文档内容
押北京卷 21 题
数列压轴解答题
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
新定义数列 2023·北京卷T21
预测 2024 年新 所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定
高考命题方向 义了高中数学中没有学过的一些概念、新运
新定义数列 2022·北京卷T21 将继续新定义 算、新符号,要求同学们读懂题意并结合已有
数列为背景开 知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、
命题． 推理、迁移的一种题型.
新定义数列 2021·北京卷T21
1.（2023·北京卷T21）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 ，
在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
【解】（1） ， ， ， ， ，所以 是 连续可表数列；易知，不存在
使得 ，所以 不是 连续可表数列．
（2）若 ,设为 ,则至多 ，6个数字，没有 个，矛盾；当 时,数列 ，满足 ， ， ， ， ， ，
， ， ．
（3） ，若 最多有 种，若 ，最多有 种，所以最多有 种，
若 ，则 至多可表 个数，矛盾,
从而若 ,则 ， 至多可表 个数，
而 ，所以其中有负的，从而 可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明
中仅一个负的，没有0，且这个负的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同,设那个负数为
，
则所有数之和 ， ，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足 个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若 不在两端,则 形式，
若 ，则 （有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故 在一端，不妨为 形式，
若 ,则 （有2种结果相同，矛盾）， 同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而 ，
由于 ,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能 ，①或 ，②
这2种情形，
对①： ，矛盾，
对②： ，也矛盾，综上 ，
当 时，数列 满足题意，
．
2.（2022·北京卷T21）已知数列 的项数均为m ，且 的前n项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义 ，其
中， 表示数集M中最大的数.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
【解】（1）由题意可知： ，
当 时，则 ，故 ；
当 时，则 ，故 ；
当 时，则 故 ；
当 时，则 ，故 ；
综上所述： ， ， ， .
（2）由题意可知： ，且 ，
因为 ，且 ，则 对任意 恒成立，
所以 ，
又因为 ，则 ，即 ，
可得 ，
反证：假设满足 的最小正整数为 ，
当 时，则 ；当 时，则 ，
则 ，
又因为 ，则 ，
假设不成立，故 ，即数列 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以 .
（3）因为 均为正整数，则 均为递增数列，
（ⅰ）若 ，则可取 ，满足 使得 ；
（ⅱ）若 ，则 ，
构建 ，由题意可得： ，且 为整数，
反证，假设存在正整数 ，使得 ，
则 ，可得 ，
这与 相矛盾，故对任意 ，均有 .
①若存在正整数 ，使得 ，即 ，
可取 ，
满足 ，使得 ；
②若不存在正整数 ，使得 ，
因为 ，且 ，
所以必存在 ，使得 ，
即 ，可得 ，
可取 ，
满足 ，使得 ；
（ⅲ）若 ，
定义 ，则 ，构建 ，由题意可得： ，且 为整数，
反证，假设存在正整数 ，使得 ，
则 ，可得 ，
这与 相矛盾，故对任意 ，均有 .
①若存在正整数 ，使得 ，即 ，
可取 ，
即满足 ，使得 ；
②若不存在正整数 ，使得 ，
因为 ，且 ，
所以必存在 ，使得 ，
即 ，可得 ，
可取 ，
满足 ，使得 .
综上所述：存在 使得 ．
3.（2021·北京卷T21）设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的
p；如果不存在，说明理由．
【解】(1)因 为 所以 ，
因 为 所 以
所以数列 ，不可能是 数列.
(2)性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，
若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .
又因为 或 ，所以 或 .
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为:0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，而由性质②可得： ，与 矛盾.
同理可得：
，有 ；
，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .
(3)令 ，由性质③可知：
，
由于 ，
因此数列 为 数列.
由（2）可知:
若 ；
， ，
因此 ，此时 ， ，满足题意.
