文档内容
2024 年高考数学二轮复习测试卷
（北京专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1．已知复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 在复平面内所对应的点为 ，则 所对应的点为为 ，
所以 ，则 ，
故选：B.
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
又 ，所以 .
故选：A
3．已知 ，则 （ ）A． B．32 C．495 D．585
【答案】C
【解析】令 ，可得 ，解得 ；
令 ，可得 ，则 ；
令 ，可得 ，则 ；
令 ， ，则 .
故选：C.
4．已知正方体 ，平面 与平面 的交线为l，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在正方体 中，
平面 平面 ， 平面 平面 ，
平面 平面 ， .
对于A， ， ，故A正确；
对于B，因为 与 相交，所以 与 不平行，故B错误；
对于C，因为 与 不平行，所以 与 不平行，故C错误；
对于D，因为 与 不平行，所以 与 不平行，故D错误；
故选：A.5．已知 、 为双曲线 的左，右顶点，点 在双曲线 上，满足 为等腰三角形，顶角为 ，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】不妨取点 在第一象限，如图：
设双曲线的方程为： ，
是顶角为 的等腰三角形，
， ，
点 的坐标为 ，
又 点 在双曲线 上，
将 坐标代入坐标得 ，
整理上式得 ，而 ，
，因此 ，故选：D．
6．数学家祖冲之曾给出圆周率 的两个近似值：“约率” 与“密率” .它们可用“调日法”得到：
称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于 ，取3为弱率，4为强率，
计算得 ，故 为强率，与上一次的弱率3计算得 ，故 为强率，继续计算，….
若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与
上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知 ，则 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【解析】因为 为强率，由 可得， ，即 为强率；
由 可得， ，即 为强率；
由 可得， ，即 为强率；
由 可得， ，即 为强率；
由 可得， ，即 为弱率，所以 ，
故选：B.
7．设函数 ，则 是（ ）
A．偶函数，且在区间 单调递增
B．奇函数，且在区间 单调递减
C．偶函数，且在区间 单调递增
D．奇函数，且在区间 单调递减
【答案】D【解析】 的定义域为 ，
，
所以 是奇函数，AC选项错误.
当 时，
，
在 上单调递增， 在 上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知 在区间 单调递增，B选项错误.
当 时， ，
在 上单调递减， 在 上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知 在区间 单调递减，D选项正确.
故选：D
8．在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，易知 ，
由 可得 ，整理得 ，
即动点 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆，
又 ，可得 的最大值为 到圆心 的距离再加上半径，即 .
故选：D
9．设函数 ，对于下列四个判断：
①函数 的一个周期为 ；
②函数 的值域是 ；
③函数 的图象上存在点 ，使得其到点 的距离为 ；
④当 时，函数 的图象与直线 有且仅有一个公共点．
正确的判断是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】对于①， ， ，
故 不是函数 的一个周期，①错误；
对于②， ，
需满足 ，即 ，
令 ， ，则 即为 ，
当 时， 在 上单调递增，则 ；
当 时， ，
（ ，故 ）此时 在 上单调递减，则 ，
综上， 的值域是 ，②错误；
对于③，由②知， ，
当 时， ,
满足此条件下的 图象上的点 到 的距离 ；
当 时， ,
满足此条件下的 图象上的点 到 的距离 ，
当且仅当 且 时等号成立，
而 时， 或 ，
满足此条件的x与 矛盾，即等号取不到，
故函数 的图象上不存在点 ，使得其到点 的距离为 ，③错误；
对于④，由②的分析可知 ，则 ，即 ，
又 ，故当且仅当 时， ，
即当 时，函数 的图象与直线 有且仅有一个公共点，④正确．
故选：D
10．投掷一枚均匀的骰子6次，每次掷出的点数可能为1，2，3，4，5，6且概率相等，若存在k使得1到
k次的点数之和为6的概率是p，则p的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】点数之和为6的可能投法有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
于是所求概率 ．
一方面， ，
另一方面，
，
故选：B.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知平面直角坐标系中，动点 到 的距离比 到 轴的距离大2，则 的轨迹方程是 .
【答案】 或
【解析】设点 ，依题意， ，即 ，整理得 ，所以 的轨迹方程是 或 .
故答案为： 或
12．已知 ， ， ， ， ，则 .
【答案】13
【解析】由题意 是直角三角形， ，
故答案为：13.
