文档内容
2024 年高考数学二轮复习测试卷
（天津卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 是 的（ ）条件．
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充要 D．既不充分也不必要
3．设 ， ， ，则三者的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数 ，则函数 的图象是（ ）
A． B． C． D．5．函数 向左平移 个单位 得到 ，若 是偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知正项等比数列 中， ， ， 成等差数列.若数列 中存在两项 ， ，使得 为它们
的等比中项，则 的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
7．已知甲､乙两组样本数据分别为 和 ，则下列结论正确的为（ ）
A．甲组样本数据的中位数与乙组样本数据的中位数一定相等
B．甲组样本数据的平均数与乙组样本数据的平均数一定相等
C．甲组样本数据的极差可能会大于乙组样本数据的极差
D．甲组样本数据的方差一定不大于乙组样本数据的方差
8．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑 中， 平面
， ， ，以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为（ ）
A． B． C． D．
9．双曲线 ： 的离心率为 ，实轴长为4， 的两个焦点为 ， .设O为坐标原点，若点P在C上，且 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10． 为虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部为 ．
11． 的展开式中的常数项为 .
12．直线 与圆 相交于 两点，若点 为圆 上一点，且 为
等边三角形，则 的值为 ．
13．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球，5个白球，乙箱中有8个红球，2个白球，
A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是 ， 同学掷一枚质地均匀的
骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球，如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个
球，则B同学摸到红球的概率为 ．
14．在平行四边形 中， ， 是 的中点， ，若设 ，则 可
用 ， 表示为 ；若 的面积为 ，则 的最小值为 ．
15．已知函数 ，则函数 存在 个极值点；若方程 有两
个不等实根，则 的取值范围是
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（14分）
已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 ；(3)若 ，求 ．
17．（15分）
如图所示，在三棱柱 中， 平面 ， ， ，D是棱 的
中点， 是 的延长线与 的延长线的交点．
(1)求证 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
18．（15分）
已知椭圆 的离心率 ，左、右焦点分别为 ， ，连接椭圆的四个顶点得到的
菱形的面积为 .
(1)求椭圆的方程；(2)过 作不平行于坐标轴的直线 与椭圆交于 ， 两点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点
，若 ，求直线 的方程.
19．（15分）
已知 是等差数列， ， .
(1)求 的通项公式和 ；
(2)已知 为正整数，记集合 的元素个数为数列 .若 的前 项和为 ，设数列 满
足 ， ，求 的前 项的和 .
20．（16分）
已知函数 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当 时，证明： .
