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专题 11 等差数列与等比数列
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 数列的有关概念
1、数列的定义及表示
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
按项数 有穷数列 项数有限
分类 无穷数列 项数无限
递增数列
按项与项
间的大小 递减数列 其中n N*
关系分类
常数列 ∈有界数列
存在正数M，使
按其他标
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
准分类
周期数列
对n N*，存在正整数常数k，使
3、数列的通项公式：如果数列 的第n项与序号∈ n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫
做这个数列的通项公式．
4、数列的递推公式：如果已知数列 的首项(或前几项)，且任一项 与它的前一项 (或前几
项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
知识点2 等差数列
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言： ( ， 为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
3、通项公式与前n项和公式
（1）通项公式： ．
（2）前 项和公式： ．
（3）等差数列与函数的关系
①通项公式：当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，
且一次项系数为公差 .若公差 ，则为递增数列，若公差 ，则为递减数列．
②前n项和：当公差 时， 是关于 的二次函数且常数项为0.
知识点3 等差数列的性质
已知数列 是等差数列， 是其前 项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广： ．
（2）若 ，则 ．
（3）若 的公差为d，则 也是等差数列，公差为 ．
（4）若 是等差数列，则 也是等差数列．
2、等差数列前 项和的性质（1） ；
（2） ；
（3）两个等差数列 ， 的前n项和 ， 之间的关系为 .
（4）数列 ， ， ，…构成等差数列．
3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为 ，则 ， ；
（2）若项数为 ，则 ， ， ， .
知识点4 等比数列
1、等比数列的定义
（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这
个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示。
（2）数学语言表达式： ( ， 为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项，其中 .
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n项和公式
（1）通项公式：若等比数列 的首项为 ，公比是 ，则其通项公式为 ；
通项公式的推广： .
（2）等比数列的前 项和公式：当 时， ；当 时， .
知识点5 等比数列的性质
已知 是等比数列， 是数列 的前 项和．
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ， ， ，…仍是等比数列，公比为 .
（2）若 ， （项数相同）是等比数列，则 ， ， ， ， 仍是等比数
列．（3）若 ，则有
口诀：下标和相等，项的积也相等
推广：
（4）若 是等比数列，且 ，则 （ 且 ）是以 为首项， 为公差的
等差数列。
（5）若 是等比数列， ，则 构成公比为 的等比数列。
2、等比数列前 项和的性质
（1）在公比 或 且 为奇数时， ， ， ，……仍成等比数列，其公比为 ；
（2）对 ，有 ；
（3）若等比数列 共有 项，则 ，其中 ， 分别是数列 的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前 项和 ，令 ，则 （ 为常数，且
）
重难点01 等差数列前n项和最值求法
1、二次函数法： 将S ＝na ＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n N*，结合二次
n 1
函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
∈
2、邻项变号法：当a>0，d<0，时，S 取得最大值；当a<0，d>0，时，S 取得最小值．
1 n 1 n
特别地，若a>0，d>0，则S 是{S}的最小值；若a<0，d<0，则S 是{S}的最大值．
1 1 n 1 1 n
【典例1】（23-24高三下·辽宁葫芦岛·二模）等差数列 中， ， ，则使得前n项的和最大
的n值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【典例2】（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 是等差数列， 是其前 项的和，则下列结
论错误的是（ ）
A．若 ，则 取最小值时 的值为12
B．若 ，则 的最大值为108
C．若 ，则必有
D．若首项 ， ，则 取最小值时 的值为9重难点02 已知{a }为等差数列，求数列{|a |}的前n项和的步骤
n n
第一步，解不等式a≥0(或a≤0)寻找{a}的正负项分界点．
n n n
第二步，求和：①若a 各项均为正数(或均为负数)，则{|a|}各项的和等于{a}的各项的和(或其相反数)；
n n n
②若a>0，d<0(或a<0，d>0)，这时数列{a}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
1 1 n
【典例1】（23-24高二上·天津武清·月考）若等差数列 的首项 ， ，记
，则 ．
【典例2】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列 的前n项和为 .若 为等差数列，且满足
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 .
一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数
列)等方法.
2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征
和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
⑥对于符号交替出现的情况，可用 或 ， 处理.