1、代数型新定义问题的常见考查形式
（1）概念中的新定义；
（2）运算中的新定义；
（3）规则的新定义等．
2、解决“新定义”问题的方法在实际解决“新定义”问题时,关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息,确定
新定义的名称或符号、概念、法则等,并进行信息再加工,寻求相近知识点,明确它们的共同点和不同点,探
求解决方法,在此基础上进行知识转换,有效输出,合理归纳,结合相关的数学技巧与方法来分析与解决！
1．已知无穷数列 是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合 ．
若对于集合A中的元素k，数列 中存在不相同的项 ，使得 ，则称数列
具有性质 ，记集合 数列 具有性质 ．
(1)若数列 的通项公式为 写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当 时，
证明： ；
(3)若 满足 ，证明： ．
【解】（1）定义 ，由题意可知 ，
若数列 的通项公式为 ，可知 ，
所以 ，
因为2只能写成 ，不合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
，符合题意，即 ；
所以 .（2）因为 ，由题意可知： ，且 ，
即 ，
因为 ，即存在不相同的项 ，使得
可知 ，所以 .
（3）因为 ，
令 ，可得 ，则 ，即 ，
即集合 在 内均不存在元素，此时我们认为集合 在 内的元素相同；
（i）若集合A是空集，则B是空集，满足 ；
（ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素为t，可知 ，
由（2）可知：集合B存在的最小元素为s，且 ，
设存在 ，使得 ，
可知集合 在 内的元素相同,
可知 ，则 ，
因为 ，即 ，则 ，
可知 ，
且 ，
即集合 在 内的元素相同，可知集合 在 内的元素相同，
现证对任意 ，集合 在 内的元素相同，
当 ，可知集合 在 内的元素相同，成立；
假设 ，集合 在 内的元素相同，
可知集合 在 内的元素相同；对于 ，因为 ，则 ，
若 ，则 ，可知 ，
可以认为集合 在 内的元素相同；
若 ，则 ，
若 存在元素 不属于集合C，
则元素 属于集合A，且 ，可知元素 属于集合B，
即数列 中存在不相同的项 ，使得 ，
则 ，可知 ，
可知 ，
即集合 在 内的元素相同；
综上所述：对任意 ，集合 在 内的元素相同，
所以集合 在 内的元素相同，结合n的任意性，可知 ；
综上所述： .
2．已知： 为有穷正整数数列，其最大项的值为 ，且当 时，
均有 .设 ，对于 ，定义 ，其中，
表示数集M中最小的数.
(1)若 ，写出 的值；
(2)若存在 满足： ，求 的最小值；
(3)当 时，证明：对所有 .【解】（1）由 ， ，则 ，故 ，
则 ，故 ，
则 ，故 ；
（2）由题意可知， ，当 时，由 ， ，
故 ，则 ，
由题意可得 ，故 、 总有一个大于 ，即 或 ，
，由 ，故 、 、 总有一个大于 ，
故 ，故当 时， ，不符，故 ，
当 时，取数列 ，
有 ， ， ，即 ，符合要求，故 的最小值为 ；
（3）因为 ，所以 ，
(i)若 ，则当 时，至少以下情况之一成立：
① ，这样的 至少有 个，
②存在 ，这样的 至多有 个，
所以小于 的 至多有 个，
所以 ，
令 ，解得 ，
所以 ，
(ii)对 ，若 ，且 ，因为 ，所以当 时，
至少以下情况之一成立：
① ，这样的 至多有 个；
②存在 且 ，这样的 至多有 个，
所以 ，
令 ，解得 ，即 ，
其中 表示不大于 的最大整数，
所以当 时， ；
综上所述，定义 ，则 ，
依次可得： ，
，
所以 .
3．已知数列 ，记集合 .
(1)若数列 为 ，写出集合 ；
(2)若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，说明
理由；
(3)若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 ， 若 ，求 的最
大值．
【解】（1）由题意可得 ， ， ，
所以 .（2）假设存在 ，使得 ，
则有 ，
由于 与 的奇偶性相同， 与 奇偶性不同，
又 ， ，
所以 中必有大于等于 的奇数因子，这与 无 以外的奇数因子矛盾，
故不存在 ，使得 .