13．某班在一次考试后分析学生在语文､数学､英语三个学科的表现，绘制了各科年级排名的散点图（如下
图所示）．
关于该班级学生这三个学科本次考试的情况，给出下列四个结论：
①三科中，数学年级排名的平均数及方差均最小；
②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人；
③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学；
④从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200，则其英语和数学排名均在150以内的概率为 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【解析】①：三科中，数学对应的点比英语对应的点到横轴的距离近且较为密集，
数学对应的点到横轴的距离比语文对应的点到纵轴距离近且较为密集，
所以数学年级排名的平均数及方差均最小.判断正确；
②：语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人.判断正确；③：本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名为同一名同学.判断错误；
④：由图表可知语文排名大于200的有3位同学，
语文排名大于200且英语和数学排名均在150以内的同学仅有1位同学.
故从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200，
则其英语和数学排名均在150以内的概率为 ．判断正确.
故答案为①②④
14．已知函数 有三个不同的零点，则整数 的取值可以是 ．
【答案】2，（大于等于2的整数即可，答案不唯一）
【解析】当 时， ，显然不满足题意；
当 时，令 可得 ，
令 ，则 ，
易知当 时， ；当 或 时， ；
因此函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
可得 的极小值为 ，极大值为 ；
作出函数 的图象如下图所示：
若函数 有三个不同的零点，即 与 在同一坐标系内有三个不同的交点，
由图可知 ，解得 ；又因为 取整数，且 ，所以整数 的取值可以是2.
故答案为：2（大于等于2的整数即可，答案不唯一）
15．设等差数列 的前 项和为 ，则有以下四个结论：
①若 ，则
②若 ，且 ，则 且
③若 ，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3:1，则公差为2
④若 ，且 ，则 和 均是 的最大值
其中正确命题的序号为 .
【答案】①②④
【解析】对于①，因为 是等差数列， ，
所以 ，故①正确；
对于②，因为 ，所以 ，即 是递增数列，
因为 ，即 ，所以 ，
即 ，则 ，
所以 且 ，故②正确；
对于③，因为 ，所以 ，则 ，则 ，
又 ，
，
所以 ，即 ，故 ，得 ， ，所以 的公差为 ，故③错误；
对于④，因为 ，即 ，
即 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，
由于 ，所以 ，故 ，即 ，
因为 ，所以 是递减数列，则 ， ，
所以 ， ，
故 和 均是 的最大值，故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）
在 中，
(1)求 ；
(2)若 为 边上一点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯
一确定，求 的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 的周长为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【解析】（1） ，故 ；（2）若选条件①： ，
由 ， ， ，故 ，即 ，
，
此时三角形唯一确定，符合要求，
.
若选条件③： 的周长为 ,
由 ，故 ，
则 ，化简得 ，
即有 ，解得 ，故 ，
此时三角形唯一确定，符合要求，
.
不能选条件②，理由如下：
若选条件②： ，
由 ， ， ，设点 到直线 的距离为 ，
则 ，即 ，
此时 ， ，
故 ，即不存在该三角形，故②不符合要求.
17．（14分）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为 区和 区，每一个球可以选择在 区投篮也可以选择在 区
投篮，在 区每投进一球得2分，没有投进得0分；在 区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在
， 两区的投篮练习情况统计如下表：
甲 区 区
投篮次
数
得分
假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．
(1)试分别估计甲在 区， 区投篮命中的概率；
(2)若甲在 区投 个球，在 区投 个球，求甲在 区投篮得分高于在 区投篮得分的概率；
(3)若甲在 区， 区一共投篮 次，投篮得分的期望值不低于 分，直接写出甲选择在 区投篮的最多次
数．（结论不要求证明）
【解析】（1）甲在 区投篮 次，投进 次，所以估计甲在 区投篮进球的概率为 ，
甲在 区投篮 次，投进 次，所以估计甲在 区投篮进球的概率为 .
（2）据题意，甲在 区进球的概率估计为 ，在 区投篮进球的概率估计为 .
设事件 为“甲在 区投篮得分高于在 区投篮得分”
甲在 区投 个球，得分可能是 ，在 区投 个球，得分可能是 .