【典例1】（23-24高三上·山东泰安·开学摸底）已知数列1， ， ， ，3，…，按此规律， 是该
数列的（ ）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
【典例2】（23-24高三下·贵州黔南·二模） ，数列1， ，7， ，31， 的一个通项公式为
（ ）
A． B．C． D．
【典例3】（23-24高三下·广东梅州·一模） .
二、数列周期性解题策略
1、周期数列的常见形式
（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而
求有关项的值或者前 项的和．
【典例1】（23-24高三下·山东济宁·三模）已知数列{a }中， ，
n
则 （ ）
A．−2 B． C．1 D．2
【典例2】（23-24高三下·辽宁·模拟预测）数列 中， ， ， ，则
的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【典例3】（23-24高三下·重庆·开学考试）已知数列 满足 ， ，则
的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
三、求数列最大项或最小项的方法
（1）将数列视为函数 当x N*时所对应的一列函数值，根据 的类型作出相应的函数图象，或利用
求函数最值的方法，求出 的∈最值，进而求出数列的最大(小)项．
（2）通过通项公式 研究数列的单调性，
利用 确定最大项，利用 确定最小项．
（3）比较法：①若有 （或 时， ），
则 ，即数列 是递增数列，所以数列 的最小项为 ；
②若有 （或 时， ），
则 ，即数列 是递减数列，所以数列 的最大项为 ．
【典例1】（23-24高三下·山东济南·二模）已知 是各项均为正整数的递增数列， 前 项和为 ，
若 ，当 取最大值时， 的最大值为（ ）
A．63 B．64 C．71 D．72
【典例2】（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知数列{an}的通项公式为 ，则此数列的最
大项为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高三下·上海·模拟预测）数列 的最小项的值为 .
四、等差数列的基本运算的解题策略
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，a ，d，n，S ，知其中三个就能求另外两个，体
1 n n
现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 和d是等差数列的两个基本量，用
1
它们表示已知量和未知量是常用方法．
【典例1】（23-24高三下·新疆·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三上·江苏南京·月考）已知公差大于0的等差数列 的前6项和为 ， ，
则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例3】（23-24高三下·内蒙古包头·三模）设 为等差数列 的前n项和，若 ， ，若
时， ，则 等于（ ）
A．11 B．12 C．20 D．22五、等差数列的判定与证明的方法
1、定义法： 或 是等差数列；
2、定义变形法：验证是否满足 ；
3、等差中项法： 为等差数列；
4、通项公式法：通项公式形如 为常数 为等差数列；
5、前n项和公式法： 为常数 为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 ，使得 即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
【典例1】（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ．证明：数列
是等差数列；
【典例2】（23-24高二下·江苏·月考）数列 的前 项和为 ，且 ，当 时，
.
(1)计算： ， ；
(2)证明 为等差数列，并求数列 的通项公式；
【典例3】（23-24高三下·江苏南通·二模）设数列 的前 项和为 ，若 ， .
(1)求 ， ，并证明：数列 是等差数列；
(2)求 .六、等差数列 性质的应用
1、在等差数列{a}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
n
还可变形为a ＝a＋(m－n)d.
m n
2、等差数列{a}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
n
3、等差数列{a}中，若m＋n＝p＋q，则a＋a ＝a＋a(n，m，p，q N*)，
n n m p q
特别地，若m＋n＝2p，则a＋a ＝2a.
n m p ∈
【典例1】（23-24高三下·广西柳州·模拟预测）在等差数列 中，若 ，则
（ ）．
A．7 B．12 C．16 D．24
【典例2】（24-25高三上·广东·联考）在等差数列 中，若 ，则 的值为
（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【典例3】（23-24高三下·云南·月考）已知 为等差数列 的前n项和， ，则
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
七、等差数列的前n项和常用的性质应用
1、等差数列的依次k项之和，S，S －S，S －S ，…组成公差为k2d的等差数列．
k 2k k 3k 2k
2、数列{a}是等差数列⇔S＝an2＋bn(a，b为常数) 数列为等差数列．
n n
3、若S 表示奇数项的和，S 表示偶数项的和，公差为d，
奇 偶 ⇔
①当项数为偶数2n时，S －S ＝nd，＝；
偶 奇
②当项数为奇数2n－1时，S －S ＝a，＝.