（3）首先证明 时，对任意的 都有 ，
因为 ，
由于 与 均大于 且奇偶性不同，
所以 为奇数，对任意的 都有 ，
其次证明除 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数 ，其中 ，
则当 时，由等差数列的性质可得：
，此
时结论成立，
当 时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
对于数列 ，此问题等价于数列 其相应集合 中满足 有多少项，
由前面证明可知正整数 不是 中的项，
所以 的最大值为 .
4．已知数列 满足： 且 ，记集合 .
(1)若a=6，写出集合M的所有元素；
1
(2)如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；(3)求集合M的元素个数的最大值.
【解】（1）若 ，由于 ， ，
可得 ，具有周期性，
故集合M的所有元素为6，12，24；
（2）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设 是3的倍数，由
，可归纳证明对任意 是3的倍数.
如果 ，M的所有元素都是3的倍数；
如果k＞1，因为 ，或 ，所以 是3的倍数；于是 是3的倍数；
类似可得， 都是3的倍数，由上可知，M的所有元素都是3的倍数；
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数.
（3）对 ， ，可归纳证明对任意 ， .
当a=1时， ，有8个元素.
1
因为a 是正整数， ，所以a 是2的倍数.
1 2
从而当 时， 是2的倍数.
如果a 是3的倍数，由（2）可知，对所有正整数n，an是3的倍数，则 的可能值有6,12,18,24,30,36，
1
由（1）知，当 的值为6,12,24时，M有4个元素.
若 ，由递推公式可得集合M中含有元素18,36，此时集合M最多3个元素.由此可知 时，集
合M最多3个元素.若 ，由递推公式可得集合M中含有元素30,24，12，此时集合M最多4个元素.
综上，当a 是3的倍数时，M的元素个数不超过4.
1
如果a 不是3的倍数，由（2）知，对所有正整数n，an不是3的倍数.
1
则 的可能值有2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,32,34，
若 ，由递推公式可得集合M中含有元素2,4,8,16,32,28,20，此时M的元素个数不超过8；同理可推
出 时，M的元素个数不超过8，
若 ，由递推公式可得集合M中含有元素10,20,4,8,16,32,28,此时M的元素个数不超过8.
若 ，由递推公式可得集合M中含有元素14,28,20,4,8,16,32,此时M的元素个数不超过8.
若 ，由递推公式可得集合M中含有元素22,8,16,32,28,20,此时M的元素个数不超过7.
若 ，由递推公式可得集合M中含有元素26,16,32,28,20,此时M的元素个数不超过6.
若 ，由递推公式可得集合M中含有元素34,32,28,20,此时M的元素个数不超过5.
综上，当 的值为2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,32,34，M的元素个数不超过8.
综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.
5．已知：正整数列 各项均不相同， ，数列 的通项公式
(1)若 ，写出一个满足题意的正整数列 的前5项：
(2)若 ，求数列 的通项公式；
(3)证明若 ，都有 ，是否存在不同的正整数 ，j，使得 ， 为大于1的整数，其中
.
【解】（1）取 ，则 ，
符合题设要求.（2）设 ，
由已知得 即 ，
当 时， ；
当 时有 ，整理得 ，
所以数列 为常数列，
又 ， ，所以有 ，所以 ，所以 .
（3） ，设存在不同的正整数 ，j，使得 ， 为大于1的整数.
设 ，因为 为正整数数列且各不相同，
所以 ，故 ，
而 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 为大于1的整数，所以 的可能取值为2，同理 的可能取值为2.
所以 ，
，
又因为 ，
故 ，
因为 ，故 ，而 ，故 不成立，
故不存在不同的正整数i，j，使得 ， 为大于1的整数.6．若数列 满足 ，则称数列 为 数列.记
.
(1)写出一个满足 ，且 的 数列；
(2)若 ，证明： 数列 是递增数列的充要条件是 ；
(3)对任意给定的整数 ，是否存在首项为1的 数列 ，使得 ？如果存在，写出一个满足
条件的 数列 ；如果不存在，说明理由.
