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专题二 数列
第四讲 等差等比基本量与性质
1．（2024•河北模拟）已知等差数列
的前
项和为
，若
，且
，则
A．
B．
C．
D．
2．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列
的公差为
，且
．令
，记
，
分别为数列
，
的前
项和．
（1）若
，
，求
的通项公式；
（2）若
为等差数列，且
，求
．
3．（2024•天津模拟）设等比数列
的各项均为正数，前
项和
，若
，
，则
A．
B．
C．15
D．40
4．（2024•苏锡常镇一模）等比数列
中，
，则满足
的最大正整数
为
A．2024
B．2026
C．2025
D．2027
5．（2024•黑龙江模拟）已知数列
是公差为
的等差数列，
是其前
项的和，若
，
，则
A．
B．
C．
D．
6．（2024•合肥二模）已知等比数列
的公比为
，前
项和为
，则
A．
B．对任意
，
，
，
成等比数列
C．对任意
，都存在
，使得
，
，
成等差数列
D．若
，则数列
递增的充要条件是
【精选练习】
7．（2024•贵港模拟）已知等差数列
的公差不为0，
，给定正整数
，使得对任意的
且
都有
成立，则
的值为
A．4047
B．4046
C．2024
D．4048
8．（2024•东北三省三校联考）等差数列
中，
，则下列命题正确的是
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，则
，
9.（2024•湖北模拟）无穷等比数列
的首项为
公比为q，下列条件能使
既有最大值，又有最小值
的有（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
第五讲 数列的通项与求和
1．（2024•柳州三模）已知数列
满足：
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）对任意
，将数列
中落入区间
，
内的项的个数记为
，求数列
的前
项和
．
2．（2024•杭州模拟）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）数列
满足
，令
，求证：
．
3．（2024•江苏模拟）已知数列
的前
项和为
，
，
．
（1）证明：数列
为等比数列；
（2）设
，求数列
的前
项和；
（3）是否存在正整数
，
，使得
，
，
成等差数列？若存在，求
，
；若不存在，
说明理由．
4．（2024•广州二模）已知等差数列
的前
项和为
，
，且
为等差数列．
（1）求
的通项公式；
（2）在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，记数列
的
前
项和为
，求证：
．
5．（2024•湖北模拟）已知数列
前
项和为
，
，
，
，设
．
（1）是否存在常数
，使数列
为等比数列，若存在，求
值，若不存在，说明理由．
（2）求
的表达式，并证明
．
【精选练习】
6．（2024•淮北一模）已知数列
，
的前
项和分别为
，
，若
，则
A．
B．
C．
的前10 项和为
D．
的前10 项和为
7．（2024•镇江模拟）已知数列
满足
，
，则下列结论正确的有
A．
为等比数列
B．
的通项公式为
C．
为递增数列
D．
的前
项和
8．（2024•邢台模拟）已知等差数列
的前
项和为
，且
也是等差数列．
（1）求数列
的公差；
（2）若
，求数列
的前
项和
．
9．（2024•T8 联考）已知数列
的前
项和为
，且
．
（1）探究数列
的单调性；
（2）证明：
．
10．（2024•南京模拟）已知数列
的前
项和为
，
，
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）求证：
．
11．（2024•佛山模拟）已知数列
的前
项和为
，
为正整数，且
．
（1）求证数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
（2）若点
在函数
的图象上，且数列
满足
，求数列
的前
项和
．
12．（2024•招远市三模）在数列
中，已知
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，
为数列
的前
项和，证明：
．
微专题5 数列的奇偶项问题与重构问题
1．（2024•佛山模拟）已知数列
满足
，
．
（1）记
，写出
、
，并求数列
的通项公式；
（2）求
的前
项和
．
2．（2024•泰安模拟）已知数列
满足
，
，
．
（1）求数列
的通项公式
；
（2）若
，求数列
的前
项和
．
3．（2024•浙江模拟）如图，已知
的面积为1，点
，
，
分别为线段
，
，
的中点，
记
的面积为
；点
，
，
分别为线段
，
，
的中点，记
的面积为
；
；以
此类推，第
次取中点后，得到的三角形面积记为
．
（1）求
，
，并求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
．
4．（2024•常德模拟）已知
，
，将数列
与数列
的公共项从小到大排列得到数列
，
则
A．
B．
C．
的前
项和
D．
的前
项和为
5．（2024•石家庄一模）已知等差数列
的前
项和记为
，满足
．
（Ⅰ）若数列
为单调递减数列，求
的取值范围；
（Ⅱ）若
，在数列
的第
项与第
项之间插入首项为1，公比为2 的等比数列的前
项，形成
新数列
，记数列
的前
项和为
，求
．
6．（2024•广东模拟）已知数列
为等差数列，
，前
项和为
，满足：当
且
时，
．
（1）求
的通项公式；
（2）定义集合
，记
的元素个数为
，数列
的前
项和为
，求
【精选练习】
7．（2024•潍坊一模）已知数列
满足
，
．若数列
是公比为2 的等比数列，则
A．
B．
C．
D．
8．（2024•深圳一模）已知数列
满足，
，
，若
为数列
的前
项和，则
A．624
B．625
C．626
D．650
9．（2024•哈尔滨模拟）已知数列
的前n 项积为
，数列
满足
，
（
，
）．
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)将数列
，
中的公共项从小到大排列构成新数列
，求数列
的通项公式．
10．（2024•滨州二模）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）保持数列
中各项先后顺序不变，在
与
，2，
之间插入
个3，使它们和原数列的
项构成一个新的数列
，求
的前150 项和
．
微专题6 斐波那契数列
1．（2024•荆州模拟）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子
而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用
表示斐波那契数列的第
项，则数列
满足：
，
，记
，则下列结论正确的是
A．数列
是递增数列
B．
C．
D．
【精选练习】
2．（2025•遵义模拟）数列
，1，2，3，5，8，13，21，34，
称为斐波那契数列，又称黄金分割
该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即
，则下列选项正确的是
A．
B．
C．
D．
跨章节综合1 数列与三角
1．（2024•广东二模）已知正项数列
，
，满足
（其中
．
（1）若
，且
，证明：数列
和
均为等比数列；
（2 ）若
，
，以
，
，
为三角形三边长构造序列△
（其中
，
，
，记△
外接圆的面积为
，证明：
；
（3）在（2）的条件下证明：数列
是递减数列．
【精选练习】
2．（2024•开封模拟）点
是直线
外一点，点
，
在直线
上（点
，
与点
，
任一点不
重合）．若点
在线段
上，记
，
；
；若点
在线段
外，记
，
；
．记
，
；
，
．
记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
．已知
，
，点
是射线
上一点，且
，
；
．
（1）若
，求
；
（2）射线
上的点
，
，
，
满足
，
；
，
，
，
当
时，求
的最小值；
当
时，过点
作
于
，记
，求证：数列
的前
项和
．
