手套，从中随机拿出2 只，记事件
{
A 拿出的手套不能配对}，事件
{
B 拿出的
都是同一只手上的手套}，事件
{
C
拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对}．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A 、事件B 、事件C ；
(3)说出事件A 、事件B 、事件C 的关系．
23.从一副扑克牌（去掉大、小王，共52 张）中随机选取1 张，下列每组事件是否为互斥事件？若是互斥
事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件A 、事件B 的对立事件．
(1) A 表示“抽出的牌是红心”，B 表示“抽出的牌是方片”；
(2) A 表示“抽出的牌是红心”，B 表示“抽出的牌是K”；
(3) A 表示“抽出的牌是红色牌”，B 表示“抽出的牌是黑色牌”；
(4) A 表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10 之一”，B 表示“抽出的牌是方片”；
(5) A 表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10 之一”，B 表示“抽出的牌面是J，Q，K，A 之一”；
(6) A 表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7 之一的一张方片”，B 表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，
A 之一的一张方片”．