【解】（1） .（答案不唯一 .）
（2）必要性：
因为 数列 是递增数列，
所以 （ ）.
所以 数列 是以 为首项，公差为 的等差数列.
所以 .
充分性：
因为 ，
所以
所以 ，
，
……
.
所以 ，即 .因为 ，
所以 .
所以 （ ）.
即 数列 是递增数列.
综上，结论得证.
（3）令 ，则 .
所以 ，
，
……
.
所以
.
因为 ，
所以 为偶数 .
所以 为偶数.
所以要使 ，即 ，
必须使 为偶数.
即 整除 ，
因为 ，
所以 或 .当 时， 数列 的项满足
时，
有 ；
当 时， 数列 的项满足
时，
有 ；
当 或 时， 不能被 整除，此时不存在 数列 ，使得 .
7．已知无穷数列 满足 ，其中 表示x，y中
最大的数， 表示x，y中最小的数.
(1)当 ， 时，写出 的所有可能值；
(2)若数列 中的项存在最大值，证明：0为数列 中的项；
(3)若 ，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有 ？如果存在，写出一
个满足条件的M；如果不存在，说明理由.
【解】（1）由 ， ，
若 ，则 ，即 ，此时 ，
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，即 ，此时 ，
当 ，则 ，即 ；
当 ，则 ，即 （舍）；综上， 的所有可能值为 .
（2）由（1）知： ，则 ，
数列 中的项存在最大值，故存在 使 ， ，
由 ，
所以 ，故存在 使 ，
所以0为数列 中的项；
（3）不存在正实数 ，使得对任意的正整数 ，都有 .理由如下.
因为 ，所以 .
设集合 .
①若 ，则 .
对任意 ，取 (其中 表示不超过 的最大整数)，
则当 时，
.
②若 ，且 为有限集，
设 ，则 .
对任意 ，取 (其中[x]表示不超过 的最大整数)，
则当 时，③若 ，且 为无限集，
设 .
若 ，则 .又 ，矛盾.
所以 .
记 .
当 时， .
因为 ，所以
当 时， .
因为 ，所以
所以 .
因为 ，
所以
所以 ，且 .
对任意 ，
取 (其中[x]表示不超过 的最大整数)，则当 时，综上，不存在正实数 ，使得对任意的正整数 ，都有 .
8．已知等比数列 的公比为q（ ），其所有项构成集合A，等差数列 的公差为d（ ），
其所有项构成集合B．令 ，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列 ．
(1)若集合 ，写出一组符合题意的数列 和 ；
(2)若 ，数列 为无穷数列， ，且数列 的前5项成公比为p的等比数列．
当 时，求p的值；
(3)若数列 是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列 ，使 ”的充要条件是“d是正有
理数”．
【解】（1）取 为 ； 为 ，
则 满足： ，故 为等比数列.
而 ，故 为等差数列，
故此时 ， 符合题意.
（2）因为集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列 ，
故 中各项均为正数，所以 中的各项均为正数，
而 为无穷等差数列，故 .
设 的前5项为： ，
因为 ， ， ，所以 ，
此时必有 ，事实上，若 ，则 的前5项即是 的前5项，
与 矛盾．所以 或 ．
若 ，则 ，所以 ，此时 的前5项为1， ，2， ，4，
即 ， ，所以数列 的公差为 ，
因为 ，所以 符合题意；
若 ，则 或
① 时，有p， ， 成等差数列，所以 ，解得 ，与 矛盾；
② 时，有 ，所以 ，所以 的前5项为1， ， ，2， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，故 ，与 为等差数列矛盾．
所以 不可能．
综上，p的值为 ．
（3）因为数列 是首项为1的无穷数列，由（2）知，数列 是递增的数列；
对于公比不为1的无穷数列 ，必有 ， ．
否则，若q为负，则 相邻两项必有一项为负，
这与 中的最小项为 矛盾；
若 ，则当 时， ，
即 ，这与 中的最小项为 矛盾．
先证明充分性：
当d是正有理数时，因为数列 是递增的等差数列，所以 ，设 （s， ，s，t互质），则 ，
令 ，则 ， ，
当 时，
所以数列 的第n项是数列 的第 项，
所以数列 中的项都是数列 的项，即 ．
再证明必要性：
假设d是正无理数，因为 ，即数列 中的项都是数列 的项，故 .