则甲在 区投篮得分高于在 区投篮得分的情况有：
区 分 区 分，概率估计为 ，
区 分 区 分，概率估计为 ，
区 分 区 分，概率估计为 ，
区 分 区 分，概率估计为 ，
区 分 区 分，概率估计为 ，
则甲在 区投篮得分高于在 区投篮得分的概率估计为 .（3）甲在 区投篮一次得分的期望估计是 ，
甲在 区投篮一次得分的期望估计是 ，
设甲在 区投篮 次，则甲在 区投篮 次，
则总的期望值估计为 ，解得 ，
则甲选择在 区投篮的次数最多是 次．
18．（13分）
如图， 在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 是边长为2的正方形， D为AB
中点， 且
(1)求证: CD⊥平面 ；
(2)已知点 P 在线段 上，且直线AP 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
【解析】（1）在三棱柱 中， ，
显然 ，则 ，又 ，
于是 ，又 ， 平面 ，
因此 平面 ，又 平面 ，即有 ，
在正 中， 为 中点，则 ，又 平面 ，
所以 平面 .（2）取 中点为 中点为 ，则 ，
由（1）知， 平面 ，且 平面 ，则 ，又 ，
有 ， 平面 ，于是 平面 ， 两两垂直.，
以 为坐标原点， 的方向为 轴､ 轴､ 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
设 ，则 ，
由直线 与平面 所成角的正弦值为 ，得 ，
即 ，整理得 ，而 ，解得 ，
即点 为线段 的中点，所以 .
19．（15分）
已知椭圆 ： （ ）的四个顶点相连构成菱形 ，且点A， 的坐标分别为 ，.
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)设 为第一象限内 上的动点，直线 与直线 交于点 ，过点 且垂直于 的直线交 轴于点
，求 的取值范围.
【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，
由题意可知： ，则 ，
所以椭圆 的方程为 ，离心率 .
（2）由（1）可知 ，则直线 的方程 ，即 ，
设 ，
则直线 的方程为 ，
联立方程 ，解得 ，
即 ，
又 ，可设点 且垂直于 的直线方程为 ，
代入点 可得 ，解得 ，
令 ，
则 在 上恒成立，
可知 在 上单调递减，可得 ，
且 ，
则 ，可得 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
20．（15分）
已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线为 轴，求 的值；
(2)讨论 在区间 内极值点的个数；
(3)若 在区间 内有零点 ，求证： .
【解析】（1）由 得： ，
依题意， ，得 .
经验证， 在点 处的切线为 ，所以 .
（2）由题得 .
（i）若 ，当 时， 恒成立，
所以 在区间 上单调递增，所以 无极值点.（ii）若 ，
当 时， ，故 在区间 上单调递减，
当 时， ，故 在区间 上单调递增.
所以 为 的极小值点，且 无极大值点.
综上，当 时， 在区间 内的极值点个数为0；
当 时， 在区间 内的极值点个数为1.
（3）由（2）知当 时， 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 内无零点.
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
所以 .
若 在区间 内有零点 ，则 .
而 ，设 ，
则 .
设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增.
所以 ，即 .
所以 在区间 上单调递增.
所以 ，即 .
又 ，
所以 .
21．（15分）已知 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 ，定义集合 ，设 为集合 中
的元素个数，若 时，规定 .
(1)若 ，写出 及 的值；
(2)若数列 是等差数列，求数列 的通项公式；
(3)设集合 ，求证： 且 .
【解析】（1）因为 ，所以 ，
则 ，所以 ， ，
又 ，所以 ， ，所以 ；
（2）由题可知 ，所以 ，所以 .
若 ，则 ， ，所以 ， ，与 是等差数列矛盾.
所以 .设 ，因为 是各项均为正整数的递增数列，所以 .
假设存在 使得 .设 ，由 得 .
由 得 ， ，与 是等差数列矛盾.
所以对任意 都有 .所以数列 是等差数列， .
（3）因为对于 ， ，所以 .
所以 ，即数列 是递增数列.
先证明 .假设 ，设正整数 .
由于 ，故存在正整数 使得 ，所以 .因为 是各项均为正整数的递增数列，所以 .所以 ， .
所以 ， .
又因为数列 是递增数列，所以 ，矛盾.所以 .
再证明 .由题可知 .
设 且 ，因为数列 是各项均为正整数的递增数列，
所以存在正整数 ，使得 .令 .
若 ，则 ，即 ，所以 .所以 ，所以 .
若 ，则 ，所以 .
所以 ，所以 .
因为 ，所以 .所以 .
综上， 且 .