奇 偶 n
【典例1】（24-25高三上·广东·开学考试）在等差数列 中， ， ， （ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三下·天津南开·月考）已知等差数列 和 的前 项和分别为 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例3】（23-24高三下高三·全国·专题练习）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若，则 .
八、求解等比数列的基本量常用的思想方法
1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量： ，已知其中三个量，
可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 与q，在解题中根据已知条件建立关于a 与q的方
1 1
程或者方程组，是解题的关键．
2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当 时， ；当 时，
；在判断等比数列单调性时，也必须对 与 分类讨论．
【典例1】（23-24高三下·四川凉山·三模）已知 是等比数列 的前n项和， ， ，则公比
（ ）
A． B． C．3或 D． 或
【典例2】（23-24高三下·江苏无锡·开学考试）设各项均为正数的等比数列 的前 项和 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C．15 D．31
【典例3】（23-24高三下·辽宁丹东·开学考试）设等比数列{a }的前 项和为 ，若 ， ，则
n
（ ）
A． 或9 B．8或 C．8或9 D． 或
九、等比数列的判定与证明常用的方法：
1、定义法： 为常数且 数列 是等比数列．
2、等比中项法： 数列 是等比数列．
3、通项公式法： 数列 是等比数列．
4、前 项和公式法：若数列的前 项和 ，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．（2）只满足 的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要 .
【典例1】（23-24高三下·宁夏银川·二模）已知数列 满足 ， ，则下列是
等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)求 ．
【典例3】（23-24高三下·重庆·月考）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求 ， ，并证明：数列 为等比数列；
(2)求 的值．
十、等比数列的性质及应用
1、等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前 n项和公式的变
形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
2、应用等比数列性质解题时的2个注意点
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若 ，则有 ”，可以减少运算量，提高解题
速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意
设而不求思想的运用．
【典例1】（23-24高三下·山东淄博·二模）已知等比数列 则 （ ）
A．8 B．±8 C．10 D．±10S
【典例2】（23-24高三下·广西·二模）设 是等比数列 的前n项和，若S =2， ，则 6=
2 S
4
（ ）
A．2 B． C．3 D．
【典例3】（23-24高三下·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，且
，则 （ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
十一、等差数列与等比数列的实际应用
解决数列新背景问题的步骤
（1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意；
（2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型；
（3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和.
【典例1】（23-24高三下·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天
干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、
酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由
“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列
到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即
“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（ ）
A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年
【典例2】（23-24高三下·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池
塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，
之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
A B C D
【典例3】（23-24高三上·河南周口·月考）如图，正方形 的边长为1，记其面积为 ，取其四边
1 1 1 1
的中点 ， ， ， ，作第二个正方形 ，记其面积为 ，然后再取正方形 各边的
中点 ， ， ， ，作第三个正方形 ，记其面积为 ，如果这个作图过程一直继续下去，记
这些正方形的面积之和 ，则面积之和 将无限接近于（ ）A． B．2 C． D．4
易错点1 混淆数列与函数的区别
点拨：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解
数列问题，要注意 的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。
【典例1】（22-23高三·河南郑州·月考）等差数列 中， ，当 取得最小值时，
n的值为（ ）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
【典例2】（22-23高三下·云南·月考）已知等差数列{ }的前n项和为 ，满足 ，且 ，
则当 取得最小值时，n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
易错点2 错误理解等比数列的“中项”概念
点拨：若 成等比数列，则 为 和 的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项，在解
题时务必要注意此点。
【典例1】（23-24高三下·安徽芜湖·三模）设 ，则“ ”是“ 为 的等比中项”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（23-24高三上·天津武清·月考）在等比数列 中， ，则 与 的等比中项为
.
易错点3 等比数列求和时忽视对 讨论点拨：注意等比数列的求和公式是分段表示的： ，所以在利用等比数列求和公式求和
时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
【典例1】（23-24高三下·山西太原·二模）已知 ， 分别是等差数列和等比数列，其前 项和分别
是 和 ，且 ， ， ，则 （ ）
A．9 B．9或18 C．13 D．13或37
【典例2】（23-24高三上·江西上饶·月考）已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ， 成等差数
列，则 ．