令 ， ， （i，j， ），则 ， ， ，
且 ，因为 ，即 ，
整理得： ，约去d有 ，
因为i，j， ，且d是无理数，所以 ，消去j并整理得 ，
故 ，与 矛盾，所以假设不成立，即d是有理数．
综上所述，“存在数列 ，使 ”的充要条件是“d是正有理数”
9．已知有穷数列 满足 ．给定正整数m，若存在正
整数s， ，使得对任意的 ，都有 ，则称数列A是 连续等项数列．
(1)判断数列 是否为 连续等项数列？是否为 连续等项数列？说明理由；
(2)若项数为N的任意数列A都是 连续等项数列，求N的最小值；(3)若数列 不是 连续等项数列，而数列 ，数列 与数列
都是 连续等项数列，且 ，求 的值．
【解】（1）数列 是 连续等项数列，不是 连续等项数列，理由如下:
因为 ，所以 是 连续等项数列.
因为 为 ；
为 ；
为 ;
为 ，
所以不存在正整数 ，使得 .
所以A不是 连续等项数列.
（2）设集合 ，则 中的元素个数为 .
因为在数列 中 ，所以 .
若 ，则 .
所以在 这 个有序数对中，
至少有两个有序数对相同，
即存在正整数 ，使得 .
所以当项数 时，数列 一定是 连续等项数列.
若 ，数列 不是 连续等项数列.
若 ，数列 不是 连续等项数列.
若 ，数列 不是 连续等项数列.若 ，数列 不是 连续等项数列.
若 ，数列 不是 连续等项数列.
若 ，数列 不是 连续等项数列.
若 ，数列 不是 连续等项数列.
若 ,数列 不是 连续等项数列.
所以 的最小值为11.
（3）因为 与 都是 连续等项数列，
所以存在两两不等的正整数 ,
使得 ，
下面用反证法证明 .
假设 ，
因为 ，
所以 中至少有两个数相等.
不妨设 ，则
所以 是 连续等项数列，与题设矛盾.
所以 .
所以 .
10．若有穷自然数数列 ： 满足如下两个性质，则称 为 数列：① ，其中， 表示 ，这 个
数中最大的数；
② ，其中， 表示 ，这
个数中最小的数.
(1)判断 ：2，4，6，7，10是否为 数列，说明理由；
(2)若 ： 是 数列，且 ， ， 成等比数列，求 ；
(3)证明：对任意 数列 ： ，存在实数 ，使得 .（ 表示不超
过 的最大整数）
【解】（1） ：2，4，6，7，10不是 数列，理由如下：
因为 ，
所以 ，
但 ，所以 不满足性质①，故不是 数列；
（2）根据 ： 是 数列可得 ： 满足：
或 ， 或 ，
①若 ，因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，得 ，
②若 ，因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
当 时， ，解得 ，与 为自然数矛盾，舍去；当 时， ，解得 ，与 为自然数矛盾，舍去；
所以 ，
由 以及 ，
得 ，所以 ，
由 以及 ，
得 ，
由 以及 ，
可知 ，所以 ；
（3）当 时，根据 数列的定义，可知 或 ,
若 ，取 ，则 ，结论成立，
若 ，取 ，则 ，结论成立，
假设存在自然数 ，存在 数列使得结论不成立，设这样的 的最小值为 ，
即存在 数列 对任意实数 ，存在 ，使得 ，
根据假设，数列 的前 项 组成的数列是一个 数列，
从而存在实数 ，使得 ， ，
即 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
①若 ，根据 的定义，存在 ，使得 ，
又 ，
则 且 ，
所以 ，
②若 ，根据 的定义，存在 ，使得 ，
又 ，
则 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，与假设矛盾，
综上，结论成立.
